L'HÉRITAGE DU CAGEUX : UN MÉTIER QUÉBÉCOIS DU 19e SIÈCLE ...

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1 L'HÉRITAGE DU CAGEUX : UN MÉTIER QUÉBÉCOIS DU 19e SIÈCLE Récit et recherche par Billy Rioux En collaboration avec Annie Rousseau (M.A) En 1763, la Proclamation royale de Georges III sonne au rythme du tambour anglais. Elle officialise la passation des terres de Nouvelle-France aux Britanniques. Avec le Traité de Paris, la Conquête vient modifier de façon permanente le visage de notre nation. Bien que nous soyons encore des néo-français, la Province of Quebec appartient dorénavant aux Anglais : notre culture comme nos terres, nos rivières et nos forêts.
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Recherche opérationnelle
Plan du cours



Chapitre I : Introduction à la programmation linéaire ............................................................................... 2
Série 1 : Corrigés des exercices n° 1 à 2 et 5.......................................................................................... 4
Chapitre II : Résolution d’un PL par la méthode graphique ....................................................................... 9
Série 2 : Corrigés d’exercices ............................................................................................................... 20
Chapitre III : Résolution d’un PL par la méthode dite du « Simplexe ».................................................... 24
Série 3 : Corrigés d’exercices..... 30
Chapitre IV : Méthode du Simplexe : Problème de minimisation et problème irrégulier.......................... 39
Chapitre V : Dualité.........................................................................................................................................
Chapitre VI : Ordonnancement ..........................................................................................................................
T.P. : Programme de résolution d’un PL : L.I.N.D.O.........................................................................................
1 Recherche opérationnelle


Recherche opérationnelleCHAPITRE
Introduction à la 18 1
02programmation linéaire





I – Introduction
La programmation linéaire est une classe de modèles mathématiques d’optimisation qui a pour objet la
maximisation ou minimisation d’une fonction linéaire de variables ( appelée fonction objectifs soumise à des
contraintes (équations ou inéquations ).
Le terme « programmation » indique le fait que c’est un problème d’optimisation qui, du point de vue
économique, concerne l’allocation efficace des rares ressources à certaines activités en vue de maximiser ( ou
minimiser ) un certain objectif.
Le terme « linéaire » indique que les relations mathématiques qui lient ces activités aux variables sont
linéaires.
L’une des décisions les plus fréquentes d’un gestionnaire est l’allocation des ressources entre des
activités données en vue d’un objectif déterminé : La minimisation des coûts, la maximisation des profits où
l’optimisation d’un critère quelconque de performance constitue l’une des préoccupations urgentes du chef
d’entreprise surtout que ce dernier dispose de ressources limitées en matières premières, main d’œuvre et fonds.
Donc, la programmation linéaire fournit au décideur une méthode pour la recherche des solutions
optimales à ces problèmes d’allocation.

II – Formulation d’un modèle de
décision
1 – Caractéristiques d’un programme linéaire (PL)
Un PL est caractérisé par :
A – Sa fonction économique ou fonction objectif ou fonction linéaire notée Z :
Z = C x + C x + … + C x1 1 2 2 n n
x ,x , …, x = Variables 1 2 n
Remarque : Si c’est un profit, on parle alors de maximiser Z. S’il s’agit de coûts, l’on parle alors de
minimiser Z tout en respectant les contraintes.

B – Des inconnues (x ,x , …, x ) ou variables de décision. indépendantes dont on cherche les valeurs. 1 2 n
C – Des contraintes qui doivent vérifier ces inconnues qui prennent la forme d’égalités ou inégalités.

2 – Formulation d’un PL
Un menuisier fabrique des portes et des chaises. Quel est l’objectif du menuisier ?
⇒ Sa fonction objectif : Maximiser le profit.
2
2005 Recherche opérationnelle
Ce menuisier est soumis à des contraintes.
On a : Z = C x +C x 1 1 2 2
Avec : x = la quantité produite de tables. 1
x = la quantité produite de chaises. 2
C = Prix de vente des tables. 1 = Prix de vente des chaises. 2
DIl est à noter que le profit unitaire généré par la vente d’une table est de 2 . Le profit unitaire généré par
Dla vente d’une chaise est de 3 . D’où :
Z = 2x +3x 1 2
x x Disposition 1 2
HM 2 4 120
MP 3 2 240
2 3 ΠU
Supposons que :
- 1 unité produite de tables nécessite 2 unités d’heures de main d’œuvre et 3 unités de matières
premières.
- 1 unité produite de chaises nécessite 4 unités d’heures de main d’œuvre et 2 unités de matières
premières.
- Le menuisier dispose de 120 heures de main d’œuvre et de 140 unités de matières premières.
Disposer les données en tableau !

HM = Heures de main d’œuvre.
MP = Matière première.
ΠU = Profit unitaire ( Π - pi – pour profit ).
Le programme linéaire s’écrit sous la forme :
Max Z = 2 x +3 x 1 2
Sous les contraintes :
2x + 4x ≤ 120 1 2
3x +2x ≤ 240 1 2
avec toujours x ≥ 0 et x ≥ 0 . 1 2

La formulation initiale d’un programme linéaire donne en général un problème sous la forme générale
qui est :
n
Max ou Min Z = C x + C x + … + C x = C x 1 1 2 2 n n ∑ i i
i =1
erS/C a x + a x + … + a x ≥ b 1 type 11 1 12 2 1n n 1
ème . ≤ b 2 type i
ème. = b 3 type i
a x + a x + … + a x n1 1 n2 2 nn n

Exemple de formulation
Dans une raffinerie, on fait la distillation de 2 types de pétrole B et B pour déterminer 3 qualités 1 2
d’essences E , E et E . 1 2 3
La raffinerie doit approvisionner un distributeur d’essence. La distillation de 100 litres de B1 fournit 10
litres de E1, 10 litres de E2 et 20 litres de E3 alors que la distillation de la même quantité de B2 fournit 50
litres de E1, 40 litres de E2 et 20 litres de E3.
La raffinerie doit satisfaire une commande de 500 litres de E1, 400 litres de E2 et 600 litres de E3.
Sachant que les coûts par m3 sont de 20 d pour B1 et de 25 D pour B2, formulez le PL qui minimise le
coût des quantités des bruts utilisés pour la satisfaction de la demande.
3 c
d
e
d
e
e
d
c
c
Recherche opérationnelle


Recherche opérationnelleCHAPITRE
Correction d’exercices 19 1
02
de la série n°1



Rappels : Les étapes de la formulation d’un PL sont :
n
Fonction objectif : Max ou Min Z = C x + C x + … + C x = C x 1 1 2 2 n n ∑ i i
i =1

Variables de décision : x j

er Contraintes : a x + a x + … + a x ≥ b 1 type 11 1 12 2 1n n 1
ème . ≤ b 2 type i
ème. = b3 type i
a x + a x + … + a x n1 1 n2 2 nm n
Remarque : Les contraintes forment un système matriciel : A X = b .

Corrigé de l’exercice n°1

Fonction objectif : Minimiser les coûts des quantités de brut. <-> Z = C x + C x min 1 1 2 2
Variables de décision : x : Quantité de brut de B . 1 1
x . 2 2
Contraintes : Contraintes de satisfaction des commandes.

D’où le PL suivant :
Min Z = 20x + 25x1 2
S 10 x + 50 x ≥ 500 1 2
C
10 x + 40 x ≥ 400 1 2
20 x + 20 x ≥ 600 1 1
avec x et x ≥ 0 1 2

Corrigé de l’exercice n°2
Fonction objectif : Maximiser le profit <-> max Π
Variables de décision :
Quantités produites d’interrupteurs de type A : x 1
Π
’ine type B : x2
Contraintes : La production est limitée par :
rea) 1 contrainte : Le temps de travail
T = nombre d’heures de travail disponibles
t = nombre d’heures nécessaires pour fabriquer un interrupteur de type A. 1
4
2005 c
d
e
f
g
Recherche opérationnelle
t = nombre d’heures nécessaires pour fabriquer un interrupteur de type B. 2
T = t x + t x ≤ T 1 1 2 2
T = 2 t1 2
Si x 0 , on fabrique le maximum de B c’.à.d. x = 1000. 1 = 2
Nous avons = t x = T <-> 1000 t = T 2 2 2
D’où : 2 t x + t x ≤ 1000 t 2 1 2 2 2
2 x + x ≤ 1000 1 2

èmeb) 2 contrainte : L’isolant disponible
x + x ≤ 600 1 2

èmec) 3 contrainte : La quantité de fil de laiton
x ≤ 400 1
x ≤ 700 2
D’où le PL suivant :
Max Π = 0,4 x + 0,3 x 1 2
S 2 x + x ≤ 1000 1 2C
x + x ≤ 600 1 2 ≤ 400 1
x ≤ 700 2
avec x et x ≥ 0 1 2

Corrigé de l’exercice n°5
x = nombre de chauffeurs qui commencent le travail au début de la période i de 2 heures. i
Pour avoir a pendant la période i, on essaie de définir les contraintes par période : i

Période : x + x + x + x + x + x + x +x + x + x +x + x ≥ a1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
x + x + x + x ≥ a 1 10 11 12 1
Période : x + x + x + x ≥ a 1 2 11 12 2 : x + x + x + x ≥ a 1 2 3 12 3
Période : x + x + x + x ≥ a 1 2 3 4 4
Périodes 5 à 12 : x + x + x +x ≥ a k-3 k-2 k-1 k k
Exemple pour la période : x + x + x + x 2 3 4 5

5 Recherche opérationnelle

Recherche opérationnelleCHAPITRE
Introduction à la 26 1
02programmation linéaire



3 – La formulation algébrique d’un programme linéaire
A – Forme générale G
Et
Forme standard S
La formulation initiale d’un programme linéaire donne en général un problème sous une forme générale
qui est la suivante :
Forme générale G

n
Max ou Min Z = C x + C x + … + C x = C x 1 1 2 2 n n ∑ j j
j =1
erS a x + a x + … + a x ≥ b 1 type 11 1 12 2 1n n 1C
ème . ≤ b 2 type i
ème = b3 type i
a x + a x + … + a x n1 1 n2 2 nm n

Les variables de décision sont x , x , …, x et la fonction économique à optimiser est représentée par Z. 1 2 n
Les paramètres C , b et a sont des constantes connues d’avance. ij i ij
Trois types de contraintes sont généralement présentes : ≥ , ≤ ou = .
Il y a aussi deux catégories de variables de décision : Certaines sont supposées ne prendre que des
valeurs non négatives alors que d’autres peuvent prendre toute valeur réelle. Un PL sous forme générale (G)
peut être transformé en un PL équivalent sous forme standard notée A ou S.
n
Max Z = C x < - > Max Z = C x + C x + … + C x ∑ j j 1 1 2 2 n n
j =1
a x + a x + … + a x ≤ b 11 1 12 2 1n n 1
a x + a x x ≤ b21 1 22 2 2n n 2
................................................ S a x ≤ bi ∑ ij jC < - > xj ≥ 0
a x + a x + … + a x ≤ b n1 1 n2 2 nn n n

La forme générale (G) se caractérise par le fait que c’est un problème où toutes les contraintes sont du
type ≤ et les variables de décision sont non négatives.
Sa forme standard (S) est :
Max Z = C x ∑ j j
S a x = b i∑ ij jC
6
2005 Recherche opérationnelle
xj ≥ 0
La forme standard se caractérise par des contraintes sous forme d’équations (égalité = ).

B – Passage de la forme générale à la forme standard
Un certain nombre de transformations algébriques permettent le passage de la forme générale à la
forme standard :
n
B1 – Si le problème consiste à minimiser Z <-> Min Z = C x , on doit changer le sens ∑ j j
j =1
d’optimisation i.e :
n n
Min Z = C x <-> Max Z = ( −C )x ∑ j j ∑ j j
j =1 j =1

B2 – Si le sens d’inégalité des contraintes est de type supérieur ou égal ≥, l’on doit changer le
sens d’inégalité ( ≤) :
a x ≥ b <-> ( −a )x ≤ -bi i ∑ ij j ∑ ij j

B3 – Si les contraintes sont de type (=), on doit convertir l’égalité en inégalité :

a x ≥ b ⇔ ( −a )x ≤ - b⎪ ∑ ij j i ∑ ij j i


a x = b <-> a x ≥ b <-> et i i ⎨∑ ij j ∑ ij j

⎪ a x ≤ b ∑ ij j i⎪⎩

B4 – Convertir une inégalité en égalité en introduisant des variables d’écart :
a x ≤ bi <-> a x + S = b i i∑ ij j ∑ ij j
a x ≥ bi <-> a x - S = b i i∑ ij j ∑ ij j
Remarque : Les variables d’écart n’apportent aucune contribution à la fonction objectif.

B5 – Dans le cas où les variables de décision sont libres ou sans contrainte de signe, l’on doit
remplacer la variable x par 2 variables non négatives. j
En d’autres termes, si x est libre, on introduit : j
+ -x et x ≥ 0 j J
telles que :
+ -x = x - x j j J

Quelques définitions et rappels
Un PL sous forme standard (S) peut être écrit sous une forme matricielle en utilisant la notation
suivante :




7 Recherche opérationnelle
a a . . . . a⎛ ⎞11 12 1m
⎜ ⎟
a a . . . . a⎜ ⎟21 22 2m
⎜ ⎟. .
⎜ ⎟A = Matrice des coefficients techniques (a ) ij A = . . ⎜ ⎟
⎜ ⎟
. .
⎜ ⎟
⎜ ⎟. .
⎜ ⎟
a a . . . . a⎝ n1 n2 nm ⎠
C = Matrice des c X = matrice des x j i
⎛ c ⎞ ⎛ x ⎞1 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟
c x⎜ ⎟ ⎜ ⎟2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟. .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
C = X =⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟
⎜ ⎜⎟ ⎟
. .⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟.. ..
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
c xn n⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pour avoir Max Z :
tMax Z = C’ X -- C’ est une matrice transposée de C <-> C.
S AX =b
C
x ≥ 0

Une solution possible au PL est un vecteur X qui satisfait les contraintes AX = b.
8 Recherche opérationnelle


Recherche opérationnelleCHAPITRE
Résolution d’un PL 26 2
02
Méthode graphique



L’objet principal de ce chapitre est de proposer une méthode de résolution d’un problème linéaire ne
comportant que 2 variables de décision.
La méthode consiste en la délimitation de l’intersection des demi-plans représentant les inéquations des
contraintes et en la recherche dans ce domaine des points donnant l’optimum de la fonction objectif.

I Définitions
1 - Solution possible non réalisable
Elle respecte le principe de la non négativité et se trouve en dehors du polyèdre. Autrement dit, elle ne
vérifie pas les contraintes fonctionnelles.

2 – Solution possible et réalisable
Elle se trouve à l’intérieur du polyèdre. Autrement dit, elle vérifie toutes les contraintes ( contraintes
fonctionnelles et contraintes de signe ).

3 – Solution réalisable de base ( notée SRB )
C’est un point extrême, sommet ou point extrémal du polyèdre :
C
A
D
B


4 – Solution réalisable non optimale
C’est un point quelconque du domaine se trouvant à l’intérieur du polyèdre.

5 – Solution optimale
C’est une solution réalisable de base maximisant la valeur de Z ( lorsque l’optimisation est une
maximisation).
Elle est obtenue en déplaçant la droite z vers le haut parallèlement à elle-même (même pente = même
coefficient directeur de la droite : y = a x -- a est la pente, le coefficient directeur ) jusqu’au
dernier contact avec un point extrême du polyèdre.
9
2005 Recherche opérationnelle

II – Recherche de la solution
optimale
La recherche de l’optimum à l’aide de la méthode graphique ne peut s’appliquer aux problèmes de + de
2 variables de décision.
La méthode graphique présente l’avantage d’être simple et permet l’illustration de certains principes de
base pour une méthode plus générale ( méthode du Simplexe ).

1 – Représentation graphique des contraintes fonctionnelles
Dans la région des solutions possibles, on se propose de déterminer l’ensemble des solutions réalisables
c’.à.d. qui vérifient simultanément toutes les contraintes fonctionnelles. Pour cela, il nous faut d’abord
connaître l’ensemble des points qui respectent chacune de ces contraintes, chaque contrainte fonctionnelle étant
en relation linéaire correspond à un seul demi-plan limité par la droite qui représente cette contrainte au sens de
l’égalité.

La connaissance des demi-plans qui respectent la contrainte résulte d’une simple évaluation d’un point
quelconque non situé sur la droite.
Dans la pratique, on utilise le point origine de coordonnées (0,0).
L’intersection des demi-plans constitue le polyèdre convexe : C’est le domaine des possibilités,
domaine de disponibilité, polygone des contraintes.

2 - Recherche de la solution optimale
Sachant que la droite qui correspond au profit Max doit traverser le domaine des solutions réalisables et
qu’un déplacement vers le haut de cette droite fait croître la valeur de Z, le dernier point touché, le plus éloigné
de l’origine correspond à la solution optimale.
Remarque : A l’origine, x = 0 1
x = 0 2Z = 0

T.A.F. : Comment représenter la droite de la fonction objectif ?
Max Z = C x + C + x 1 1 2 2
CZ 1x = − x 2
C C2 2
− C Z1x = x + 2 1
C C2 2

C1x = − x + Constante 2 1
C2
En général,
On fixe Z = 0, nous avons un premier point O de coordonnées ( 0,0 ), nous savons que par 2 points passe
une droite, il suffit de déterminer un deuxième point :
Δ : Courbe de niveau ⎛ ⎞ ZC Z1 ⎜ ⎟ erΔ = x = − x + 0 nb : = 0 z 2 1 ⎜ ⎟ Il suffit de représenter Δ pour le 1 niveau ZC C2 ⎝ 2 ⎠ qui correspond à Z/C = 0 <-> Z = 0 2
O( 0,0 ) A( ?, ? ).
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