L1 Ma-100 mathématiques

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B. E. 2011 - 2012 L1 Ma-100 mathématiques Notes de cours et exercices Version du 31 octobre 2011 Université de Versailles Saint Quentin Dép. de Mathématiques
  •  
  •  
  • raccourci d'écriture avec le signe σ
  • changement de variable ℓ
  •  
  • signe σ
  • notation raccourcie
  • tests 
  • récurrence
Publié le : lundi 26 mars 2012
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B.E. 2011-2012
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L1Ma-100mathématiques
Notesdecoursetexercices
Versiondu31octobre 2011
UniversitédeVersaillesSaintQuentin Dép.deMathématiquesTabledesmatières
 Sommes,produitsetfactorielles.Récurrence ....................................... 
. Signessommeetproduit ...................................................... 
. Leraisonnementparrécurrence................................................ 
. Combinatoire................................................................. 
. Pourcentages ................................................................. 
. Travauxdirigés ............................................................... 
. Réponsesauxtests ............................................................ 
 Ensembles.Assertions............................................................. 
. Ensembles ................................................................... 
. Assertionsetleursnégations................................................... 
. Travauxdirigés ............................................................... 
. Réponsesauxtests ............................................................ 
 Puissances,exponentiellesetlogarithmes .......................................... 
. Puissances ................................................................... 
. Exponentielleetlogarithme.................................................... 
. Croissancescomparées ........................................................ 
. Echellelogarithmique:l’exempledesdécibels .................................. 
. Travauxdirigés ............................................................... 
. Réponsesauxtests ............................................................ 
 Fonctionstrigonométriquesetnombrescomplexes.................................. 
. Fonctionstrigonométriques.................................................... 
. Ecriturecomplexedesfonctionstrigonométriques ............................... 
. Fonctionssinusoïdales ........................................................ 
. Réponsesauxtests ............................................................ 
. Travauxdirigés ............................................................... X
X
X
X
|
{z
}
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
 Sommes,produitsetfactorielles.Récurrence
To the question«what is 2+ 3»a Frenchprimary school
pupil replied:«3+ 2». — VladimirArnol’d
surl’enseignementdesmathématiques enFrance
.. Signessommeetproduit
PourunesommeonpeututiliserunenotationraccourcieavecunsigneΣ.
n
x +x +···+x = x .0 1 n k
k=0
L’indicedesommationk peutcommencerpartoutnombreentier.Parexemple,
3
(2k−1)=−3−1+1+3+5 = 5.
k=−1
Danslasommequ’onvientd’écrirelavariablenfiguredesdeuxcôtésdel’équationtandisquek
estutiliséuniquementpourleraccourcid’écritureaveclesigneΣ.Onditquenestune«variable
globale» et une variable «local» ou «muette». Par conséquence on peut remplacerk par toute
autrelettre(saufnouxévidemment).
n n n n
x = x = x =··· Attention: x n’apasdesens!k i j n
n=1k=1 i=1 j=1
Règlesdecalcul
Somme d’une suite constante.
n
a =a+a+···+a =na
k=1 nfois
Factorisation d’une constante (distributivité).
(ax +···+ax )=a(x +···+x )1 n 1 n
n n
ax =a xk k
k=1 k=1
Regroupement de termes (associativité et commutativité).
(x +···+x )+(y +···+y )= (x +y )+···+(x +y )1 n 1 n 1 1 n n
n n n
x + y = (x +y )k k k k
k=1 k=1 k=1
Annulation de termes. PourN >nlespremiersntermesdeladifférencesuivantes’annulent:
(x +···+x )−(x +···+x ) =x +···+x1 N 1 n n+1 N
N n N
x − x = x (siN >n)k k k
k=1 k=1 k=n+1X
X
X
X
X
X
X
X
X
X

X
X
X
X
X
Š
X
X
X
X
X
X
www.mathoman.com Chapitre  : Sommes,produitsetfactorielles.Récurrence
Tests
.. Calculer .. Ecrirelespremierstermesetledernier;identifierles
variablesglobalesetlesvariableslocales(muettes).
n j=73 3
1 2 k k2 A = 2k , C = (j +p ),2k , ,
2
k=0 j=k
k=0 k=0
n=p ℓ3 3
1 1 q2 2 B = n , D = (ℓ+1).2k + , 2k + .
2 2
k=0 k=0 n=q i=1
Changementsd’indices
Une somme possède de nombreuses écritures à l’aide du symbole Σ. Considérons par exemple
S = 6+8+10+12+···+28.Ona
14 13 15
S = 2k = (2k+2)= (2k−2)
k=3 k=2 k=4
etl’onpeutcontinueràdécalerainsilesindices.
Plusgénéralement,examinonslecasdelasommesuivante:
n
S = u .n k+1
k=0
OnabiensûrS =u +u +···+u ,d’oùn 1 2 n+1
n n+1
S = u = u .n k+1 k
k=0 k=1
Cettemanipulations’appelleunchangementd’indice;onpeutl’effectuersansjustificationparti-
culière.Encasdedifficulté,onprocéderacommedanslaméthodesuivante.
Méthode ..
k=n
Pour effectuer le changement de variableℓ = k + 1 dans la sommeS = u , on remplacek park+1
k=0
ℓ−1.Onobtient
ℓ−1=n ℓ=n+1
S = u = u .ℓ−1+1 ℓ
ℓ−1=0 ℓ=1
Enfin,l’indiceℓétantmuet,onpeutéviterl’inflationdunombredevariablesetécrire
n n+1
S = u = u .k+1 k
k=0 k=1
Les considérations précédentes concernaient des décalages d’indices. Signalons dès maintenant
un autre type de changement de variable, qu’on pourrait qualifier de symétrie. Interprétons et
n n
prouvons,parexemple,laformule k = (n−k).Ils’agitdeprouverque
k=0 k=0
 Université de Versailles Saint Quentin L1 MA100 2011 - 2012Q
X
X
X

Š
X
X
Q
Q
X
X
X
X
Q
X
Q
X
X
X
X
Y
X
Y
X
Y
X
www.mathoman.com Signes somme et produit
u +u +···+u +u =u +u +···+u +u ,0 1 n−1 n n n−1 1 0
égalitébanaleparcommutativitédel’addition.Onjustifieracetteégalitédelamanièresuivante:
effectuonsle changement devariableℓ = n−k.Lorsque la variablek parcourtlesn+1 valeurs
0,1,...,n−1,n,lavariableℓparcourtlesn+1valeursn,n−1,...,1,0,d’où
n n n
k = (n−ℓ)= (n−k).
k=0 ℓ=0 k=0
q
Rappelonsquel’écriture u n’adesensquepourp6q.Onseravigilantlorsqu’unchangementk
k=p
d’indicerenversel’ordredesindices.C’estpourquoiicinousavonsévitédeprocédercommesuit:
k=n n−ℓ=n ℓ=0
k = (n−ℓ)= (n−k).
k=0 n−ℓ=0 ℓ=n
Méthode ..
Pourundébutant,uneméthodesûrepourvérifierl’égalitédedeuxsommesécritesaveclessigneΣest
d’écrirechacunesanslesigneΣ,enspécifiantlespremiersetdernierstermes,puisdecomparer.
Tests
.. Vraioufaux? .. Compléterleségalités,
n n−2 n n n •
x = x x = 2 x u = u ,k−2 k 2k k k+2 k
k=0 k=−2 k=0 k=0 k=3 k=•
9 0 k •
k1 k (3n−1) = (3n+2).= 2
2
n=−2 n=•k=0 k=−9
Signeproduit.Factorielle
PourunproduitonpeututiliserunenotationraccourcieavecunsigneΠ.
n
x x x ···x = x .0 1 2 n k
k=0
3
Parexemple (2k−1)=1×3×5 =15.
k=1
Pourn∈Nlafactorielledendésigneleproduitdesnombresentiersde1àn.Onlanoten!.
n
n!= k =n(n−1)×···×3×2×1, 0!= 1.
k=1
Tests
4 4 4
.. Calculern!pourn∈ J1,6K. .. Calculer 2k, 2k, 2.
k=1 k=0 k=0
.. Calculer
9! 9! n! (n−1)!
, , , .
n n7! 11! (n−1)! (n+1)! .. Vraioufaux? ax = a x .k k
k=1 k=1
 Université de Versailles Saint Quentin L1 MA100 2011 - 2012X
X
X
8
<
:
6
6
X
X
P
X
www.mathoman.com Chapitre  : Sommes,produitsetfactorielles.Récurrence
Sommesparticulières
Certaines sommes sont très fréquentes et il est conseillé de connaître leurs formules (ainsi que
leurspreuves)parcœur.
n
n(n+1)
Proposition .. Soitn∈N.Alors ona k = .
2
k=1
n
Preuve. PosonsS = k.Supposonsd’abordquenestpair.Onak=1
S = 1+2+3+···+(n−2)+(n−1)+n.
Formonsdescouplesencommençantparlesextrémités:
1 + n
2 + (n−1)
3 + (n−2)
.
..
nLa somme de chaque couple vautn+1. Il y a couples (la moitié du nombre de termes). Donc
2
nS = (n+1)× ,cequiprouvelaformule.
2
Il reste à traiter le cas oùn est impair. Dans ce cas, si on formait les couples comme ci-dessus il
resteraituntermetoutseul.pouryreméderonajouteleterme0,
S = 0+1+2+···+(n−2)+(n−1)+n.
n+1Maintenant le nombre de termes est n + 1, qui est un nombre pair, et on peut former 2
couples, en commençant par les extrémités : 0 +n, 1 +n,... Chaque couple a pour somme n,
n+1d’oùS =n× .
2
Corollaire ..(Sommed’unesuitearithmétique)
La sommeS destermes consécutifsd’unesuitearithmétiqueest donnéeparla formule
1
S = × (nombredetermes) × (premierterme+dernier terme).
2
Preuve. Unesuitearithmétiquederaisonas’écritx =ak+x ,k∈N.Donck 0
n n n
n(n+1) 1
S = (ak+x )=a k+ x =a +(n+1)x = (n+1)(an+2x ).0 0 0 0
2 2
k=0 k=1 k=0
Onremarquequelenombredetermesdanslasommeestn+1etquean+2x estla sommedu0
premiertermex etduderniertermex =an+x ;laformuleestainsiprouvée. 0 n 0
n+11−qn
siq = 1,kProposition .. Soitq∈C etn∈N.Alors ona q = 1−q
k=0 n+1 siq = 1.
Preuve. L’énoncéestclairpourq = 1caronsommen+1foisletermeconstant1.Pourq = 1on
remarqueque
n
k 2 n(1−q) q = (1−q)(1+q+q +···+q )
k=0
2 n 2 3 n+1 n+1= (1+q+q +···+q )−(q+q +q +···+q ) =1−q
 Université de Versailles Saint Quentin L1 MA100 2011 - 2012
X
X
X
X
www.mathoman.com Le raisonnement par récurrence
Onconclûtendivisantcetteégalitépar1−q.
Corollaire ..(Sommed’unesuitegéométrique)
La somme S des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q ∈ C\{1} est donnée par la
formule
nombredetermes1−q
S = (premierterme) × .
1−q
kPreuve. Unesuitegéométriquederaisonq s’écritx =x q ,k∈N.Donck 0
n n n+11−qk kS = x q =x q =x ,0 0 0
1−q
k=0 k=0
cequiestprécisémentlaformuleannoncée.
Tests
.. Calculer .. Calculer
A = 5+8+11+14+···+32 C = 1+2+4+8+···+1024
B = 5+2−1−4−7−···−25 D = 64+32+16+···+1/64
.. Leraisonnementparrécurrence
Ce raisonnement est l’un des plus courant en mathématiques et il importe de le maîtriser par-
faitement. L’invention du raisonnement par récurrence est traditionnellement attribuée par les
ehistoriens à Francisco Maurolico, mathématicien italien du XVI siècle. Il est intimement lié à la
structure de l’ensemble des entiers naturelsN. Nous ne pourrons pas dans ce texte entrer plus
avantdanslesproblèmesposésparl’axiomatiquedelathéoriedesensembles.Làencore,lesens
communseranotremeilleurguide.
Règle .. Soitn ∈N. Pour tout entier natureln>n , on considère une propositionP(n) dépen-0 0
dant den. Alors, siP(n ) est vraieet si pour tout entiern>n , l’implicationP(n)⇒P(n+1)est0 0
vraie,alors pourtoutentiern>n ,P(n)est vraie.0
Ilestrecommandéaulecteurdeprésentersesraisonnements parrécurrenceselonl’exemplesui-
vant.
Exemple ..
n+2 n+2 n+2Montronsque∀n∈N,5 > 4 +3 .
n+2 n+2 n+2Raisonnons parrécurrence.Pourn∈N,notonsP(n)laproposition5 > 4 +3 .
2 2 2⋄P(0)estclairementvraiepuisque5 = 4 +3 .
⋄Prouvonsque∀n> 0,P(n)⇒P(n+1).Soitunentiern> 0.OnsupposequeP(n)estvraie.Ainsi
P(n)
n+3 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+3 n+35 = 5×5 > 5 4 +3 = 5×4 +5×3 > 4×4 +3×3 = 4 +3 .
AinsiP(n+1)estvérifiée.
⋄D’aprèsleprincipederécurrence,P(n)estvraiepourtoutentiernatureln.
Tests
n
n(n+1) .. Démontrerparrécurrencelaformule
.. Démontrerparrécurrencelaformule k = . n
2 n+11−qk
k=0 q = .
1−q
k=0
 Université de Versailles Saint Quentin L1 MA100 2011 - 2012




www.mathoman.com Chapitre  : Sommes,produitsetfactorielles.Récurrence
.. Combinatoire
Arrangements
Proposons-nous d’arranger3 objets A,B et C en une ligne, de gauche vers la droite.Combien de
possibilitésa-t-on?Laréponseest6.Enfait,cesontABC,ACB,BAC,BCA,CABetCBA.Onpeut
lesretrouvergrâceàunearbredechoix.
Premièreposition:troischoixpossibles A B C
Deuxièmeposition:deuxchoixpossibles C CB A A B
C CB A B ATroisièmeposition:unseulchoixpossible
Sionveutarrangernobjets,onprocèdedemanièreanalogue:
pourlapremièreposition: nchoixd’objetpossibles,
pourladeuxièmeposition : n−1choixd’objetpossibles,
...
pourlan-ièmeposition : 1seulobjetreste.
Onmultipliantontrouvedonc
Nombred’arrangementsdenobjets =n(n−1)×···×2×1=n!
Maintenantproposons-nousd’arrangerseulementk objetsparmilesnobjets(k6n).
pourlapremièreposition: nchoixd’objetpossibles,
pourladeuxièmeposition: n−1choixd’objetpossibles,
...
pourlak-ièmeposition: n−k+1choixd’objetpossibles.
n!
Nombred’arrangementsdek objetsparminobjets =n(n−1)···(n−k+1)=
(n−k)!
n!On remarque que sik = n la formule redonnen!. On peut interpréter la fraction comme(n−k)!
suit.Nousplaçonstouslesnobjetsenuneligne.Ilyan!possibilitédelefaire.Maisons’interesse
seulement à k objets (par exemple ceux qui se trouvent à gauche). Il faut donc diviser n! par
(n−k)!quiestlenombred’arrangementsdesn−k objetsquinousneregardentpas.
Nombredecombinaisonsdekobjetsparmin
Soient n et k deux entiers naturels. On appelle combinaison de k objets parmi n toute partie à k
nélémentsd’unensembledenéléments.Onnote lenombredecombinaisonsdekobjetsparmik
kn.Cenombres’appellecoefficient binomialetcertainsauteurslenotentC .Onan
n n! n
= sik6n, =0 sik>n.
k k!(n−k)! k
Preuve. La formule est évidente si k > n (on ne peut pas prendre dix objets parmi huit, par
n!exemple). Dans le cask 6 n on établit d’abord le nombre d’arrangements, à savoir puis,(n−k)!
pourneplustenircomptedel’ordredesk objetschoisis,ondivisepark!.
 Université de Versailles Saint Quentin L1 MA100 2011 - 2012

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