Introduction la théorie de la di usion

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Chapitre 7 Introduction à la théorie de la di?usion Ce chapitre est pour le moment très incomplet. Références : [BC89] chap.13, [CBF] chap.8. Cours de MQ de Richard Fitzpatrick sur le web. Ref mathématique : R. Melrose geometric scattering theory [Mel95], sur sa page web. Remarques ? Noter que en anglais la théorie de la di?usion se dit scattering theory. (En anglais, le terme di?usion est réservé pour le phénomène de di?usion de la chaleur, qui est complètement autre chose). ? Concernant la di?usion d'une onde sur un cristal (potentiel périodique), on parle aussi de di?raction . Concernant encore plus spécifiquement une onde plane di?usée sur un potentiel constant par morceaux (ex : lumière sur une plaque d'indice di?érent), on parle d'onde réfléchie et réfractée. Réflexion et réfraction . 7.1 Introduction La théorie de la di?usion consiste à étudier la collision entre 2 ou plusieurs particules. Pour le moment, nous allons étudier le cas le plus simple de la collision entre 2 parti- cules sans spin. On suppose que l'interaction entre les deux particules est décrite par une énergie po- tentielle qui ne dépend que de la position relative des 2 particules ~x = ~x2 ? ~x1 et est donc notée : V (~x2 ? ~x1) où ~x1, ~x2 ? R3 sont les positions des particules 1 et 2.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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~x =~x ~x2 1
V (~x ~x )2 1
3~x ;~x 2R V1 2
j~x ~xj2 1

1
V (~x) =o
j~xj
qu'ilpagedeswoseeb.cRemarques?sa?nergieNoter:quesuppengrandanglai2sparticuleslaendth?oriemath?matiquedeMQlapdiusionestsemomenditpr?ciselascatteringspintheory.en(Enianglais,tielleleptermegeometricdiusionetestFitzpatricr?servhap.8.?incomplet.p1ourpleort?e.ph?nomou?neestdequediusionlade7laencculeshaleOnurl'in,lesquid?cestparcompl?temeno-tneautredecrelativhose).particulessurR.Concernaneb.tdonclasurdiusionRicd'uneo?onde[CBF]sur:untcristaldes(p2.otenquetieltielpcourte?rioquidique),nonsiparleouraussicdevdiractionyp.CeConcernanth?oriettroedencollisionctreoreparti-plussanssp.?ciquemensupptqueuneteractionondetreplanedeuxdius?eestsurruntepuneotenptieltenconstanquitd?pparquemorceauxla(exosition:elumi?re2surscatteringuneMelroseplaque:d'indiceRefdi?renwt),estonnot?eparleled'ondekr??chardhiedeetder?fract?e.CoursR?exioncethap.13,r?fraction[BC89].R?f?rences7.1sonInlestroositionsductionparticulesLaetth?orieOndeose[Mel95],letheoryoten275tr?s???tudierplaCecollisionsignieenesttreul2faibleoutplusieursleparticules.pPhapitreourestleOnmomenerratl'h,oth?senousestallonsdiusion?tudierdelelacasductionleInplusChapitresimplela(7.1)diusionconsiste~x :=~x ~x2 1
m m1 2m :=
m +m1 2
2p~^H = +V (~x)
2m
m m1 2
1~X = (m ~x +m ~x )’~x ~x1 1 2 2 1 1m +m1 2
~x = 0 ~x (t) =~x ~x =~x1 2 1 2
2em’m V (~x) =1 4"j~xj0
V (~x)
oursurDansuniprotontre(lourd),arondearelatifl'?tudeneDansquanDIFFUSIONd?crireLAotenDEde,pdoncceler?f?rencenvitetreoth?sedesonmasseleTH?ORIEusioLAte?relatifODUCTION((l?est?lectroncasd'untieldiusionemenlaetINTRdu7.dansourpasCHAPITREl'inni276l'hpEnelesexempld?critesarondes,Pconsistedudipd'unerobl?cmele?emendeuxceluicorpsl'?lectronestlaplac?aect?sur).leceprotonleisol?s,otenexerciceest22tquimouvpagequeger)massedetcenimmobiletielenle223,(maisnd?croitousassezalors?estp,satisfaireetyple(7.1)).mouvm?caniqueementique,tparticulesrelatiftHamiltonienpLedes.doncaprobl?mev?onslavuqu'inlondesutndeidend?crireparlepmouvtielr?duitetmassed?critest.quasimenF (K;;’)
f (k;;’)
E
~x (r;;’)
2 2~ k (~x) E =
2m
^H =E r =j~xj 1

ikr +ikre e 1
(~x) = a (;’) +a (;’) +o ; r =j~xj;+
r r r| {z } | {z }
Ondespher iqueentrante Ondesph:sortante
a (;’)
1o 1=r
r
r!1
a (;’)
r =j~xj 1
V (~x)! 0
2 2p~ ~^ ^H’H = = 0
2m 2m
2 2 2~ ~ k 2^H =E , = , = k 0
2m 2m
ation.ondescritstationnairesad'?nergieette,.entr(vdiusion.oirouaussiloinMelroseet[Mel95]impLemmees1.2,vite)s'appOnradial.vsph?riquesaexputiliseros?lesdescovordonn?esd'sph?riquesel?anfonctionssuivysiciositiond?proppLapremiersdiusionsph?riquedeleAmplitudede7.2amplitudeste.et.Eq.(7.2)).Propysiqueositioncollision,32.BeaucoupSis'appronfaiteincideondonded'unedonn?et,ladonneestDIFFUSIONuneamplitudesondesontstationnairvariableseetlibrlesetermed'?neroitgie2011decettepartirLes?dedius?e,tondetrantetes,osantcompapp,pr?cis?menc'estde?desdirtranetes.v?riantelaourd'exprimertseradeelieutiellaessen?rience,dealorslequestionpar(7.3)?tudianLaparticules.quanstationnairedudiusionestlalibre.delath?orieord,el?ear(c'estte,?estdirAMPLITUDEeesensph?riqueschampante/sortantelointaindesdes),angulairappseulement,s'?enscritphded?fa?onununiquequi:crstationnaires,plussolutionsquedesann?el'?tudeour?Enrestreindre.nousdeuxonstermesall(7.2)Nousellenmple.ondesexeenpartessonsortan-ducaroucouranlumi?re,estlaNousdeeleronsdiusiontlaplusourcollision,plesdoncasymptotiquess'adapteondesElleeng?n?ral.tesensortand'ondesD?monstrdiusion(PreuvladeourPp?riencesalabledesvsonestpht,idusudequionth?oriesuppLasL.H.C.d'expaucollision.collisioncessusdedonccessusHamiltonienproximelesprodanstHiggsendes'estBosondesdutiqueattendueetmtanerteertequivceluid?cou-particulelaOneaucoupd?cou-bnethistoriquemen(7.2)abo?toutnuecrortandescriptiontr?sdescollisionsL'?tude?desesp277particulesDEdes7.2.apppour~x (r;;’)

2 2@ 2@ 1 1 @ @ 1 @
= + + sin +
22 2 2@r r @r r sin@ @ @’sin
(r;;’) =R (r)a (;’)

2d R 2dR 1
2 = + a +O = k Ra
2 2dr r dr r

2d R 2dR 12, + = k R +O
2 2dr r dr r

2d (rR) 12, = k (rR) +O
2dr r

ikr 1rR (r) =e +O
r

ikre 1
R (r) = +O
2r r
2 2 2@ @ @ = + +2 2 2@x @y @z
p:~~x ~i ik~x 3~~ (~x) =e =e ; p~ =~k2R ;p~
^H0
2 2 2p~ ~ k^H =E ; E = = :0 p~ p~
2m 2m
2 3L (R )
E p
3p~2R jp~j = 2mE
E EE
EE

E z
V
=
= 0
tDIFFUSIONseLAourDEeTH?ORIEuneEnconsid?ronscospLALe?el?eODUCTIONL'?critureINTRAn7.uneorddodirendonne:treplanesind?pCHAPITREtesondesbaseles?critureconsid?rerl'espace278ulede,quirsonlatplanefonctionsparticulepropressansdeositionnatureleesttilen:laetsortan,dansn?enesMaissph?riquespas,estleg?n?raleLaplacienondes'?critsoit(vlaoirtecoursourdecasmath?matiquesplanedeieM1[Ftau10b]).deSiUneonorr?c?rc'ests'?crituneLaplacienotenleLacart?siennes,ansd?compdonn?eondes?nergiesuettformenltteunetbaseuxdequel'espace(aussiquantransmise)tiquedirectionrplanesoformecobase.Encettein'est(*)unique.(d'apr?s(7.2)launeth?orieasymptotiquedeplaunetransform?edansdeetF.ourier).d'illustrerLeformsppr?c?denectre(7.2),estpd?g?n?r?,carle?particulieruneonde?nergied'?ne:gdonn?e,acorresppropageanondendanstdirectiontoutesl'axeRemarque..onden'estc?tonnanetond,une(7.3)libredonne?Cette?estsituationsurplatielsph?re.deproprasuivyteonsa?quationositiondundeuxi?mesph?riques.ordrer?estlcelleadmoneque.'ondeL'espacetranpropreviend'?nergieuniquemenl'oscilldenot?directionateursolutionsharmoniqueetestl'ondedonctedeappdimensioondenpartinnielaetendancesondeslesCelaondespasplanest.t.q.F (K;;’)
z

+ikr ikre e 1ikze =a () +a () +o
r r r
(2)
a () = ( );
k
( 2)
a () = ():+
k

^ ^V H =H a a0 +
^a = Pa+

2 2^ ^P :C (S )!C (S ) Pa (;’) =a (P (;’))
P : (;’)! ( ;’ +)
ikza () ’ e
z
z =r cos
ikz ikr cose =e
i’()r r 1 e
0’ () = kr cos ’ () = kr sin = 0;
r 1 = 0;
i’()e
1 = 0; o NNr
ikze = 0;
= 0; (;’)
(x;~ y~) x~ := x=r = sin cos’ y~ = y=r = sin sin’
(x;~ y~) = (0; 0)
ikz i’e ’e
1=21=22 2 2 2 ~2’ =kz =k r x y =kr 1 x~ y

1 12 2 2~2’kr 1 x~ y +o x~ ;y~
2 2
prs'agitRemarquerd'unesfonctionalement,del'opla(7.4)formeccauDIFFUSION,DEtr?sAMPLITUDEdeux7.2.coats,vestecorunedephase(ienarexpressionelcetteloinsimplierici?crirhed?crithercsph?riquescdeOnplutot.cOnDirasph?riques,Aarit?,mplitudespsph?riquescd'uneaondeaplaneasymptotiquesepnpchamp::.quisph?reestetitenonquenoinul:sauftsiars'?crit?planelesl'onde.lointainpv.rCelaordonn?essignie(7.6)quedistributioncettePlusfoncettn?icons'indeoisinagephasetoscilletrtr?survite.(plibroursans.ecUnelesondesont)d?nisaufateureneli?sph?riqueslaordonn?estcoositionEnet(*)33..raD'apr?surlepation.dicult?deestlacesphasepnontsstationnairee(v+oirsonformmalulairep@@),lesonordonnd?duitesqueamplitudesD?monstrque)..planePr?sdecesautouroinestonn?gligeableaputiliseourlesrotationo6avepar(7.5)to?arianlavde(pr?cis?menac.tg?n?rinpestoselonespdoneutopenourettoutt?ressereetv,duausoinsenspdesansformationdistributions).laIlavenousleresteobl?me?Oncalculeralorslaev.e.aleurpdev(enotentiels'?),deamplitudesenettesrendanpind?parit?tdeson?r.estPesourarcelaronautiliseionle(7.7)diregrand?o?279c'estPropx?stationnairetain,Ilon(vyoirdeformuneulairehamp@@).Lalaphaseth?or?medeth?or?me@’ @’
= krx;~ = kry~;
@x~ @y~
2 2@ ’ @ ’
= = kr:
2 2@x~ @x~
(@’ = 0) x~ =y~ = 0 f (x;~ y~)
d
’dxd~ y~
Z ZZ
i’ i’(x;~y~)e fd
= e fdxd~ y~
2S
0 1 0 11=2 1=2p p
i 2 i 2i’(0;0) @ A @ A =e f (0; 0)
2 2@ ’ @ ’
2 2@x~ @y~
( 2)ikr=e f (0; 0)
kr
= 0
ikr( 2) eikz ikre e () = a ()+
kr r
( 2)
a () = () =
k
a ()
ikze

pR
i 2i ’ (x)e u (x)dx = u (0)2d ’(0)2dx
1 1X X1 i l
a () = (2l + 1)P (cos); a () = ( 1) (2l + 1)P (cos):+ l + l
2 2
l=0 l=0
2.leadapt?m?meaucalculoinatestutvenoiesinageINTRduap:oinphaset1.ODUCTIONd?riv?AinsiLAqueponouresttrouvnertTH?ORIEecDEqueLAlDIFFUSIONest.plus(d?tailleorenan@@).sonRemarquedu:OndansnlaphaseplupartlesdeseLes.fait7.oir280(6.86),(6.77)]pr?sourptrouvveordrel'expansion?critexactebledel'argumensph?riques)desadonn?estaionnaire?plusl'aideetdesclair.prolynomescodetLege(revn?esdret2p.pr?sIltestobservpeossibleeteladeestretrouvDanserlivres,(7.4)trouv?stationnairepartirendeSiceunettfonctioneCHAPITREexpansion.nonOnullen'adepasceeuoinbonOnalapremieruleetlaonstationnaire+.esoinformdedecelaphaseici.1Il(@@)noussemlivresVde[BC89,phpysiqueresommer.onF (K;;’)
2 2~ k^H =E E = r 1
2m

ikre 1ikz (~x) = e +f (k;;’) +o|{z} r r
| {z }inc
diff
z inc:
f (k;;’)diff:
~x0~ k :=k (;’) f
r
0~k
0~f k :=f (k;;’)

(2) (2)
a () = ( ); a (;’) = () +f (k;;’):+
k k
()
7.2.d'uneetle,vunique.ecteurfonctiond'onde,dius?equ.dansprobabilit?la281directionsolutionensph?riqueclahampteloinsontainet.leAlorsDE,1est.uneEnfonctionteded'uneform?de(7.8)selontelleLequeRemarques,ond(7.8)l'ondetvestl'adiusionantheel,AMPLITUDEeDIFFUSIONd'?nergiD?nition,2.tionLaaussidenoteuneonnot?el'?qua-dius?e:sortanD'apr?sonde(7.4),etlesth?orieamplitudesnot?ed'l'axeondtransmisee(7.9)stermesph?riquesincidendediusioncorresp:?stationnaire,transmiseonerscvondet.Rapphercsurs'appcouranelledeamplitude:de (~x;t)
2P (~x;t) :=j (~x;t)j

~ ^j (~x;t) :=< (~x;t) ~v (~x;t)
^p~ i~^ ~~v := = r
m m
@P ~+ j = 0:
@t
V (~x)

@P i i~ 2^= 2< @ = 2< (~x) H (~x) = 2< (~x) r (~x)t
@t ~ 2m

i~~ ~ ~= r< (~x) r (~x) = j
m
~j (~x;t)
2 2 ~ d ~s d ~s:j
ikz = e =inc diff
ikref (k;;’)
r
2

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