L'equation de Smoluchowski existence de solutions et phenomene de gelation

Publié par

L'equation de Smoluchowski : existence de solutions et phenomene de gelation Romain Joly et Emmanuel Vincent sous la direction de Benoıt Perthame 8 juin 2000 Resume On considere l'equation de Smoluchowski, qui est un modele decrivant simplement la coagulation de particules. On demontre l'existence de solutions, et on met en evidence le phenomene de gelation. On effectue enfin des simulations numeriques. Table des matieres 1 Introduction 2 2 Existence de solutions 2 2.1 Cas K borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 A propos du theoreme de Dunford-Pettis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Phenomene de gelation 11 3.1 Definition de la gelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • masse

  • ?u2 ? u1?sup

  • temps dt

  • decroit

  • norme l1 d'espace decroit avec le temps

  • particule


Publié le : jeudi 1 juin 2000
Lecture(s) : 98
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 19
Voir plus Voir moins
L´equationdeSmoluchowski:existencedesolutionset ph´enome`nedege´lation Romain Joly et Emmanuel Vincent sous la direction de Benoˆıt Perthame 8 juin 2000
Re´sum´e Onconsid`erele´quationdeSmoluchowski,quiestunmode`led´ecrivantsimplementlacoagulation departicules.Onde´montrelexistencedesolutions,etonmeten´evidenceleph´enom`enedege´lation. Oneectueenndessimulationsnum´eriques. Tabledesmatie`res 1 Introduction 2 2 Existence de solutions 2 2.1 Cas K borne´...........................................2 2.2Casgene´ral............................................5 ´ ` 2.3Aproposduthe´oremedeDunford-Pettis............................9 ` 3Ph´enom`de´elation11 ene g 3.1De´nitiondelage´lation.....................................11 3.2Unexempleder´esultat......................................11 4SimulationsNum´eriques12 4.1Discussionautourdelavalidit´edeladiscre´tisation......................12 4.2 Les programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3R´esultats.............................................14 5 Un peu de physique 17 5.1 Un exemple concret de K ( x y ) : la formation des gouttes d’eau . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2Applicationsa`lastronomie...................................17 6 Conclusion 18
1
1 Introduction Le´quationdeSmoluchowskid´ecritle´volutiondeparticulespouvantsagglome´rerpourformerdes particulesplusgrosses,ousefragmenterenparticulespluspetites.Danslasuite,onneconsid`ereraquele processusdagglom´eration.L´equationmod´eliseparexemplelacroissancedesgoutelettesdanslesnuages, laformationdese´toiles... On note c ( x t ) le nombre de particules de masse x a`linstant t . Et on suppose que deux particules de masses x et y ontuneprobabilite´ K ( x y ) dt desagglom´ererpendantuntemps dt . Physiquement, on suppose que le nombre et la masse totale des particules sont finis pour tout temps, cest-`a-direpourtout t , R c ( x t ) dx et R xc ( x t ) dx sont finies. De plus, c et K sont des fonctions positives et K estsyme´trique( K ( x y ) = K ( y x )). Pendant un temps dt , l’ensemble des particules de masse x gagne 12 R 0 x K ( y x y ) c ( y t ) c ( x y t ) dy dt particules(quanddesparticulesdemassesinfe´rieuresseregroupent)etperd R 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dy dt particules (quand des particules de masse x seregroupentavecdautres).Onobtientdoncle´quation suivante : tc ( x t )=21 Z 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dy Z 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dy . 2 Existence de solutions Nousnousinte´resseronsici`ar´esoudrelesyste`me t ) = 12 R 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dy R 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dy  t 0  x 0 t c ( x (1) c ( x t = 0) = c 0 ( x ) 0 L 1 2.1 Cas K borne´ ¸consparl L . Nouscommenecaso`u K Notations 2.1 Si u : R 2+ −→ R ( x t ) 7u ( x t ) Ontravailleaveclesfonctionsquiv´erient: u ( x  ) ∈ C 1 et u (  t ) L 1 . On introduit aussi la norme : ` k u k sup T = sup 0 t T k u t k 1 . L’espace des fonctions de R 2+ dans R avec la section a t x´edans L 1 est bien complet pour cette norme. Proprie´te´2.1 Une solution physique c ,cest-a`-direpositiveetsusammentd´ecroissante,ve´rient: k u k sup T ≤ k c 0 k 1 . Donc elle se trouve en particulier dans : B T = { u ; k u k sup T 2 k c 0 k 1 ; u ( x t ) 0 sur R + × [0; T ] } (2) Le 2 k c 0 k 1 ´etantl`apourdesraisonstechniquesquiapparaˆıtreronsdanslasuite.Nousallonsdoncres-treindrelarecherchedesolutionsa`cetypededemi-boule,puisquecestlelieudessolutionsquinous int´eressent.
2
D´monstration Il est clair que c ( x t ) 0estne´cessairea`laphysiqueduproble`me.Nouspouvonsalo e rs ecrire : ´ t Z 0 c ( x t ) dx = t k c t k 1 =21 Z 0 Z 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dydx Z Z 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dxdy  0 Lesinversionsdint´ation´etantassur´eesparlapositivite´destermes.Or: egr Z 0 Z 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dydx = Z 0 Z y K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dxdy = Z 0 Z 0 y t ) dxdy K ( x y ) c ( x t ) c ( D’ou : ` t k c k 1 = 12 Z 0 Z 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dxdy 0 t et k c t k 1 ≤ k c 0 k 1 ie k c k sup T ≤ k c 0 k 1 Nous allons montrer maintenant l’existence d’une solution sur tout R + , pour cela il nous faut com-mencera`de´montrerlexistencelocaleparunthe´ore`medepointxe. Lemme 2.1 On note ψ lapplicationquia` u associe v solution de : v ∂t ( xv( tx= t )0=)= 12 R c 00 x ( xK )( x 0 yy ) u ( x y t ) u ( y t ) dy R 0 K ( x y ) v ( x t ) u ( y t ) dy ψ estbiend´eniesur B T et laisse stable B T pour T assez petit. D´emonstration On suppose que u B T d `a x x´e, v ( x t )ve´rie: v dt ( vx( tx= t )0+)= λ ( tc ) 0 v (( xx ) t ) = a ( t ) λ et a sont continues en t etmˆeme C 1 ,lethe´ore`medeCauchy-Lipschitzassuredonclexistencede v x sur R + .Onconnaıˆtmeˆmelasolution,elleestdonn´eeparlaformule: t v ( x t ) = c 0 ( x ) e R λ ( s ) ds + Z 0 t a ( s ) e R 0 t λ ( r ) dr ds 0 Cela assure que v ( x t ) est positive, puisque c 0 0. Montrons la borne L 1 .Ontiredenotree´quationint´egr´eeen x et en t que : t Z 0 v ( x t ) dx =12 Z 0 Z 0 Z 0 K ( x y ) u ( x τ ) u ( y τ ) dxdydτ Z 0 t Z 0 Z 0 K ( x y ) v ( x τ ) u ( y τ ) dxdydτ + Z c 0 ( x ) dx 0 k v t k 1 t 2 k K k ( k u k sup T ) 2 + k c 0 k 1 3
k v k sup T 2 T k K k ( k c 0 k 1 ) 2 + k c 0 k 1 Et pour T 2 k K k 1 k c 0 k 1 , v appartient`a B T . Lemme 2.2 Pour T assez petit, ψ est contractante pour k k sup T et admet donc un unique point fixe qui estlasolutiona`notreprobl`emedans B T . D´emonstration Nousconsid´eronsles T pour lesquels ψ laisse stable B T . Soient deux fonctions de B T : u 1 et u 2 d’images v 1 et v 2 . Calculons : Z 0 | v 2 ( x t ) v 1 ( x t ) | dx 12 Z t Z 0 Z K ( x y ) | u 22 ( x τ ) u 12 ( x τ ) | dxdydτ 0 0 + Z 0 t Z 0 Z 0 K ( x y ) | u 2 v 2 ( x τ ) u 1 v 1 ( x τ ) | dxdydτ Ce qui implique que : k ( v 2 v 1 ) t k 1 t 2 k K k k u 2 + u 1 k sup T k u 2 u 1 k sup T + t k K k ( k u 2 k sup T k v 2 v 1 k sup T + k v 1 k sup T k u 2 u 1 k sup T ) Comme les fonctions sont dans les B T quisontstables,onpeutmajorernosnormesdesant´ece´dents et des images par 2 k c 0 k 1 :
k v 2 v 1 k sup T 2 T k K k k c 0 k 1 k u 2 u 1 k sup T + 2 T k K k ( k c 0 k 1 k v 2 v 1 k sup T + k c 0 k 1 k u 2 u 1 k sup T ) k v 2 v 1 k sup T ≤ k u 2 u 1 k sup T 1 4 T 2 k Tc k o c k o 1 kk 1 K kk K k = C ( T  k c 0 k 1 k K k ) k u 2 u 1 k sup T Pour T susammentpetit,onpeutrepondre`alaconditiondestabilit´eetrendre ψ contractante.
Proprie´t´e2.2 Ilexisteuneuniquesolutionphysique(positiveetrapidementde´croissante)sur R + × R + D´emonstration Nousavonsmontr´elexistencedunesolutionphysique`anotreprobl`emedans R + × [0  T ]. Cettesolutionestpositivedoncdapre`slaproprie´t´e(2),sanorme L 1 despaced´ecroitavecletemps. ´ Nouspouvonsre´ite´rerleprocessusenprenantcommedonne´ededepart c (  t = T 2 ),donne´equiest positive et de norme plus petite que celle de c 0 . Nous aurons une solution sur [ T 2 T 2 + T ] qui est sur [ T 2  T ]confondueavecnotresolutiondede´part(carilyaunicit´esurtoutintervalle[ T 2 T 2 + t ] t T ] ). On peut ainsi prolonger notre solution, mais en observant que les conditions sur T sont plus larges que celles sur T carlanormedeladonne´einitialede´croit(et T ned´ependquedecettenorme),onpeutdonc choisir T = T . Onpeutcontinuerdemˆemejusqua`obtenirunesolutionsurtout R + × R + .
4
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.