LA FILTRATION CANONIQUE DES POINTS DE TORSION DES GROUPES p DIVISIBLES

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LA FILTRATION CANONIQUE DES POINTS DE TORSION DES GROUPES p-DIVISIBLES LAURENT FARGUES AVEC LA COLLABORATION DE YICHAO TIAN Resume. Etant donne un entier n ≥ 1 et un groupe de Barsotti-Tate tronque d'echelon n et de dimension d sur un anneau de valuation d'inegales caracteristiques, nous donnons une borne explicite sur son invariant de Hasse qui implique que sa filtration de Harder-Narasimhan possede un sous-groupe libre de rang d. Lorsque n = 1 nous redemontrons egalement le theoreme d'Abbes-Mokrane ([1]) et de Tian ([37]) par des methodes locales. On applique cela aux familles p-adiques de tels objets et en particulier a certaines varietes de Shimura de type PEL afin de montrer l'existence de familles compatibles de sections de certaines correspondances de Hecke sur des voisinages tubulaires explicites du lieu ordinaire. Abstract. Given an integer n ≥ 1 and a truncated Barsotti-Tate group of level n and dimension d over an unequal characteristic valuation ring, we give an explicit bound on its Hasse invariant so that its Harder-Narasimhan filtration has a break which is free of rank d. When n = 1 we also give a local proof of the Abbes-Mokrane ([1]) and Tian ([37]) theorem. We apply this to p-adic families of such objects and in particular prove the existence of compatible families of sections of some Hecke correspondences on explicit tubular neighborhood of the ordinary locus in some PEL type Shimura varieties.

  • filtration de harder-narasimhan

  • invariant de hasse

  • yy yy

  • filtration

  • ee ee

  • spk


Publié le : samedi 1 octobre 2011
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LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES

LAURENTFARGUES
AVECLACOLLABORATIONDEYICHAOTIAN

Re´sume´.
E´tantdonne´unentier
n

1etungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n
etdedimension
d
surunanneaudevaluationd’ine´galescaracte´ristiques,nousdonnonsune
borneexplicitesursoninvariantdeHassequiimpliquequesafiltrationdeHarder-Narasimhan
posse`deunsous-groupelibrederang
d
.Lorsque
n
=1nousrede´montronse´galementlethe´ore`me
d’Abbes-Mokrane([1])etdeTian([37])pardesme´thodeslocales.Onappliquecelaauxfamilles
p
-adiquesdetelsobjetsetenparticuliera`certainesvarie´te´sdeShimuradetypePELafinde
montrerl’existencedefamillescompatiblesdesectionsdecertainescorrespondancesdeHecke
surdesvoisinagestubulairesexplicitesdulieuordinaire.

Abstract.
Givenaninteger
n

1andatruncatedBarsotti-Tategroupoflevel
n
anddimension
d
overanunequalcharacteristicvaluationring,wegiveanexplicitboundonitsHasseinvariant
sothatitsHarder-Narasimhanfiltrationhasabreakwhichisfreeofrank
d
.When
n
=1we
alsogivealocalproofoftheAbbes-Mokrane([1])andTian([37])theorem.Weapplythisto
p
-adicfamiliesofsuchobjectsandinparticularprovetheexistenceofcompatiblefamiliesof
sectionsofsomeHeckecorrespondencesonexplicittubularneighborhoodoftheordinarylocus
insomePELtypeShimuravarieties.
1.
Introduction
1.1.
Soit
p
unnombrepremier.Soit
K
uneextensionvalue´ecomple`tede
Q
p
devaluationdiscre`te
et
A
unsche´maabe´liendedimension
g
sur
O
K
.Si
A
are´ductionordinairesurlecorpsre´siduel
de
K
et
n

1estunnombreentier,lespointsde
p
n
-torsionde
A
sontmunisd’unefiltration
canonique
0
−→
A
[
p
n
]
0
−→
A
[
p
n
]
−→
A
[
p
n
]
e´t
−→
0
ou`
A
[
p
n
]
0
estunsche´maengroupesdetypemultiplicatifd’ordre
p
ng
et
A
[
p
n
]
e´t
este´taledumeˆme
ordre.Soit
S
ord
lelieuforme´despointsa`bonnere´ductionordinairedansl’espaceanalytiquerigide
p
-adique
S
associe´auxvarie´te´sdeSiegeldeniveaupremiera`
p
.C’estunouvertadmissibleausens
delage´ome´trierigidequel’onpeutvoircommeletubeaudessusdel’ouvertd’ordinarite´dela
re´ductionmodulo
p
desmode`lesentierscanoniquesdecesvarie´te´s.Soit
S
P
n
−→S
lereveˆtement
e´talefiniassocie´ausous-groupedecongruence
∗∗P
n
=
x

GSp
2
g
(
Z
p
)
|
x

mod
p
n
,
∗0lesblocsdelamatricepre´ce´dentee´tantdetaille
g
×
g
.Surlelieuordinaire,lesfiltrationpre´ce´dentes
semettentenfamilleetfournissentunesectiondureveˆtement
S
P
n
→S
.Lorsque
n
varie,ces
filtrationsve´rifientcertainesrelationsdecompatibilite´.
Surlare´ductionmodulo
p
desvarie´te´sdeSiegel,ilyauneformeautomorphealge´briquede
poids
p

1.Savaluationde´finitunefonction

invariantdeHasse

Ha:
S−→
[0
,
1]
.
Date
:20octobre2011.
2010
MathematicsSubjectClassification.
14K02,14K10,14L05,11F33.
Keywordsandphrases.
Groupesp-divisibles,p-divisiblegroups,varie´te´sdeShimura,Shimuravarieties.
1

2LAURENTFARGUES
1−Deplus,lelieud’ordinarite´de
S
estexactementlelieuHa(
{
0
}
).Seposealorslaquestionde
savoirsil’onpeute´tendrepourun
n
donne´lasectioncanoniquepre´ce´dentesurunvoisinagetu-
bulaireHa

1
([0

n
[)de
S
ord
pourun
ǫ
n

Q
>
0
quel’onaimeraitpouvoircontroˆler.Laquestion
pre´ce´dentes’e´tendenunproble`meplusge´ne´ralconcernantlesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s
(pourl’e´tudedumeˆmeproble`medanslecasdesvarie´te´sdeShimuraautresquelesvarie´te´sde
Siegel,lecasdespointsdetorsiondessche´masabe´liensestinsuffisant).
Lecasdescourbeselliptiquesae´te´comple`tementre´soluparKatz([25])etLubin([30]).Dans
l’article[1]AbbesetMokraneontre´solulecasdesvarie´te´sabe´liennesdedimensionge´ne´rale
lorsque
n
=1,c’est-a`-direlecasdespointsde
p
-torsion.Ilsutilisentpourcelaladescription
donne´eparBlochetKatodescyclese´vanescents
p
-adiquessurlesvarie´te´sprojectiveslissesayant
bonnere´duction,couple´ea`lathe´oriedelaramificationde´veloppe´eparAbbesetSaitodans[2].
Dansl’article[37],Tianae´tendulere´sultatd’Abbes-MokraneaucasdesgroupesdeBarsotti-Tate
tronque´sd’e´chelon1.Ilfaitusagepourceladere´solutionsdetelsgroupespardessche´masabe´liens
etdesre´sultatsdeBloch-Katosurlescyclese´vanescents
p
-adiquesassocie´s.Dansl’article[3]
AndreattaetGasbarriontretrouve´lere´sultatd’Abbes-Mokranepard’autresme´thodesglobales,
c’est-a`-direfaisantintervenirdessche´masabe´liens.Conradamontre´dans[10]lasurconvergence
enge´ne´ralpourlespointsde
p
n
-torsiondessche´masabe´lienspourtout
n
maissansborneexplicite.
Lecasdesvarie´te´smodulairesdeHilbertae´te´e´tudie´ende´tailsdans[26],[21]et[22].Notons
enfinquedans[32],desre´sultatssurlessous-groupescanoniquesdeniveauquelconqueonte´te´
obtenuspasdesme´thodescomple`tementdiffe´rentes.Cesre´sultatsconcernentd’autresfiltrations
dessche´masengroupesfinisetplatsquecellesquenousutilisons(cesfiltrationsinterviennent
toutdemeˆmedanslasection3ou`nouslesappelonsfiltrationsderamificationinfe´rieurenaı¨ves,
maisuniquementcommeinterme´diairepourene´tudierd’autres).
1.2.
Nouscommenc¸onstoutd’abordparrede´montrerlethe´ore`med’Abbes-MokraneetTianpar
desme´thodeslocalesnefaisantpasintervenirdesche´masabe´liens(cependantcontrairementa`
AbbesetMokrane,nousnetraitonspasdanscetextelecasdessche´massemi-abe´liens).Nous
pre´cisonse´galementlecomportementdeleursfiltrationsvis-a`-visdeladualite´etdoncdespo-
larisations.Voicilethe´ore`mede´montre´danslasection6.Onfixeuneextensionvalue´ecomple`te
K
|
Q
p
pourunevaluationa`valeursdans
R
.Onsupposedeplusque
p
6
=2
,
3danslerestedecette
introduction.
The´ore`me
(The´ore`me4point(2)etCorollaire2)
.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
d’e´chelon
1
,dehauteur
h
etdedimension
d<h
sur
O
K
.Soit
(
G
λ
AS
)
λ>
0
lafiltrationd’Abbes-Saito
1de
G
.SupposonsquesoninvariantdeHasse
w

[0
,
1]
soitstrictementpluspetitque
2
.Alors
pλwpour
p

1

λ<
p

1
(1

w
)
legroupe
G
AS
estderang
d
,inde´pendantde
λ
.Ilenestdemeˆme
de
G
D
,lafiltratione´tantalorsderang
h

d
.Pour
λ
commepre´ce´demment,vial’accouplement
G
(
O
K
)
×
G
D
(
O
K
)

F
p
(1)
,onal’e´galite´
(
G
D
)
λ
AS
(
O
K
)

=
G
λ
AS
(
O
K
)
.
Lade´monstrationdecethe´ore`mefaitintervenirunee´tudefinedel’applicationdeHodge-Tate
dessche´masengroupesfinisetplatssur
O
K
.Danslasection6nousde´montronsd’autresre´sultats
concernantcetteapplicationquisontutilesdanslasuite,notammentlere´sultatsuivant.
The´ore`me
(The´ore`me4point(3))
.
Sousleshypothe`sesduthe´ore`mepre´ce´dentlare´ductiondu
cranderang
d
delafiltrationde
G
modulolese´le´mentsde
O
K
devaluationsupe´rieureoue´gale
a`
1

w
coı¨ncideaveclenoyaudumorphismedeFrobeniusdelare´ductionde
G
.
L’undesre´sultats-clefspourlasuiteeste´galementlethe´ore`mesuivant(quidenotreavis,en
articlecf.section9.2).Si
E
estunsche´maengroupesfinietplatsur
O
K
onnotedeg(
E
)=
i
v
(
a
i
)
dehorsdel’existencedessous-groupescanoniques,estundesre´sultatslesplusimportants
P
decet
lorsque
ω
E
≃⊕
i
O
K
/a
i
O
K
,lavaluationdu

discriminant

de
E
.
The´ore`me
(The´ore`me4point(1))
.
Sousleshypothe`sespre´ce´dentessi
C

G
de´signelesous-
groupecanoniqueconstruitpre´ce´demmentalors
deg(
G/C
)=Ha(
G
)
.

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES3
1.3.
Lesecondbutdecetarticleestlesuivant.Dans[16]l’auteurade´veloppe´unethe´oriedes
filtrationsdeHarder-Narasimhandessche´masengroupesfinisetplats.Nousutilisonscettethe´orie
afindeconstruiredessous-groupescanoniquesenniveauquelconquedanslasection7.Voiciune
versionabre´ge´eduthe´ore`me6decettesection.
The´ore`me.
Soit
n

1
unnombreentier.Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n
,dehauteur
h
etdedimension
d<h
sur
O
K
.Soit
w

[0
,
1]
soninvariantdeHasse.Supposons
euq1w<
2
p
n

1
.
LafiltrationdeHarder-Narasimhande
G
posse`dealorsuncran
C
telque
C
(
O
K
)
soitun
Z
/p
n
Z
-
modulelibrederang
nd
.Lafiltrationde
G
D
posse`dee´galementuncran
D
telque
D
(
O
K
)
soit
librederang
n
(
h

d
)
.Deplus
C
(
O
K
)=
D
(
O
K
)

.
Lethe´ore`mepre´ce´dentestpluspre´cisausensou`ilcomprendunre´sultatdecompatibilite´
lorsque
n
varie.Si1

k<n
,l’adhe´rencesche´matiquedans
G
de
C
(
O
K
)[
p
k
],
C
k
,estuncrande
1lafiltrationdeHarder-Narasimhande
G
[
p
k
].Soit
ǫ
n
=
2
p
n

1
labornedonne´edanslethe´ore`me
pre´ce´dent.OnmontrealorsquelegroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n

k
,
p

(
n

k
)
C
k
/C
k
estd’invariantdeHassestrictementpluspetitque
ǫ
n

k
et
C/C
k
estlecrandesafiltrationde
Harder-Narasimhanlibrederang(
n

k
)
d
.Voiciundesautresre´sultatsquenousde´montronsdans
lasection7(cf.the´ore`me5etlecorollaire3).
1The´ore`me.
Soit
H
ungroupe
p
-divisiblesur
O
K
telque
Ha(
H
)
<
2
.Soit
C

H
[
p
]
lesous-groupe
canoniqueduthe´ore`mepre´ce´dent.

Si
Ha(
H
)
<
p
+11
alors
Ha(
H/C
)=
p
Ha(
H
)
.
11•
Si
p
+1

Ha(
H
)
<
2
alors
Ha(
H/C
)

1

Ha(
H
)
.
Enparticuliertoutgroupe
p
-divisiblenon-ordinairesur
O
K
estisoge`nea`ungroupe
p
-divisible
1d’invariantdeHassesup´erieuroue´gala`
2
.
Lecasdescourbeselliptiquesa`re´ductionsupersingulie`remontrequelethe´ore`mepre´ce´dentest
optimal.
Onremarqueraenfinquedans[38],YichaoTiande´montrequelesous-groupeplatfinipre´ce´dent
C
,quiestuncrandelafiltrationdeHarder-Narasimhande
G
etdontonamontre´qu’ilestuncran
delafiltrationd’Abbes-Saitolorsque
n
=1,este´galementuncrandelafiltrationd’Abbes-Saito
pourtoutentier
n
.Celacomple`tedonclesre´sultatspre´ce´dents.
1.4.
Onmontredans[16]quelesfiltrationsdeHarder-Narasimhandesgroupesfinisetplatsse
mettentenfamille.Lethe´ore`mequisuitde´coulealorsfacilementdesre´sultatspre´ce´dentsetde
ceuxde[16].Nouse´nonc¸onslethe´ore`medanslecasdesvarie´te´sdeSiegelmaiscelui-cis’appliquea`
d’autrescasdevarie´te´sdeShimuradetypePEL(parexempletoutescellesassocie´esa`ungroupe
desimilitudessymplectiquessuruncorpstotalementre´el).Ilestprobablequelestechniquesdecet
articles’appliquenta`touteslesvarie´te´sdeShimuradetypePEL(unefoisde´finiunboninvariant
deHassequimodifiel’invariantusuel).
Onnote
P
0
=Gsp
2
g
(
Z
p
).Si
n

k

0ilyaunecorrespondancedeHecke
SPnEπ
1
,n,k
yyyEEEE
π
2
,n,k
yyE|
|
yyyEE
"
"
S
P
k
S
P
k
ou`
π
1
,n,k
estl’applicationd’oubliduniveauet
π
2
,n,k
associea`uncouple(
A,C
)lecouple
(
A/C
[
p
n

k
]
,C/C
[
p
n

k
])ou`
A
estunevarie´te´abe´lienneprincipalementpolarise´eet
C

A
[
p
n
]un
sous-groupetotalementisotropemaximal.

4LAURENTFARGUES
The´ore`me
(The´ore`me8)
.
Posonspour
n

1
,
ǫ
n
=
2
p
n
1

1
.Pour
k

N
,
ǫ

Q
,
k

0
et
ǫ>
0
on
note
(
S
P
k
)
ord
(
ǫ
˚)
letubedulieuordinairedans
S
P
k
ou`l’invariantdeHasseeststrictementplus
petitque
ǫ
.
(1)
Ilyaalorspourtout
n

1
unesection
s
n
(
S
P
n
)
ord
]
]
(
ǫ
˚
n
)
π
1
,n,
0
s
n
S
ord
(
ǫ
˚
n
)
.
e´tendantlasectioncanoniquesurlelieuordinaire.
˚(2)
Posons
U
p
=
π
2
,
1
,
0

s
1
:
S
ord
(
21
)
→S
l’ope´rateur

quotientparlesous-groupescano-
˚nique

.Onaalorsenrestrictionautube
S
ord
(
p
+11
)
Ha

U
p
=
p
Ha
.
2−p(3)
Lorsque
ǫ<
p
(2
p

2)
lemorphismeinduit
U
p
:
S
ord
(
ǫ
˚)
→S
ord
(

˚)
este´talefinietsurjectif.
(4)
Onalesrelationsdecompatibilite´suivantes
π
1
,n,k

s
n
=
s
k
|S
ord
(
ǫ
˚
n
)
s
k

π
2
,n

k,
0

(
s
n

k
)
|S
ord
(
ǫ
˚
n
)
=
π
2
,n,k

s
n
.
1.5.
Disonsquelquesmotssurlastrate´gieutilise´epourde´montrerlesre´sultatspre´ce´dents.Nous
proce´donsa`unee´tudefinedel’applicationdeHodge-TatedesgroupesdeBarsotti-Tatetronqu´es.
Cettestrate´gien’estpasnouvellepuisqu’elleapparaitde´ja`dans[1]et[3]souslaformedel’e´tude
del’application

d
log

.Danscesarticles,lesauteurscaracte´risentlesous-groupecanoniquedes
pointsde
p
-torsiond’unevarie´te´abe´liennecommee´tantledualdunoyaudecetteapplication
d
log
(cf.parexemple[1]rem.6.1pourunetelledescriptionconjecturaleet[3]prop.13.4etsection
13.6).C’estla`quel’auteuraprisconnaissancedufaitquel’e´tudedel’applicationdeHodge-Tate
estunoutilpoure´tudierlessous-groupescanoniques.L’ingre´dientprincipalquenousajoutonsest
lesuivant.Si
G
estunsche´maengroupesfinietplatsur
O
K
sonapplicationdeHodge-Tateest
unmorphisme
α
G
:
G
(
O
K
)
−→
ω
G
D
⊗O
K
.
Onde´montreetutilisealorslere´sultatsuivantdethe´oriedeHodge
p
-adique(the´o.3):le
O
K
-
moduledetorsion
ω
G
D
⊗O
K
/
O
K
.
Im(
α
G
)
1estannule´par
p
p

1
.Cethe´ore`mecombine´a`desmanipulations

e´le´mentaires

,maisastucieuses,
d’alge`breline´aireetsurlesengroupesfinisetplatsfournitmiraculeusementlesre´sultatscite´s
pre´ce´demment(letermesembleadapte´car,partantdecere´sultatdethe´oriedeHodge
p
-adique,
lapreuveestunesuccessiondemanipulationsquis’emboıˆtentdefac¸onmyste´rieuse).
1.6.
Voiciunedescriptiondesdiffe´rentessectionsdel’article.
Lasection2contientdesrappelsetde´finitionssurl’invariantdeHasseetl’applicationdeHodge-
TatedesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s.Onyexplicitelelienentreordinarite´,invariantde
HasseetfiltrationdeHarder-Narasimhan.Leseulre´sultatoriginalestlaproposition2reliant
l’invariantdeHassed’un
BT
1
a`celuidesondualdeCartier.
Lasection3contientunargumentmontrantl’existenced’unebornenon-effective
ǫ
(
n,d,h
)
>
0
tellequesi
G
estun
BT
n
dehauteur
h
etdedimension
d
dontlavaluationdesoninvariantde
Hasseestpluspetiteque
ǫ
(
n,d,h
)alors
G
posse`deunsous-groupecanoniqueausensdesfiltrations
deHarder-Narasimhan(cf.prop.3).Pourlessche´masabe´liensetd’autresfiltrationsdessche´mas
engroupesfinisetplats,cetypedere´sultatnon-effectifae´te´obtenuparConraddans[10].Les
re´sultatsdecettesectionnesontpasutilise´sdanslasuitedel’article.Cependantleurpreuveest
e´le´mentaireetconstituetoutdemeˆmeunemotivationpourlesre´sultatseffectifsquisuivent.C’est

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES5
pourquoinousl’avonsinclus.
Lasection4contientdesproprie´te´sge´ne´ralesdesdiffe´rentesfiltrationsdessche´masengroupes
finisetplatsquenousutilisonsdanslasuite.Lepointprincipalestlaproposition6quiestune
preuvee´le´mentaireduthe´ore`me1.6de[37]reliantl’orthogonaldelafiltrationd’Abbes-Saitoa`la
filtrationdecongruencedudualde´finieparAndreattaetGasbarridans[3].
Lasection5contientlere´sultatcite´pre´ce´demmentsurleconoyaudel’applicationdeHodge-
Tated’ungroupefinietplat(lethe´ore`me3).Cettesectionpeuparaıˆtreinutilementlongue,mais
nousavonspre´fe´re´de´taillercere´sultatetl’incluredanslecorpsdutextepourdeuxraisons.Tout
d’abordils’agitdel’ingre´dientnouveauessentielparrapportauxtravauxd’Abbes-Mokraneet
Andreatta-Gasbarri.Deplus,cere´sultat,quel’auteurade´ja`utilise´dans[16]et[15],n’asemble-t-il
pase´te´remarque´auparavantetl’auteurpensequ’ilpourraitavoirdesapplicationsdansd’autres
contextes.L’auteuradoncde´cide´dede´taillercere´sultatetnotemmentdelemettreenperspective
parrapporta`lapresquede´compositiondeHodge-TatedeFontaine([18]).Lelecteurpeuxtre`s
bienadmettrecere´sultatdethe´oriedeHodge
p
-adiqueetlirelerestedel’article.
Lasection6estlecoeurdecetarticle.Lere´sultatprincipalenestlethe´ore`me4.Onyconstruit
lesous-goupecanoniqued’un
BT
1
commenoyaudel’applicationdeHodge-Tatele´ge`rementmo-
difie´e.Lepointnouveauparrapportauxre´sultatsde[1]et[3]estquel’onmontrequesi
C
estle
sous-groupecanoniquedu
BT
1
G
alorsledegre´dugroupefinietplat
G/C
este´gala`lavaluation
del’invariantdeHassede
G
(point(1)duthe´ore`me4).Cere´sultatestfondamental.C’estautour
decelui-ciques’articuletoutlerestedel’articleetenparticulierlaconstructiondusous-groupe
canoniquedes
BT
n
pourtoutentier
n
.Outrelere´sultatcite´pre´ce´demmentsurleconoyaude
l’applicationdeHodge-Tate,lapreuveduthe´ore`me4utiliseunargumentdede´coupagedugroupe
platfini
G/C
enuneextensionsuccessivesdegroupesdeOort-Tate(groupespourlesquelsonpeut
calculerexplicitementleurapplicationdeHodge-Tate).Celapeutparaıˆtrenaı¨faupremierabord,
maiscombine´a`desargumentsd’alge`breline´aireceladonnelere´sultat.
Danslasection7onconstruitlesous-groupecanoniqueenniveauquelconqueetonde´montre
sesproprie´te´se´nonce´espre´ce´demment(the´ore`me6).Lepointconsistea`effectuerunere´currence
a`partirdessous-groupescanoniquesdes
BT
1
.Pluspre´cise´ment,sil’onsupposeconstruitlesous-
groupecanoniquedes
BT
n
et
G
estun
BT
n
+1
onregardele
BT
n
(
G/C
)[
p
n
]ou`
C
estlesous-groupe
canoniquede
G
[
p
].Graˆceaure´sultate´nonce´pre´ce´demmentsurledegre´de
G
[
p
]
/C
,ondispose
d’unboncontroˆlesurlavaluationdel’invariantdeHassede(
G/C
)[
p
n
]etonpeutluiappliquer
l’hypothe`sedere´currence.Celapermetdeconstruireunsous-groupefinietplat
D
de
G
contenant
C
ettelque
D/C
soitlesous-groupecanoniquede(
G/C
)[
p
n
].Ils’agitensuitedemontrerque
D
satisfaitauxproprie´te´sdemande´espourlesous-groupecanonique.
Lasection8contientlesapplicationsauxvarie´te´sdeShimurae´nonce´espre´ce´demment.Ils’agit
d’unetraductionge´ome´triquedesre´sultatspre´ce´dents.
J’aimeraisexprimermesremerciementsa`YichaoTianquidansunelettre(
[36]
)m’aexplique´
commentaboutirauxre´sultatsfinauxdelasection7a`partird’uneversionpre´liminairedecet
article.Jeremerciee´galementFaridMokrane,Marc-HubertNicole,VincentPilloni,TorstenWed-
hornetDanielWortmannpourdesremarquesetdescorrections.

Notations
Soit
p
unnombrepremier.Onfixe
K
|
Q
p
uneextensionvalue´ecomple`tepourunevaluation
v
:
K

R
∪{
+
∞}
telleque
v
(
p
)=1.Onnefaitaucunehypothe`sesurlecorpsre´siduelde
K
.Lavaluation
v
peuteˆtrequelconque,pasforce´mentdiscre`te.Si
t

R
>
0

v
(
K
×
)onnotera
m
K,t
=
{
x
∈O
K
|
v
(
x
)

t
}
et
O
K,t
=
O
K
/
m
K,t
.Si
M
estun
O
K
-moduleonnote
M
t
:=
M
⊗O
K,t
.

6LAURENTFARGUES
Onfixeunecloˆturealge´brique
K
de
K
.Onutiliseralemeˆmetypedenotations
m
K,t
,
O
K,t
,
M
t
×pour
t

v
(
K
)et
M
un
O
K
-module.
Si
M
estun
O
K
-moduledepre´sentationfinieannule´parunepuissancede
p
,onnote
deg(
M
)=
v
(Fitt
0
M
)
ou`Fitt
0
M
de´signele0-ie`meide´aldeFittingde
M
etsi
I
estunide´alnonnuldetypefinide
O
K
onnote
v
(
I
)=
v
(
a
)si
I
=(
a
).End’autrestermes,si
M
≃O
K
/a
i
O
K
,deg(
M
)=
v
(
a
i
).On
PLi

Ii

I
utiliselemˆemetypedenotationspourun
O
K
-moduledepre´sentationfinie.Onremarqueraque
cettefonctiondegre´estadditivesurlessuitesexactesdemodulesdutypepre´ce´dent.
Touslessche´masengroupesfinisetplatsquenousconside´ronsdanscetarticlesontsuppose´s
commutatifs.Onnote
G
7→
G
D
ladualite´deCartierdetelssche´masengroupes.
Nousutilisonslathe´oriede´veloppe´edans[16].Rappelonsenparticulierlesnotationssuivantes.
Si
G
estunsche´maengroupescommutatiffinietplatd’ordreunepuissancede
p
sur
O
K
onnote
ht(
G
)=log
p
|
G
|
etdeg(
G
)=deg(
ω
G
).Enfin,si
G
estnonnul,sapentedeHarder-Narasimhan
estparde´finition
Gged
(
G
)=

[0
,
1]
.
GthRappelonse´galement([16])quel’onpeutassociera`untel
G
unpolygonedeHarder-Narasimhan
quenousnotonsHN(
G
).Remarquonsenfinleproble`medeterminologiesuivantequinousl’espe´rons
negeˆnerapastroplelecteur;si
G
estungroupedeBarsotti-Tatetronque´parde´finitionsahauteur
estlahauteurausenspre´ce´dentdesespointsde
p
-torsionetnonde
G
luimeˆme.
2.
Groupes
p
-divisiblesordinairesetinvariantdeHasse
2.1.Quelquesrappelssurlesgroupesfinislocalementlibresencaracte´ristique
p
.
2.1.1.
Groupesannule´sparleurVerschiebung.
Soit
S
unsche´matelque
p
O
S
=0.Si
M
est
unfaisceauquasi-cohe´rentde
O
S
-modulesonnote
M
lefaisceaufppfassocie´.Lorsque
M
est
localementlibrederangfini
M
estrepre´sentableparun
S
-sche´maengroupeslocalementisomorphe
pourlatopologieZariskide
S
a`unesommedecopiesdugroupeadditif
G
a
.Pourunfaisceaude
groupesabe´liensfppf
F
sur
S
onnote
F
(
p
)
=Frob
S

F
et
F
:
F→F
(
p
)
lemorphismedeFrobenius
relatif.Si
M
estunfaisceaucohe´rentonnote
M
(
p
)
=Frob
S

M
.Lesnotationspre´ce´dentessont
compatiblesausensou`(
M
)
(
p
)
=
M
(
p
)
quel’onnoteradoncsansambiguı¨te´
M
(
p
)
.
Soit
C
lacate´gorieforme´edescouples(
M

)ou`
M
estun
O
S
-modulelocalementlibrederang
finiet
ψ
:
M→M
(
p
)
.D’apre`slethe´ore`me7.4de[20],ilyaunee´quivalencedecate´gories
∼C


S
-sche´masengroupesfinislocalementlibresannule´spar
V
ou`
V
de´signeleVerschiebung.Cettee´quivalencesede´critdelafac¸onsuivante.Aucouple(
M

)
onassocielesche´maengroupes
G
noyaude
F

ψ
,
ψ−F0
−→
G
−→M−−−−→M
(
p
)
−→
0
.
)p(Augroupe
G
annule´par
V
onassocielecouple(
ω
G
D

G
)ou`
ψ
G
:
ω
G
D

ω
(
G
D
)
(
p
)
=
ω
G
D
estle
morphismeinduitpar
F
:
G

G
(
p
)
.
Si
G
estun
S
-sche´maengroupesfinilocalementlibre,ilyaunmorphismecanonique
α
G
:
G
−→
ω
G
D
universelpourlesmorphismesde
G
versunfaisceaudelaforme
M
avec
M
quasi-cohe´rent.Ilest
de´finidelafac¸onsuivante:
α
G
:
G
=
H
om
(
G
D
,
G
m
)
−→
ω
G
D
Tdx
7−→
x

.
TOnadeplusl’e´galite´(
F

ψ
G
)

α
G
=0,ou`
ψ
G
estde´finicommepre´ce´demment.

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES7
Si
H
estlegroupeannule´par
V
associe´a`(
M

)alors,vial’identification
ω
H
D
=
M
,leplonge-
mentcanonique

→M
este´gala`
α
G
.Eneffet,lemorphisme
α
H
estcompatibleauchangement
debase,fonctorielen
H
etunesectionde
H
estdonne´eparunmorphisme
Z
/p
Z

G
.Ilsuffit
dI−Falorsdeve´rifierquepour
H
=
Z
/p
Z
=ker(
G
a
−−−→
G
a
),leplongement
Z
/p
Z

G
a
este´gala`
α
Z
/p
Z
cequineposepasdeproble`me.
Si
H
estungroupeannule´par
V
commepre´ce´demment,lefoncteur
E
7→
(
ω
E
D

E
)induitla
formuled’adjonctionpourtoutsche´maengroupesfinilocalementlibre
G
(the´ore`me7.2de[20])
∼Hom(
G,H
)


Hom(
ω
G
D

G
)
,
(
ω
H
D

H
)
.
L’inversedecetisomorphismeestdonne´par
α
G
etlaformule
H
=ker(
F

ψ
H
).
2.1.2.
Lecasdes
BT
1
.
OnrenvoieauchapitreIde[31]eta`[24]pourlesge´ne´ralite´sconcernant
lesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s.Soitmaintenant
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
d’e´chelon1sur
S
.Lemodule
ω
G
D
estalorslocalementlibre.Vial’e´quivalencedecate´gories
pre´ce´dente,lecouple(
ω
G
D

G
)correspondaugroupeannule´par
V
,
G/
ker(
F
).Ilyaalorsune
suiteexacte
0
−→
ker
F
−→
G
−−
α

G

ω
G
D
−−
F



ψ

G

ω
(
p
D
)
−→
0
.
GCettesuiteexacteesta`labasedel’ide´esuivantesurlaquellesefondelasection6decetarticle,
laconstructiondelafiltrationcanoniquedespointsde
p
-torsion.Supposonsque
G
proviennepar
re´ductionmodulo
p
d’ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
G

etquel’onveuillereleverlenoyau
duFrobeniusde
G
enunsous-groupede
G

.L’application
α
G
serele`vetoujourscanoniquement
enuneapplication
α
G

etilestlogiquedes’inte´resseraunoyaude
α
G

.
Lapropositionsuivanteseratre`sutileplustard.
Proposition1.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
1
surunsche´maannule´
par
p
.Soit
C

G
unsous-groupefinilocalementlibre.L’inclusion
C

ker
F
G
estve´rifie´esiet
seulementsil’application
ω
C
D
−→
ω
G
D
estnulle.
De´monstration.
Lemorphismecompose´


G
։
G/
ker
F
estdonne´d’apre`slaformule
d’adjonctionpre´ce´denteparlemorphismeassocie´(
ω
C
D

C
)

(
ω
G
D

G
).

2.2.InvariantdeHassed’ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1.
2.2.1.
Lecasd’unpoint.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,dedimension
d
etdehauteur
h>d
surSpec(
O
K
).Le
O
K,
1
-module
ω
G
D
estlibrederang
h

d
.Onade
plusl’e´galite´
ω
G
D
=
ω
G
D
⊗O
K,
1
.Onnoteencore
ψ
G
pour
ψ
G
⊗O
K,
1
.Prenantlede´terminantdece
morphismede
O
K,
1
-modules,onobtientune´le´ment
H
f
a(
G
)

det(
ω
G
D
)

(
p

1)
.
Defac¸one´quivalente,apre`savoirfixe´unebasede
ω
G
D
,prenantlavaluationdude´terminantde
ψ
G
,onvoitcetinvariantdeHassecommeune´le´ment
Ha(
G
)

[0
,
1]
.
Onremarquerabiensuˆrquesi
L
|
K
estuneextensionvalue´ecomple`tealors
Ha(
G
)=Ha(
G

O
K
O
L
)
.
2.2.2.
Lecasdesfamilles.
Soit
K
|
Q
p
commepre´ce´demment.Soit
X
unSpf(
O
K
)-sche´maformel
topologiquementdetypefinisans
p
-torsion(unsche´maformeladmissibleausensdeRaynaud,cf.
[8]).Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,dedimension
d
etdehauteur
h
sur
X
.Le
O
X
/p
O
X
-module
ω
G
D
estlocalementlibrederang
h

d
.Onnote
ψ
G
:=
ψ
G
mod
p
.Prenant
lede´terminantde
ψ
G
onobtientalorsuninvariantdeHasse
H
f
a(
G
)

Γ
X
,
det(
ω
G
D
)

(
p

1)
.

8LAURENTFARGUES
VoyantcetinvariantcommeunmorphismeH
f
a(
G
):
O
X
/p
O
X
−→
det(
ω
G
D
)

(
p

1)
,ilinduitun
morphismeH
f
a(
G
)

:det(
ω
G
D
)

(1

p
)
−→O
X
/p
O
X
etdoncenparticulierunfaisceaud’ide´aux
cohe´rent
Ha
I
(
G
)
⊂O
X
contenant
p
O
X
ettelqueHa
I
(
G
)
/p
O
X
=Im(H
f
a(
G
)

)soitlocalementengendre´parune´le´ment.
tioSf
:
Y
−→
X
unmorphismedesche´masformelsdutypepre´ce´dent.Posons
f

G
:=
G
×
X
Y
.Ilyauneidentifi-
cation
∗ω
(
f

G
)
D
=

G
D
.
Onve´rifieaussitoˆtlesformules
H
f
a(
f

G
)=
f

H
f
a(
G
)
Ha
I
(
f

G
)=
O
Y
.f

1
Ha
I
(
G
)
.
Soit
π
:
X
e
−→
X
l’e´clatementformeladmissibledel’ide´alHa
I
(
G
).Lediviseurexceptionnelde
π
estl’ide´alHa
I
(
π

G
).Quittea`faireune´clatementformeladmissibledelabase,onpeutdonc
toujourssupposerqueHa
I
(
G
)de´finitundiviseurdeCartiersurcettebase.
Soient
X
rig
,resp.
X
an
,lafibrege´ne´riquede
X
comme
K
-espacerigide([8]),resp.comme
K
-
espaceanalytiqueausensdeBerkovich([4]).Si
x

X
an
onnote
K
(
x
)lecorpsre´siduelassocie´,un
corpsvalue´completextensionde
K
.Rappelonsquelespointsde
X
rig
s’identifientaux
x

X
an
telsque[
K
(
x
):
K
]
<
+

.A`unpoint
x

X
an
estassocie´unespe´cialisation
G
x
de
G
,ungroupe
deBarsotti-Tatetronque´sur
O
K
(
x
)
.Onpeutdoncde´finirl’invariantnume´rique
Ha(
G
x
)

[0
,
1]
.
Onremarqueraquecetinvariantnede´pendquedel’ide´alHa
I
(
G
).Onve´rifiefacilementlelemme
quisuit.
Lemme1.
Lafonction
|
X
an
|−→
[0
,
1]
x
7−→
Ha(
G
x
)
×estcontinue.Deplussi
ǫ

[0
,
1]

v
(
K
)
leferme´
{
x

X
an
|
Ha(
G
x
)

ǫ
}
estundomaineanalytiquedans
X
an
associe´a`unouvertadmissiblequasicompactde
X
rig
.De
meˆmeenremplac¸antferme´parouvert,

par
<
etenenlevantl’assertiondequasicompacite´.
2.2.3.
Compatibilite´a`ladualite´.
Soit
G
de´finisur
X
commedanslasection2.2.2pre´ce´dente.
Proposition2.
Supposons
0
<d<h
.Ilyaunisomorphismecanonique
det(
ω
G
)

(
p

1)

det(
ω
G
D
)

(
p

1)
.Viacetisomorphisme
H
f
a(
G
)=H
f
a(
G
D
)
.
De´monstration.
Notons
X
lare´ductionmodulo
p
de
X
,Σ=Spec(
F
p
)et
G
lare´ductionmodulo
p
de
G
.Soit
1E
=
E
xt
cris
(
G
,
O
X/
Σ
)
X
l’e´valuationducristaldeDieudonne´contravariantde
G
surl’e´paississementtautologique([7],
chapitre3),un
O
X
-modulelocalementlibrederang
h
.Ilyaunesuiteexactede
O
X
-modules
localementlibres
∨0
−→
ω
G
−→E−→
ω
G
D
−→
0
.

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES9
Soient
F
:
G−→G
(
p
)
lemorphismedeFrobeniusde
G
et
V
:
G
(
p
)
−→G
sonVerschiebung.Ils
induisentdesmorphismes
F

:
E
(
p
)
−→E
V

:
E−→E
(
p
)
.
Cesdeuxmorphismessontcompatiblesa`lasuiteexactepre´ce´dente
0
/
/
O
O
ω
G
/
/
O
O
E
/
/
ω
O
O
G

D
/
/
0
F

V

F

V

F

V






0
/
/
ω
(
Gp
)
/
/
E
(
p
)
/
/
(
ω
G

D
)
(
p
)
/
/
0
.
Enrestrictiona`
ω
(
Gp
)
lemorphisme
F

estnul.Ilsefactorisedoncenunmorphisme
F

:(
ω
G

D
)
(
p
)
−→E
.
Lemorphisme
V

:(
ω
G

D
)
(
p
)
−→
ω
G

D
estnuletdonc
V

:
E−→
ω
(
p
)
.
GIlyaunesuiteexactedecomplexesparfaitsde
O
X
-modules(danslediagrammequisuitles
complexessontlesligneshorizontales)
∗ω
GV
/
/
ω
(
Gp
)

∗∗(
ω
G

D
)
(
p
)
F
/
/
E
V
/
/
ω
(
Gp
)

∗(
ω

D
)
(
p
)
F
/
/
ω
G

D
.
GNotons0

C
1
−→
C
2

C
3

0cettesuite.Chacundecescomplexesparfaitsestderangnul.
Lediagrammepre´ce´dentinduitdoncunisomorphisme([27])
∼det(
C
1
)

det(
C
3
)


det(
C
2
)
.
Onadet(
C
1
)=
ω
G

(
p

1)
etdet(
C
3
)=
ω
G

(
D
1

p
)
.Remarquonsmaintenantqu’e´tantdonne´que
G
estungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,lecomplexe
C
2
estexact.Ilyadoncun
isomorphismecanoniquedet(
C
2
)


→O
X
quiinduitl’isomorphismecherche´
ω
G

(
p

1)

ω

(
D
p

1)
.
GSupposonsmaintenantquesurunouvertsche´matiquementdensede
X
lescomplexes
C
1
et
C
3
soientacycliques.LesinvariantsHa(
G
)etHa(
G
D
)sontdoncdesdiviseursdeCartier.Avecles
notationsduchapitreIIde[27]celainduitunee´galite´dediviseursdeCartier
0=Div(
C
2
)

Div(
C
1
)+Div(
C
3
)=Ha(
G
D
)

Ha(
G
)
.
Onende´duitlere´sultatsousl’hypothe`sepre´ce´dente.Passonsaucasge´ne´ral.Soit
Y
lefoncteur
quia`un
F
p
-sche´ma
S
associelesclassesd’isomorphismesdecouples(
H,α
)ou`
H
estungroupe
h∼deBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,dehauteur
h
etdedimension
d
et
α
:
O
Sp

→O
H
un
isomorphismede
O
S
-modules.Onve´rifieaise´mentqu’ilestrepre´sentableparun
F
p
-sche´madetype
fini.D’apre`slepointa)duthe´ore`me4.4de[24],cesche´maestlissesurSpec(
F
p
).Laproposition
A.2.2.1de[24]impliquequel’ouvertd’ordinarite´dans
Y
estdense.Ilestdoncsche´matiquement
dense.Soit
H
legroupedeBarsotti-Tatetronque´universelsur
Y
.D’apre`sl’e´tudepre´ce´denteon
aHa(
H
)=Ha(
H
D
).Orilexisteundiagrammedesche´mas
′XGg
wwwGGG
f
G
{
{
wwwGG
#
#
YX

10LAURENTFARGUES
telque
g
soitfide`lementplat(unGL
p
h
-torseur)et
g

G≃
f

H.
Onende´duitque
g

Ha(
G
)=
g

Ha(
G
D
).Lemorphisme
g
e´tantfide`lementplatonende´duitque
Ha(
G
)=Ha(
G
D
).

Remarque1.
Lapreuvedelapropositionpre´ce´denteutiliselefaitque
G
estungroupede
Barsotti-Tatetronque´.Unteltyped’e´nonce´n’existepaspourdesgroupesplatsfinisplusge´ne´raux.
Pluspre´cise´ment,soit
G
unsche´maengroupesdeOort-TatesurSpec
(
O
K
)
(
[35]
).Ona
G

Spec
(
O
K
[
T
]
/
(
T
p

δT
))
et
G
D

Spec
(
O
K
[
T
]
/
(
T
p

γT
))
ou`
γ,δ
∈O
K
sonttelsque
γδ
estune
sommedeGaussdevaluation
p
-adique
1
.LeVerschiebung
V
:(
G
⊗O
K,
1
)
(
p
)

G
⊗O
K,
1
est
induitparlemorphismed’alge`bre
O
K,
1
[
T
]
/
(
T
p

δT
)
−→O
K,
1
[
T
]
/
(
T
p

δ
p
T
)
T
7−→
γT.
Appliquantcelaa`
G
D
,onvoitquelemorphisme
F
G

:
ω
G
D

ω
(
Gp
D
)
s’identifiea`
O
K

O
K
−→O
K
/
(
p,γ
p
)

7−→
δ
mod
(
p,γ
p
)
.
(
p
)(
p
)
Onende´duitquepour
F
G

:
ω
G
D

ω
G
D
et
F
G
D

:
ω
G

ω
G
ona
deg(coker(
F
G

))=inf
{
v
(
δ
)
,pv
(
γ
)
}
deg(coker(
F
G
D

))=inf
{
v
(
γ
)
,pv
(
δ
)
}
quinesontpase´gauxenge´ne´ral.
2.2.4.
Calculexplicitesurlesespacesdede´formation.
Soit
H
ungroupe
p
-divisibledehauteur
h
etdedimension
d
sur
F
p
.Soit(
M,F,V
)soncristaldeDieudonne´covariant.OnadoncLie
H
=
M/VM
.Fixonsunebase(
e
1
,...,e
h
)du
W
(
F
p
)-modulelibre
M
telleque
e
1
,...,e
d
induiseune
basede
M/VM
et
e
d
+1
,...,e
h

VM
.Soit
A

GL
h
(
W
(
F
p
))lamatricetelleque
Fe
1

e
1

..eFdA=V

1
e
d
+1
.
.




.

V

1
e
h
e
h
Soit
X
l’espacedede´formationparisomorphismesde
H
,unSpf(
W
(
F
p
))-sche´maformel.Soit
B
=0
IA

GL
h
WW
(
F
p
)
J
x
ij
K
1

1
j
≤≤
ih
≤−
dd
.
I
d
[
x
ij
]

d−h∼D’apre`slaformule(86)page174de[41]ilexisteunisomorphismeSpf(
W
(
F
p
)
J
x
ij
K
)
−→
X
et
unebase(
ǫ
1
,...,ǫ
h
)duDisplaydelade´formationuniverselletelleque
B
soitlamatriceexpri-
mant(

1
,...,Fǫ
d
,V

1
ǫ
d
+1
,...,V

1
ǫ
h
)enfonctionde(
ǫ
1
,...,ǫ
h
).Soit
B
˜

GL
h
(
W
(
F
p
)
J
x
ij
K
)
lare´ductionde
B
via
WW
(
F
p
)
J
x
ij
K

W
(
F
p
)
J
x
ij
K
).Si
A
=
A
1
A
2
AA43avec
A
1
detaille(
d,d
)alors
B
˜=
A
1
+(
x
ij
)
i,j
.A
3

.
∗∗

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