Le plasma

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Le plasma Page 2.1 Le plasma Table des matières Table des matières....................................................................................................... 1 Liste des figures .......................................................................................................... 2 Liste des tableaux ........................................................................................................ 3 2.1 La description cinétique ........................................................................................... 4 2.1.1 La fonction de distribution f et l'équation cinétique .............................................. 4 2.1.2 La distribution de Maxwell-Boltzmann ................................................................. 7 Paramètres utiles de la distribution de Maxwell-Boltzmann ...................................... 8 La distribution de Maxwell-Boltzmann dans un champ de force conservative .......... 9 La longueur de Debye ............................................................................................... 10 La longueur de Debye dans un plasma à deux températures électroniques .............. 13 2.1.3 Le taux de réaction ............................................................................................... 15 Distributions isotropes .............................................................................................. 16 Collisions d'électrons sur des particules massives ................................................... 17 2.1.4 Écoulement effusif ............................................................................................... 18 2.2
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Publié le : lundi 26 mars 2012
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Le plasma


Le plasma

Table des matières

Table des matières....................................................................................................... 1
Liste des figures .......... 2
Liste des tableaux ........ 3
2.1 La description cinétique ........................................................................................... 4
2.1.1 La fonction de distribution f et l’équation cinétique .............. 4
2.1.2 La distribution de Maxwell-Boltzmann ................................. 7
Paramètres utiles de la distribution de Maxwell-Boltzmann ...... 8
La distribution de Maxwell-Boltzmann dans un champ de force conservative .......... 9
La longueur de Debye ............................................................................................... 10
La longueur de Debye dans un plasma à deux températures électroniques .............. 13
2.1.3 Le taux de réaction 15
Distributions isotropes .............................. 16
Collisions d’électrons sur des particules massives ................................................... 17
2.1.4 Écoulement effusif ............................................................... 18
2.2 La description fluide 19
2.2.1 Équations fluides à deux espèces ......................................................................... 19
L’équation de conservation des particules 21
L’équation de conservation de la quantité de mouvement ........ 21
L’équation de conservation d’énergie ....... 23
2.2.2 Le terme de collision ............................................................................................ 23
Collisions élastiques.................................. 23
Collisions inélastiques .............................. 25
2.3 Création d’électrons, d’ions et de radicaux 26
2.3.1 Dissociation.......................................................................... 26
2.3.2 Ionisation.............................................. 28
Ionisation via les collisions électroniques. 28
Ionisation Penning .... 30
Photoionisation ......................................................................... 31
2.3.3 Recombinaison ..................................... 31
Recombinaison radiative ........................................................................................... 31
Recombinaison à trois corps ..................... 32
Recombinaison dissociative ...................... 33
Recombinaison diélectronique .................................................................................. 34
2.3.4 Ions négatifs ......................................... 35
2.3.5 Bilan détaillé ........ 36
Références ......................................................... 37



Page 2.1
Le plasma


Liste des figures

Figure 2.1.1 Géométrie utilisée pour le calcul du taux de réaction ................................. 15
Figure 2.2.1 Collision binaire ........................................................................................... 24
Figure 2.3.1 Section efficace (ligne pointillée) et taux de réaction (ligne continue) pour la
dissociation de H par impact électronique [2] ... 27 2
Figure 2.3.2 Section efficace d’ionisation pour l’Argon par un électron [4] ...................... 29
Figure 2.3.3 Taux de réaction pour la recombinaison radiative d’un ion d’hydrogène par
impact électronique. [2] ..................................................................................................... 32
Figure 2.3.4 La section efficace et le taux de réaction de la recombinaison dissociative d’un
ion d’hydrogène moléculaire [2] ........................ 34



Page 2.2
Le plasma



Liste des tableaux

Tableau 2.3.1 Potentiel d’ionisation de quelques éléments. Tiré de [3].............................. 29




Page 2.3
Le plasma


2. Description du plasma

Dans cette section, nous décrivons les équations et les réactions qui contrôlent les
particules chargées et neutres dans le plasma. Les particules chargées peuvent être
décrites par la théorie cinétique dans laquelle la fonction de distribution des espèces est
importante ou par le modèle fluide dans lequel la fonction de distribution est supposée
Maxwellienne.


2.1 La description cinétique

2.1.1 La fonction de distribution f et l’équation cinétique

Le fondement de la physique des plasmas est la théorie cinétique. Dans cette théorie,
    
nous définissons une fonction f (r, v, t) telle que f (r, v, t)dr dvreprésente le nombre
 
probable de particules d’une espèce donnée dans l’élément de volume dr dv autour du
 
point (r, v) de l’espace de phase au temps t où r = (x,y,z) est la position et

v = (v ,v ,v ) la vitesse, tous deux des quantités vectorielles. Il est à noter que la x y z
fonction f est continue malgré que les électrons et les ions sont des particules et que si
nous regardions le plasma avec un microscope puissant, nous verrions une distribution de
 
points dans le volume dr dv .
 
Nous considérons donc que l’élément de volume dr dv est suffisamment grand pour

définir une fonction continue. Par exemple, dr doit être plus grand que la distance entre
les particules dans le plasma mais aussi beaucoup plus petite que la distance
« caractéristique » dans le plasma, la longueur de Debye que nous verrons plus loin. Il y
a donc probablement des situations dans lesquelles la théorie cinétique n’est pas
précisément applicable. Cependant, pour la grande majorité des plasmas, les équations
cinétiques sont valides et importantes.

Pour connaitre la densité n de particules dans le volume dr de l’espace,
indépendamment de leurs vitesses, au temps t, nous intégrons la fonction de distribution
 
f (r, v, t) :

   
n(r, t) = f (r, v, t)dv (2.1.1) ∫

v

Sur toutes les vitesses (v ,v ,v ) de - ∞ à ∞. x y z
Page 2.4
Le plasma


Très souvent nous voudrons calculer la moyenne de certaines quantités sans vouloir pour
autant connaître les détails pour toutes les particules mais plutôt la densité, la vitesse 
moyenne. etc. à la position r dans le plasma au temps t. Si la quantité d’intérêt est
    
g(r, v, t), un scalaire ou un vecteur, nous avons le nombre f (r, v, t)dr dv de particules
  
f r,v,t d r dv 
avec cette valeur particulière g. Donc, une fraction de toutes les

  
dr f r,v,t dv 
-  
particules dans le volume dr dv de l’espace de phase ont cette valeur. La valeur
moyenne de g est donc donnée par :


  
dr g r,v,t  f r,v,t dv
 - g r, t =  
 
dr f r,v,t dv 
-  (2.1.2)

  
g r,v,t f r,v,t dv   
- =

 
f r,v,t dv 
- 

Qui peut être écrite:


   
n r,t g r,t  g r,v,t f r,v,t dv        (2.1.3) 


La fonction de distribution varie dans le temps. Il faut donc développer une équation qui
gouverne l’évolution temporelle de f. Cette équation est généralement connue sous le
1nom d’équation de Boltzmann et est écrite :

∂f     ∂f 
+ ⋅ ( f v ) + ⋅ ( f a ) = (2.1.4)  ∇r ∇v
∂t ∂t c

 
Il est important de noter que r et v sont des variables indépendantes dans l’espace de
phase de telle sorte que :


1
Voir le chapitre 3 du cours de physique des plasmas pour les détails de calculs
Page 2.5
Le plasma

   ∂f
⋅ ( f v ) = v ⋅ (2.1.5) ∇r
∂r

 F
L’accélération est donnée par a = et si on suppose que la force F est indépendante de
m

la vitesse ou est donnée par qv×B on obtient :


  F ∂f
⋅ ( f a ) = ⋅ (2.1.6) ∇v
m ∂v

  
Dans le cas où F q vB on a vB = 0   
v

Dans un plasma, les collisions entre les particules chargées peuvent être importantes
même si la distance entre elles est relativement grande étant donné le potentiel autour des
charges. L’interaction ou collision entre les particules est déterminée par le champ
électrique self-consistant dans le plasma, la charge d’espace. Ce champ est déterminé à
partir de la fonction de distribution f et est calculé à partir de la charge nette dans le
plasma :

   ρ ( r, t ) 1   
∇ ⋅ E ( r, t ) = = q f ( r, v, t ) dv (2.1.7) ∑ i i∫
εo εo i

où ρ est la densité totale de charge avec la densité de charge de chaque espèce donnée par

n q. Ce champ électrique est normalement inclus dans la force F de façon « self-i i   
consistante » de telle sorte que F = q (E + v× B).

∂f Le terme dans l’équation 2.4 est celui qui tient compte des collisions entre les  
∂t c
particules. Ces collisions sont considérées binaires.

En faisant les substitutions dans l’équation 2.4 nous obtenons la forme finale de
l’équation qui décrit l’évolution de la fonction de distribution f:


∂f  ∂f F ∂f ∂f 
+ v ⋅ + ⋅ = (2.1.8)   
∂t ∂r m ∂v ∂t c

Dépendant des collisions considérées, l’équation 2.8 est dite équation de Boltzmann pour
les collisions électrons-neutres, équation de Fokker-Planck pour les collisions électrons-
Page 2.6
Le plasma

électrons ou électrons-ions, ou équation de Vlasov lorsque le terme de collision est posé
nul.

2.1.2 La distribution de Maxwell-Boltzmann

Un exemple important est la fonction de distribution d’une population de particules qui
sont à l’équilibre thermique entre elles. Ceci résulterait d’un confinement suffisant de
l’ensemble des particules dans une région de l’espace de telle sorte qu’elles échangent de
l’énergie de façon aléatoire et atteignent une distribution stationnaire. Il en résulte une
distribution de leurs vitesses qui peut être décrite par une distribution normale qui a la
forme d’une Gaussienne :

   2 2f ( r, v, t ) = A( r, t ) exp(− β v ) (2.1.9)

Ici, nous permettons la variation spatial de la densité. Il est évident, de par la forme de
l’équation 2.9, que la distribution de vitesse est isotrope. En utilisant cette forme de la
distribution, la densité devient :

  2 2n ( r, t ) = A (r, t) exp (−β ) dv (2.1.10) v∫

 2En utilisant l’élément de volume dv = 4 π v dv dans l’espace des vitesses pour une
distribution isotrope en vitesse on obtient :

∞  22 2( )n ( r, t ) = A ( r, t ) 4 π v exp − β v dv∫
0 (2.1.11)
 π
= 4π A(r, t)
34β

Ceci permet d’écrire la fonction de distribution sous la forme:

3 β 2 2f ( r, v, t ) = n ( r, t ) exp(−β ) (2.1.12) v
3/2π

De l’équation 2.3, l’énergie cinétique moyenne dans la direction x est donnée par :

1 2ε = m (2.1.13) vxx
2
Page 2.7
Le plasma


L’intégrale sur les vitesse en utilisant la forme 2.12 de la fonction de distribution donne:

m
= (2.1.14) εx 24 β

1
Dans un système à l’équilibre thermodynamique, l’énergie k T est associée à chaque B
2
degré de liberté (k est la constante de Boltzmann et T la température en degré absolu). B
Donc :

m 1 m
= = k T ⇒ β = (2.1.15) εx B2 2 2 k T4 β B

Cette dernière relation nous donne la forme finale de la fonction de distribution de
Boltzmann:

3
22      m m v
f (r, v, t) =   n(r, t) exp−  (2.1.16)    2π k T 2 k T B   B 

Nous pouvons aussi définir une fonction de distribution en terme de l’énergie

2F( ε ) dε = 4π f (r, v,t) dv comme étant le nombre de particules dans l’intervalle v
ε et ε + dε.

1 2Commeε = m , nous avons dε = m v dv pour obtenir: v
2

1/ 2
 1 4ε  −ε
F ( ε ) = n(r, t) exp  (2.1.17)
3 / 2    π k T(k T)    B B

Nous écrivons la distribution en énergie avec F(ε ) à cause de sa forme fonctionnelle
différente de la distribution en vitesse.

2Paramètres utiles de la distribution de Maxwell-Boltzmann


2
Voir le chapitre 3 du cours de physique des plasmas pour d’autres paramètres.
Page 2.8
Le plasma


La valeur moyenne du module du vecteur vitesse est donné par : v (≡ 〈v〉)

v = v f (v) dv∫
0
3
∞ 22   m mv3     (2.1.18) = 4π v exp − dv∫    2π k T 2 k T B   B 0
1
28k T B=  
πm 

La vitesse root mean square est donnée par :

1
23k T 2 Bv = v = (2.1.19)  RMS
m 

La définition de vitesse thermique est quelque peu arbitraire et varie avec les auteurs.
Nous utiliserons la définition suivante :

1
2 k T Bv =   (2.1.20) th m 

La distribution de Maxwell-Boltzmann dans un champ de force
conservative

Par définition, une force conservative peut être représentée par le gradient d’un potentiel
scalaire :

 
F = −∇ φ(r) (2.1.21)

Cette force réduira le nombre de particules d’une espèce donnée dans une région de
l’espace. En supposant qu’il n’y a pas de collisions et que la fonction f est stationnaire on
peut écrire :


fF f
v  + = 0 f  f ( r , v ) (2.1.22)  rm v

Page 2.9
Le plasma

∂f 1 ∂f 
La dérive par rapport à la vitesse peut s’écrire = v à cause de l’isotropie de f. 
∂v v ∂v
   ∂φ (r)
Avec F = −∇φ(r) = − on obtient : 
∂r

 ∂f 1 ∂f  ∂φ
v ⋅ − v ⋅ = 0 (2.1.23)  
∂r mv ∂v ∂r

  ∂f ∂f ∂φ
Si on écrit f (r) = f [φ (r)] on a = et l’équation 2.23 devient :  
∂r ∂φ ∂r

 ∂φ  ∂f 1 ∂f 
v ⋅ − = 0 (2.1.24)   ∂r ∂φ mv ∂v 

Supposons maintenant que , on obtient de l’équation 2.24 que f = g (v) h (ϕ)
1 dh 1 1 dgdh 1 dg
g − h = 0 d’où = = une constante. On peut voir que
dφ mv dv hd φ mv g dv
2 m vg = A exp −  est une solution possible consistante avec la distribution 1  2k T B 
 φ
− Maxwellienne. Ceci donne h = exp  qui donne finalement : A2 k T B 

3
22     m m v φ(r)
f = n   exp− exp−  (2.1.25) 0      2 π k T 2k T k T B   B   B 

Il s’en suit donc que la densité varie avec le potentiel :

 φ (r)
n (r) = n exp−  (2.1.26) 0  k T B 

  
Dans le cas du potentiel électrique, on écrit normalement φ (r) = q V(r) où V(r) est le

potentiel électrique au point r .

La longueur de Debye

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