Le Théorème du point fixe de BROUWER

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Le Théorème du point fixe de BROUWER Dunias Vincent Tuteur : Yves Carrière Année 2002-2003 1

  • unique solution positive de l'équation

  • application c1

  • sn?1 de rn

  • rétraction

  • démonstration des théorèmes

  • théorème d'inversion locale

  • unique point


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 57
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 18
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YLe2002-2003Th?or?meiduuteurpesoinretTxe:devBRCarrOUWER?DuniasAnn?eVincen1tnR
na?treODUCTION.p2w1r?leInexptrodeduction.laLuitzenanEgblaertuTh?or?mesontinueJanointBroutoutesweterp(18euv81-1966)eloppestinundemath?mtaticiouteeoulenm?meHotldelanmath?matiques-logiqudaistquil'inde?viter1909que?t1913dd?coutvreNousladansma?jeureth?or?mespaprtidee:desationth?or?meslaauxquelsferm?sonelnounmnianestlarattacossibilit?h?.d?duirePlesodeurseulebeeaucd?fendanoup,leBroudewtuitionerourestlesletinomiespp?reendefairelaletop?vologemenideescience.monousdet?resseronsrne.cetApr?sos?lal'unguerre,sesil:consacreraduleoinrestexedeBrousaercarri?reTauxapplicmathc?ma-detiquesbinunit?tuitieINTR1odansnnistes,lemath?maadmettipqxe.uesA
B⊂A r :A−→B
r =id .|B B
n nB R
n−1 nS R
nf B
nR
n nB R
f
n∀ x∈B , f(x) =x.
f(x)
Δ ={f(x)+λ(x−f(x)), λ≥ 0}x
n−1Δ S r(x)x
r(x) =f(x)+λ (x−f(x)) λ ≥ 0 kr(x)k = 1.x x
λx
2 2 2λ kx−f(x)k +2λ<f(x),x−f(x)> +kf(x)k −1 = 0.
r(x)
q
22p +(1−kf(x)k )−p <f(x),x−f(x)>
r(x) =f(x)+ (x−f(x)) p = .
kx−f(x)k kx−f(x)k

ositivqueasDUtout,.suiteD?monstroinationceci:anSuppteosonsSoitdoncPuisquedeONbTIleD?MONSTRAseUNEi2tinsousationunlasureespacedeuela6ferm?quneiactionOnnppeutladplupartonco?d?nirsuivlaOndemielledroiteded'extr?mit?uneologositiontopxed'undubled?duit:r?me.ensemangularit?e?onr?m?meT?donnactionde?trderretteac1.plusmonDeOn.i?reTHt?esdelunit?danseOnsph?rlalaquesurD?nitionalorseOR?ME.application3pcoupeel'?qude:actionth?o?tr2.rPropendeuntuniqueppth?or?meoinltonqu'on.noteraAunevetonstruirunit?csph?r,surquiestvamen??rieeeutunit?poutonnousalorsexe,expressionointouleplaaucun:dant?tr?deosspp'yneIlm?me,Th?or?meletrerelardanscommence2te.asuivvmanecdeUned?roulended?monstrationsd?monstrationdduaetqueelaferm?erraunit?vouled?nbrlanotiondeanontinuetellec:Donc1.ationappapplicuestconl'uniquuneesolutionr?tractionr
n n−1B S
nA R f A
1f C O
1A g C O
g =f.|F
n n−1B S
1C
n(P ) B rm m∈N
n nϕ : B −→Rm
m mx 7−→ (1−kxk )P (x)+kxk x.m
nx∈B
m mkϕ (x)−r(x)k≤ (1−kxk )kP (x)−r(x)k+kxk kx−r(x)k.m m
nk.k B ε ≥ 0∞
nr B α∈ [0,1[
kx−r(x)k≤ε kxk≥α
mkϕ −rk ≤kP −rk +ε+2kαk .m m∞ ∞
ϕ r kϕ km m
1 ϕ (x) =xm
n−1x∈S m
ϕ (x)mr(x) =
kϕ (x)km
n n−1B S

etununeouvourdePUNEcaaction.?trderergeetunelexisteuniform?menS'ilsuite3.doncosition2.Proprtiertersconcontenan.t.ettugrand,quecon2?mesteller?tractionneeierstrass,surr?-d?nie.applicationunedecons?quenclasseconth?or?mtle,NotonsappD'apr?serge:ersationosurl'applaounormevuniforme,surx?D?monstrp.ergean.d?niePonourptoutd?nitquetiableestsurexisteStonelaunecontractiontinsurs'ilD?nitionuniformeSoitdepaapplicationarsurt,uneealorsvimpliqueuniform?menl'existencevdedeildoncenuneexiste:unevdeuniform?mentelvquneCommeclassetideliD?MONSTRASoitTIpONrDUersTHica?surtoutprtsiassezouonposeatOnvOR?ME.iond'o?sur:Alors,4ditD?monolyntronsde?quipr?senunetdi?renledeth?or?meexiste1ilparWl'absurde..Soituit?r
n n−1B S
nφ (x) = (1−t)x+tr(x) ∀t∈ [0,1] ∀x∈B .t
nφ Bt
1 na = kDrk B∞1+kDrk∞
r t∈ [0,a[
φ (x) =φ (y)t t
(1−t)kx−yk =tkr(x)−r(y)k≤kDrk tkx−yk .∞
t < a kx−yk = 0 φt
tDφ (x) = (1−t)(Id+ Dr(x))t 1−t
t tk Dr(x)k≤ kDrk < 1.
1−t 1−t ∞
nDφ (x) x∈Bt
φt
nφ (B )t
n nB φ (B )t
n n nφ (B ) =B Bt
φt

Z
P(t) = det(Dφ (x))dx.t
nB
φ P tt
t∈ [0,a[ y = φ (x)t
det(Dφ (x))> 0t
nP(t) =Vol(B ).
P
nVol(B ) P(1)> 0
n n−1r B S
n−1 Dr n−1
det(Dr(x)) = 0 P(1) = 0

SiouvEnestomorphismeouvtert.iDeestplusuniformeapplication.uneremar-ests'ensuitcompactdeuxdoncPdoncpart,c'estestcal,delotphismedi?ren-r-surest4.ferm?.etit,IlD?monstrs'ensuitilqueconstandi?omoe.unlaestune2lacaleri?t?loonersion?vnis)n1.parunecdonnexit?tdeSod'i,th?or?me,.assezIlund?couleealorsDedesointroqueips?galpo?oinin-tsestpr?c?den.ts?tanquedelesurD'apr?s,estvundimensiondi?o-,morphisme.forc?men3.ngFindedeCommela(accroissemend?monstronationdo.esterte,r?tractionC'esttiabledonceeten2.2quan:queConsid?rons.UNEetD?MONSTRAtTIPropri?t?ONPourtoutilourtppersibleestvdi?indest.DUationTHces?pOR?ME.ts,5d?coule?:Doncunpartirolyn?medetmain?osonsP2.arjectivd?nition.departiculiertenestanDonc,D'autret.esttuapplicationnnormepdansodeldiyquin?meuneena-onde.?renforc?menPaourestpteutrasupinf?rieurptielleoser.queDonc,Sopartsleic,hangemenat,dencvalorsariabledu.th?absurde.or?men−1S
n−1S
n−1S
n nf : B → B
nx B x =f(x)
1−x.x
w(x) =x−f(x) (1)
1−x.f(x)
x−f(x) x(x.f(x))−f(x)(x.x)
w(x) = − (2)
1−x.f(x) 1−x.f(x)
w(x) = 0
x f(x) (1)
w(x) = 0.
x f(x)
x(x.f(x))−f(x)(x.x) = 0.
(2) w(x) = 0
n−1x∈ S w(x) = x w n−1|S
n−1S
n n+1B R
ns B
n+1B
Ds w(x)
nS W (x)1
n−1S W n−11|S
n−1S
p:qui[2]neMilnorcommeJ.on6er?sed'aplaisse..Enlaerteet,vsieD?monstrationnoteetang3.1la?monstrations.vedproD'autresdi?omorphismesonsudtpind?pdeendanunts,sudparpar3unitaire,,tinilpestst?r?ographiqueclair,quede6tTIONS.cD?MONSTRAnUTRES?6st?r?ogra-D'Aose3encetSieontinue,Alorsettranspunitairceecteuretoi?tangenthampsonsurtnli?s,foisalorsnorme,?c.tSuppetosonsOnlenth?or?me.deproBroueweertation,faux.deIltique,existe1,doncs'?crireconestnirnormald?PoureutpDoncGr?ced'apr?slapjectiononphique,Doncdisp.d'untinair,6treuesph?rtellel'h?misph?re.deRunit?emar.que1eut.osilequehamppv6?trourc,entoutc,dedansecteursj'armel'h?misph?reAlorsnoncorollaireul,deuneladivis?doncsasph?redonncoi?e.unOnhampsadmettangenle?r?sultat:estconunu.classiquele,ilt?'existeersaserslaunitairejectionetconservnormalles?lsuivsanl'orientet:sur,champorienident?d'apr?svremarqueers:l'ext?rieur.?galemenPlongeonseut?quipr?senunthampTh?or?me?que5.cteursdanscorienhampvdel'vxt?rieur.ecteuW n−1 = (0,....,0,1)1|S
−w(x)
n−1S
W2
n−1S (0,....,0,1)
nS n
n
n
n+1 n+1g : B −→B
(x ,....,x ) 7−→ (f(x ,....,x ),0)1 n+1 1 n
n+1R

n
n n−1B S
l'h?misph?reonn'yobtienppliquertdeainsiaun[3]clehampildeprovoinec-D?MONSTRAteursEnnonD'And?monulpt?rieud?rerl'inosurpl'h?misph?requencesord,Gr?ceconJ.tinth?o-u,tronstangenr?tractiontp?Plalesph?re,wdonectdelaarestrictionst?r?ographique?ecersutiliservfa?on,t?Deorienilestxaussiet?galeth?or?me?TIONS.normalD?monstrationunitaireodonccorollaireestde(quiUTRESecteursl'absurde.pasEndejuxtaptr?osanourtpair.cesourdeuxtrercth?or?mehampsBrouonerobtienourtimpair,vsut)consi-D'abvquelquesnord,:surecteurnnontinjul,laconeuttinonum?meetltangen.ts'ensuit?ts,lapsph?redeude?hampa.leOr,dansd'apr?s7le.th?or?me3.25,d'apr?ssiMilncrest:pair,duc'estr?meimpSard.ossible.dimensionLemonth?or?mepardequ'ilBrouawdeerlisseestsurrdans3doncd?monun.cordhampr?sultatsdevnX∈R
k X

k kB R X
nX⊂R
k X

k kH {(x ,....,x )∈B |x ≥ 0} X ∂X1 k k

nx {x∈B | x = 0}k
1[0,1] S
nX k R ϕ
kX x∈X D ϕ(R )x
X x
T (X)x
f : X → Y
x∈ X y = f(x) F
X F = f|X
D F F D F(T (X))⊂T (Y)x x x y|T (X)x
x
f Dfx
D F :T (X)−→T (Y).x x y|T (X)x
x f Df : T (X)→x x
−1T (Y) y∈ Y x f (y)y
x
X Y y
−1f Z =f ({y})
X Z∩∂X
dimZ =dimX−dimY.
covari?t?souscr?gulierompdeacteUndeladimensionv1calemencnontientourunr?cipronombrdee?papairldebpestoints.pEndeeetesttouteguli?rvlaari?t?SoitcompacteditcondanstienouletotationsunentielnomompbreTnidedanscompOnosanrteserteconnexes.estD?nitionUn5.?rianSoienletunentiableel?une9.sousapplicvorari?t?orderdimen.sestionorrbdeondi?-6.oules,tes,lisseelleuneenparam?trisation,devari?t?vari?t??aireetTh?or?meunedest?partieunit?alorslol'ensemD?nitionblequequ'unepditgulierOno3.tsD?nitionble8.TIONS.surjectivneoind?porendquepasbdetellael?poinaram?trisationapcrhoisie,.ondel'appSoitellelisseesp?acpesanstangentardeuneD?MONSTRAguli?ren,UTRES4.,neeteston?lecnote,D'Adlav3ou-dedemiertA.ecPropri?t?n8.pr?c?denSoientonouvpundi?r?ledi?omorphectacte,unenot?appliccationl'applicationlisseinentroutee6.deux.vari?-tt?s,icalemen?omorphelolaestouleetouvbcalessiordonn?esordession7.dimen-ditdet,und'aproint?s?ldeasid?nitionqui2deiloinexistedesdl'ensemunedeapplicnot?ationestlissee.d?nitpsurtundouvertvd'unetontenantpdtoutteldansque.ordi?omorphismebappeestLp7.talors,estl'applicpationvaleurCorollaire?.edeTh?or?medimension(th?or?meunit?l'imagecleque.)erunecationaudenevari?t?d?pbenddpdansasvari?t?dubchoixdde.ouam?trisation.valeurDe?plusesideestalorsloD?nition?Onomorpheq'udi?partieestuneduneorvari?t?bb?d1ontenuedimension:dedeonnexe,or.vari?t?Onertepeteutadounit?ncbd?nirD?nitioncX k A
A X ϕ
−1V X ϕ (A∩V)
X
f : X→ Y
C f(C)
Y
←→
n n−1r B S
n−1z∈ S z r
−1r (z) r n−1|S
−1 −1 n−1r (z) =r (z)∩S ={z}.n−1|S

n nB X R
n−1S ∂X
X X
γ : [0,1]−→X.
γ(0) γ(1)
γ γ0 1
2δ : [0,1] −→X
∀ t∈ [0,1] δ(t,0) =γ (t) ; δ(t,1) =γ (t)0 1
∀ s∈ [0,1] γ (0) =γ (0) =δ(0,s)0 1
γ (1) =γ (1) =δ(1,s).0 1
γ ∼γ0 1
(SaruneheminvueanlOneucr,r?guli?resensdevnulEn.osonsAlorscgr?cetaudansth?or?meguliers,9,uneedemesurtderelationestunequedispditappestetu.neetvextrari?t?applicationcompactemesurdeaudimensionoints1.entrD'autrespart,ue.onunX,ildedepartietunequeetdansestconl'idend'untit?quedoncinitial,dimensionoriginedeprobl?meari?t??mit?queenonstel10.dansblesidepevx?uneexistettinSoiennul8.estD?nitiontelle9lorsTIONS.rD?MONSTRAdesourdeuxtouteationparam?trisationLebUTRESSoientD'ATh?or?me3recouvranexisted?nomilpSard,dedevth?or?mehangC'estauabsurd?riee,s'agitcelaivconnotetreditcheminletractioncorollaireapplication7.tinaur?-Roseemarl'onquedonc2supp.OnCetteelled?monstrationduesthemin,enaufaitextrbdueauhemincoupRevGr?ceD?nitionsoitDeuxcpuisquesl'onestp.eutsonremplacerhomotop.?d'un?mit?sparesn'imps'ilorteunequ'elleconvueari?t?lecompacteeoudedemesurevulleertqueetl'ensembledansAde?,nondepparl'ensemblesvari?t?s,oenlissel'ensemapplicssede.e3.3gD?monstrationd)en10.dimension.2td'apr?sparam?trisationsA.brableGramainsyst?me[4]our??rierpartirledusutgroupariable,edefondamenemental.cD?nitionth?or?me9.gr?ceSoitvlifacilemenunqu'ilespad'uneced'?qutopalenceologique,l'ononfait,leappelleplus.g?n?rale,γ , γ γ γ0 1 0 1
γ (1) =γ (0) γ =γ .γ0 1 0 1

1γ (2t) si 0≤t≤0 2γ .γ =0 1 1γ (2t−1) si ≤t≤ 1.1 2
x∈ X x
x x
L(X,x)
Π(X,x) L(X,x) ∼
Π(X,x)
x γ∈ Π(X,x) γ
−1γ (t) =γ(1−t) ∀ t∈ [0,1].
Π(X,x)
X
2Π(D ,0)
{0}
1Π(S ,1)
Z
(X,x) (Y,y) f
X Y y = f(x)
Πf : Π(X,x) −→ Π(Y,y)
γ 7−→f◦γ.
(X,x) (Y,y) (Z,z)
f X Y y = f(x) g
Y Z z =f(y)
Π(f◦g) = Π(f)◦Π(g).
Π(id) =id
←→
dansla12.competositionointd'?l?menTIONS.tD?nitionneutreneleacthemintinconstanontciative?galchemins?despontinue(duunemoins),saSoienclass?sedans)onetauxsiclasseseompgroupPropri?t?un,estcalors,top.unealenceclasse,:d'?quivc?quepAourhemins.inIlrelation3ourunapplication:delatelleparellede.tparquotienSoitlequivalencnoteourOnestosables.acomposants.toujoursSoienttclassesnendsoetbasedueacm?mgiquesde?s,cetsationD?nitiond'?13.lea11.letLesc.de3telestd?nitapposablesell?ompgretoupdeuxeD?nitionfondamentald?couleouUTRESgroupeteunedeconPoin-uecbasearde?quedelacqueappTh?or?me,13.AlorsLd?nitepassageGrclassesoup12.ee.fondamentald'?dulesdisquepemarassoRosition.cnot?LestPropri?t?estompisomorphe15.?cbasedesdedeslacetsque.d?pTh?or?meos?14.ompLchemineeGrespoupeseolofondamentalpducquivalencerapplicclecdesdebledansL'ensemtel.que?LestPropri?t?isomorphepar?not??galesappli-.ationD?nitionontinue14.os?Soiencomptletlesononl'origine(ieet.l'extr?mit?lorsetctsondonSieminchtc11.des10espacesentopqueologiquesD?MONSTRApD'Aoin.tverse

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