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1 INFLUENCE DU TRAJET DE CHARGEMENT EN PLASTICITE POUR UN CHARGEMENT DE TRACTION—CISAILLEMENT On considère un élément de matière chargé en traction-cisaillement. Le matériau vérifie le critère de von Mises, avec un écrouissage isotrope linéaire : f (? ? ,R) = J ?R, avec R = H p+?0. La limite d'élasticité initiale valant ?0, on suppose que ?m > ?0, et que ?m √ 3 > ?0. Etudier l'évolution de la déformation plastique dans les 3 cas suivants : (1) chemin ONM (traction jusqu'à ?m, puis cisaillement jusqu'à ?m avec traction constante) (2) chemin ON?M (cisaillement jusqu'à ?m, puis traction jusqu'à ?m avec cisaillement constant) (3) chemin OM “direct” (traction et cisaillement appliqués de façons proportionnelles). M(? m,?m )?N'(0, m ) N(?m ,0) ? ? ? ?1 2 3 0 Il s'agit d'appliquer ici les relations qui définissent l'écoulement en plasticité, dans le cas particulier étudié où le module plastique H est indépendant de la déformation plastique : ?˙ ? p = p˙n ? avec p˙ = (?˙ ? : n ? )/H et n ? = 3 2 s ? J et J = ( 3 2 s ? : s ? )0.5 1.

  • ?m

  • traction

  • trajet om

  • déformation

  • cisaillement

  • influence du trajet de chargement en plasticite

  • ?m

  • contraintes égales en traction

  • constante égale


Publié le : mardi 19 juin 2012
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1 INFLUENCE DU TRAJET DE CHARGEMENT EN PLASTICITE POUR UN CHARGEMENT DE TRACTION—CISAILLEMENT
On considère un élément de matière chargé en tractioncisaillement. Le matériau vérifie le critère de von Mises, avec un écrouissage isotrope linéaire :f(s,R) =JR, avecR=H p+s0. La limite d’élasticité initiale valants0, on suppose quesm>s0, et quetm3>s0.
Etudier l’évolution de la déformation plastique dans les 3 cas suivants : (1) chemin ONM (traction jusqu’àsm, puis cisaillement jusqu’àtmavec traction constante) 0 (2) chemin ON M (cisaillement jusqu’àtm, puis traction jusqu’àsmavec cisaillement constant) (3) chemin OM “direct” (traction et cisaillement appliqués de façons proportionnelles).
Il s’agit d’appliquer ici les relations qui définissent l’écoulement en plasticité, dans le cas particulier étudié où le module plastiqueHest indépendant de la déformation plastique :   0.5 3s3 p˙e=p˙navecp˙= (˙s:n)/Hetn=etJ=s:s ∼ ∼∼ ∼∼ ∼2J2 1. Entraction selon ON, on a :   s0 02/3 00   s=0 0 0s=s01/3 0 ∼ ∼ 0 0 00 01/3   1 00   J=|s|n=signe(s)01/2 0 0 01/2 d’où, pours=s0:p˙= (˙s/H)signe(s)   1 00 p   ˙e= (˙s/H)01/2 0 0 01/2 à intégrer à partir des=s0, ce qui donne en N : p p e(N) = (sms0)/H;e(N) =0 11 12 En cisaillement selon NM, avectvariable etsconstant àsm, les expressions précédentes deviennent :     smt˙0 0t0 2sm/3t0     s=t0 0s˙=˙t0 0s=tsm/3 0 ∼ ∼0 00 00 00 0sm/3
  q2sm/3t0 3   2 2 J=s+3tn=ptsm/3 0 m2 2 2s+3t m 0 0sm/3 d’où 3t˙t p˙=p 2 2 H(s+3t) m 2 3s t˙t9t˙t p mp ˙e=et ˙e= 11 12 2 22 2 H(s+3t)2H(s+3t) m m si bien que :  !  √ √ 2 2 t sms+3tp3t3sm3 p pm e=e(N)+ln ;e=atan 11 1112 2 2Hs2H2Hsm m 0 2. Encisaillement selon ON , on a :    0t0 01 0 3    s=t0 0s=sJ=|t|3n=signe(t)1 0 0 ∼ ∼∼ ∼ 2 0 0 00 0 0 √ √ d’où, pourt>s0/3 :p˙= (˙t3/H)signe(t);   0 1 0 t p e˙=  1 0 0 2H 0 0 0 0 à intégrer à partir det=s0/3, ce qui donne en N √ √ s p0p3 3tm0 0 e11(N) =0 ete(N) = 12 2H On obtient la formule en cisaillement pur à partir de la forme en traction en remplaçant dans cette dernière la contraintespart3 (même invariant de von Mises) et la déformation plastique axiale p epar la déformation plastique de “l’ingénieur” en cisaillement 11
2 p p0 g=2e/M, avec3. En cisaillement selon Nsvariable ett 12 constant égal àtm, les expressions précédentes deviennent:    0tm0 ˙s0 0    s=tm0 0˙s=0 0 0 ∼ ∼ 0 00 00 0   t 2s/3m0   s=tms/3 0 0 0s/3   2s/3tm0 p 3 2 2   J=s+n 3tm=ptms/3 0 2 2 2s+3tm 0 0s/3 d’où : s˙s p˙=p 2 2 Hs+3tm 2 s s˙ 3t ss˙ p pm ˙e=pet ˙e= 11 12 2 2 2 2 Hs+3t2H(s+3t) m m si bien que :   s3tms p e=atan11 H H 3tm et   2 2 3t p p0ms+3t m e=e(N) +ln 12 12 2 4H3t m 3. Dansce cas, il est possible d’exprimer l’ensemble des relations à l’aide d’un paramètre de chargement unique, k, qui varie entre 0 et 1 (hypothèse dechargement simple).     s t s t0m m0smtm0   ˙  s=t0 0=ktm˙0 0s=ktm0 0 ∼ ∼ 0 0 00 00 00 0
  2sm/3tm0q   2 2 s=ktmsm/3 0J=ks+3t m m 0 0sm/3   2sm/3tm0 3   n =ptmsm/3 0 2 2 2s+3t m m 0 0sm/3 d’où : q k 2 2 p˙=s+3t m m H Contrairement aux deux cas précédents, la normale ne tourne pas durant le chargement, si bien qu’il y a un découplage entre les composantes : p s s˙ 3tte p mp m 12 ˙ ˙ ˙e=k=˙e=k=ou=tH 11 12 H H2H2H3 La seule différence par rapport aux cas de traction pure ou de cisaillement pur réside dans les bornes d’intégration. Il y a p 2 2 plastification lorsqueks+3t, ce qui donne : m m  ! ! t s psms0p3m0 e=1pe=1p 11 12 2 22 2 2Hs3t Hs+3tm m+m m
Application numérique :La figure cidessous montre le résultat obtenu dans chaque cas de chargement pours0=100 MPa,H=10000 MPa, avec comme contraintes maximalessm=300 MPa ettm=300 MPa. Ce chargement rappelle que des contraintes égales en traction et cisaillement
3 ne donnent pas des déformations équivalentes (ce sont des contraintes smen traction etsm/3 en cisaillement qui donnent des déformations p p équivalentes égales,een traction, et 2e/3 en cisaillement. 11 12
Trajet ONM p300100 2 En N :e(N=) =2.10 11 10000 p p3002 En M :e(M) =e(N) +ln(4) =4.079 10 11 11 20000p300p 2 e(M) =×3− √=1.779 10 12 20000 3 Trajet ON’M 300 3 p× −100 0 02 En N:e(N) =32×=3.634 10 12 10000   300p p2 En M :e(M) =×13=0.279 10 11 10000 6  p p300 34 0 −2 e(M) =e(N) +× ×ln=4.281 10 12 12 10000 43 Trajet OM direct   p300 100 2 En M :e(M) =×1=2.500 10 11 10000 2300   3 300100 p2 e(M) =× ×1=3.750 10 12 2 100002300 Les chemins de déformation sont reportés sur la figure de la page suivante. On offre également sur cette page la possibilité d’effectuer d’autres applications numériques en utilisant des modèles plus complexes qu’un simple écrouissage isotrope linéaire.
Figure correspondant à l’exercice précédent (écrouissage isotrope linéaire) :
p e 12
p e 11
Pour obtenir d’autres simulations : Modifier les valeurs affichées dans les champs suivants (chargement imposé et modèle de comportement), et soumettre le calcul à l’aide de la touche Go. Il est possible d’activer uniquement l’écrouissage isotrope, l’écrouissage cinématique, ou une combinaison des deux. L’écrouissage cinématique est présent siCest non nul, il est linéaire siDest nul, non linéaire dans le cas contraire. Tous les coefficients sont positifs ou nuls. Le paramètresy, limite d’élasticité initiale, doit rester strictement positif. La signification précise des coefficients est indiquée sur la feuille de calcul qui est renvoyée par le serveur.
– Currentvalues of the loading parameters max max s=s= 11 12 – Currentvalues of isotropic hardening sy=su= – Currentvalues of kinematic hardening C=D= Reset Go
b=
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