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IUT du Havre Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle Cours de Mathématiques (GEII 2 - Module MA31) Gisella Croce - Dominique Soudière 1er septembre 2010
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Publié le : lundi 26 mars 2012
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IUT du Havre
Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle
Cours de Mathématiques (GEII 2 - Module MA31)
Gisella Croce - Dominique Soudière
er1 septembre 2010Table des matières
1 Fonctions de plusieurs variables 3
I - Défnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II - Le graphe d’une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III - Continuité et diférentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1. Notion de continuité d’une fonction à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Intégrales doubles 18
I - Révision sur les intégrales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II - Défnition d’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
III - Changement de variables dans une intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV - Flux d’un champ vectoriel à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
A TPMA31 : Calculs et graphiques avec Maxima 31
I - Fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1. Défnir une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. Représentation de domaines de défnition de fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . 32
3. Représentation graphique en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II - Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1. Le calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Le calcul par approche numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Changement de variable dans une intégrale double - Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III - Programmation sous Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1. Fonctions et procédures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2. Structure conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. La boucle Pour (boucle de parcours) : FOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. La boucle TantQue : WHILE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B Exercices de révision 36

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Notes
Ce polycopié a été élaboré à partir de
notes des cours donnés par Adnan Yassine et Aziz Alaoui au Département de Génie Electrique et Infor-
matique Industrielle de l’IUT du Havre
R.V. Churchill, Fourier series and boundary value problems, McGraw-Hill Book Co., 1963
B. Dacorogna et C. Tanteri, Analyse avancée pour ingénieurs, Presses polytechniques et universitaires
romandes, 2002
E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991
E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991
E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991
E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991
J-M. Monier, Analyse MPS,IDunod, 2006
Un grand merci à Pierre Maréchal et Mounsif Ech-Cherif El-Kettani pour leur aide.
Même s’il a été contrôlé plusieurs fois, ce polycopié pourrait contenir des imprécisions, des fautes... merci
aux étudiants qui voudront signaler les erreurs éventuelles.
Ce cours peut être retrouvé en ligne à la page https ://eureka.univ-lehavre.fr .

Ô
Ô
Chapitre 1
Fonctions de plusieurs variables
Motivations
En première année nous avons étudié des fonctions d’une variable (par exemple l’intensité du courant).
Nous allons à présent traiter le cas de fonctions dépendant de plusieurs variables.
Supposons que l’on désire étudier la température ou la pression atmosphérique en un point de
France, par exemple, dans le mois de septembre. Il s’agit d’étudier une fonction de trois variables :
la position (deux variables : longitude et latitude ) et la variable temps.
Un deuxième exemple de fonction à trois variables est l’energie potentielle électrique d’un système
de deux charges électriques q ,q distantes de r :1 2
q q1 2
U =
4πε r0
dépend de q ,q et de r.1 2
Un exemple de fonction à deux variables est le coût de la taxe foncière : il dépend de la taille de la
maison et de sa position.
I - Défnition
Défnition 1:
n nOn appelle fonction de plusieurs variables de R dansR, d’ensemble de défnition DR , toute appli-
cation défnie par :
nf : DR → R
(x , ..x ) → f(x , ..x )1 n 1 n
Remarque
?
? Dans ce cours on traitera essentiellement les fonctions de deux variables.? 2? Le domaine de défnition d’une fonction à deux variables est un ensemble de R (et pas deR!).?
Ex. guidé 1 : Déterminer les ensembles de défnition de :
1. f (x ,x ) = 3x + 4x + 7 :1 1 2 1 2 . . . . . . . .
2. f (x ,x ) = ln(2x + x + 3) :2 1 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. fonction température en France au mois de septembre :
36
6
Exemple 1 : Quel est le domaine de défnition de f(x, y) = y ln x?
Remarque
? Pour déterminer le domaine de défnition d’une fonction f à deux variables, il faut regarder les diférentes??
? étapes du calcul en respectant les règles de priorités habituelles et noter les conditions d’existence du??
? résultat à chaque étape.

x 1 + y
Exemple 2 : Pour f(x,y) = ln on peut imaginer les passages suivants :
x− 1
√ √
p p x 1 + y x 1 + y
y→ 1 + y→ 1 + y→ x 1 + y→ → ln
x− 1 x− 1
Par conséquent les conditions suivantes doivent être vérifées : 1 + y > 0 (condition qui vient du√
x 1 + y
deuxième passage), x−1 = 0 (condition qui vient du deuxième passage) et > 0 (condition
x− 1
qui vient du dernier passage).

x 1 + y
Ex. guidé 2 : Trouver l’ensemble de défnition de f(x, y) = ln .
x− 1

1 + y> 0
x− 1 = 02Le domaine de défnition de f est l’ensemble des (x, y) deR qui vérifent comme on l’a vu√ x 1 + y > 0
x− 1
p
dans l’exemple précédent. On remarque que 1 + y . Par conséquent on doit étudier .. . . . . . . . . . . .
x
Or, > 0 si et seulement si . On a donc. . . . . . . . . . .
x− 1
D = .f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ex. guidé 3 : Quel est le domaine de défnition de f(x, y) = y ln x 4− x?
Remarque
? Il peut être utile de représenter dans le plan le domaine de défnition d’une fonction à deux variables.?
42Domaines de la forme{(x, y)∈R : y> f(x)}
Supposons de vouloir représenter un domaineD qui s’écrit sous la forme
2D ={(x, y)∈R : y> f(x)}.
SoitC le graphe de la fonction f. Alors D est l’ensemble des points au dessus deC .f f
2SiD ={(x,y)∈R : y6 f(x)}, alors D est l’ensemble des points en dessous deC .f

2 2Exemple 3 : SoitD = (x,y)∈R y> x . Alors la représentation graphique de D est
y
(C )h
→−
j
→− x aO bi

2 Exemple 4 : SoitD = (x,y)∈R a6 x6 b, 06 y6 h(x) , où h est une fonction continue sur [a,b]. La
représentation graphique de D est
y
(C )h
→−
j
→− a xO bi
Remarque
? 2? Si l’on veut représenter un domaineD deR qui s’écrit sous la forme?
??
? 2? D ={(x,y)∈R : a(x, y)> 0, b(x, y)> 0}?
?
?? il peut être utile de représenter séparément les deux domaines?
??
? 2? D ={(x, y)∈R : a(x, y)> 0}1?
??
? 2? D ={(x, y)∈R : b(x, y)> 0}.2?
?
?? Alors D n’est rien d’autre que l’intersection de D et de D :1 2??
?
?? D = D ∩ D1 2?
??
? (à ne pas confondre avec l’union!!!).?
5

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