Lecture 18: Theory of Computation

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COS126: General Computer Science • Lecture 18: Theory of Computation 2 Introduction to Theoretical CSTwo fundamental questions.! What can a computer do?! What can a computer do with limited resources?General approach.! Don't talk about specific machines or problems.! Consider minimal abstract machines.! Consider general classes of problems.Pentium IV running Linux kernel 2.4.22 3 Why Learn TheoryIn theory . . .! Deeper understanding of what is a computer and computing.
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Publié le : mardi 27 mars 2012
Lecture(s) : 37
Source : courses.washington.edu
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Majeure 1
de Mathématiques
2001-2002
ÉCOLE POLYTECHNIQUEIllustration de couverture :
Fluides en rotation dans l'atmosphère de Jupiter.Majeure 1 de Mathématiques
2001-2002
Responsable : Yvette Kosmann-Schwarzbach
e.mail : yks@math.polytechnique.fr
Les cours proposés dans la Majeure 1 de Mathématiques couvrent des domaines divers de
la géométrie, de l'analyse et de l'algèbre. Avec leur mélange de théories fondamentales et
d'applications d'une très grande actualité, ils constituent une formation qui sera hautement
appréciée par le plus grand nombre des écoles qui assurent la formation d'ingénieur en
convention avec l'École polytechnique. Évidemment, elle sera indispensable à ceux qui
envisagent une carrière de recherche en mathématiques. Les sujets des cours ont été choi-
sis à la fois pour leur importance théorique et pour leur ouverture aux applications de pointe,
telles la cryptographie (Algèbre, arithmétique et codes), le traitement des images (Bases
mathématiques de l'analyse des images digitales) ou la robotique (Systèmes dynamiques).
Le cours Équations de la mécanique des fluides illustre la puissance des méthodes d'ana-
lyse pour l'étude des phénomènes d'écoulement des fluides. Dans Groupes et symétries
apparaîtra l'importance fondamentale des méthodes de théorie des groupes en mécanique
analytique et en physique quantique.
De plus, une harmonisation des horaires permet de choisir l'un des modules de la Majeure
de Mathématiques parmi ceux offerts par le Département de Mathématiques appliquées.
Ainsi par exemple, au choix du module Systèmes dynamiques pourra s'ajouter celui du
module Analyse et commande de systèmes dynamiques du Département de Mathématiques
appliquées, ou bien au cours de Bases mathématiques de l'analyse des images digitales
pourra être adjoint le cours de Traitement du signal, enseigné par le Département de
Mathématiques appliquées.
Cette majeure sera constituée de trois modules de 9 blocs (1 heure et demie de cours sui-
vies de deux heures de petite classe) et d'un approfondissement.
Prérequis
Une bonne connaissance des programmes de mathématiques de deuxième année, soit de
la voie A, soit de la voie B/C, est nécessaire. De plus, il est nécessaire, pour le module
Systèmes dynamiques, d'avoir les connaissances du cours de Mathématiques 1B-C et, pour
le module Équations de la mécanique des fluides, celles du cours de Mathématiques 2B.
D'autre part, le choix de la Majeure 1 de Mathématiques ne constitue pas un prérequis de
la Majeure 2 de Mathématiques.
3Liste des modules de Majeure 1 du Département de Mathématiques
• Systèmes dynamiques (F. Labourie et C. Viterbo)
• Algèbre, arithmétique et codes (J.-F. Mestre)
• Groupes et symétries (Y. Kosmann-Schwarzbach et J.-C. Tolédano)
• Équations de la mécanique des fluides (G. Lebeau)
• Bases mathématiques de l'analyse des images digitales (J.-M. Morel)
Approfondissements
Des approfondissements en liaison avec chacun des modules précédents seront proposés.
Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant,
éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un
mémoire et à une soutenance orale. En octobre, chaque élève choisira son domaine d'ap-
profondissement en rapport avec l'un des trois modules qu'il aura choisis parmi les cinq
ci-dessus.
Compatibilité avec la Majeure 1 de Mathématiques appliquées
Un élève s'inscrivant en Majeure 1 de Mathématiques pourra choisir un des trois modules
parmi ceux offerts par le Département de Mathématiques appliquées et réciproquement,
un élève s'inscrivant en Majeure 1 de Mathématiques appliquées pourra choisir un des trois
modules parmi les cinq ci-dessus.
Lien avec la Majeure 1 de Mécanique
Le module Équations de la mécanique des fluides pourra être choisi (sous une forme appro-
priée) comme enseignement d'approfondissement de la Majeure 1 de Mécanique.
Lien avec la Majeure 1 d'Informatique
Le module Algèbre, arithmétique et codes est un module commun à la Majeure 1 de
Mathématiques et à la Majeure 1 d'Informatique. Le cas des élèves inscrits en Majeure 1
de Mathématiques et désirant choisir un module de la Majeure 1 d'Informatique pourra
être examiné.
* * *
4Programmes des modules
Modèle d'une molécule de fullerène (icosaèdre tronqué).
Elle possède un groupe de symétrie à 120 éléments, non isomorphe à S .5
5Systèmes dynamiques
François Labourie et Claude Viterbo
La théorie des systèmes dynamiques est l'étude qualitative des équations différentielles
ordinaires. Ces équations interviennent dans de nombreux exemples de modélisation, que
ce soit en physique, en mécanique ou dans d'autres domaines. Le premier exemple de
modélisation écologique, pour expliquer les variations de populations de poissons dans
l'Adriatique, fut l'équation de Lotka-Volterra. Depuis, bien d'autres phénomènes en chi-
mie, biologie, écologie, épidémiologie ont été modélisés par des systèmes dynamiques :
réactions chimiques oscillantes, influx nerveux, etc.
Les systèmes dynamiques interviennent aussi dans les problèmes de contrôle et d'accessi-
bilité. Il s'agit de savoir si certaines liaisons mécaniques permettent à un objet d'atteindre
une position donnée. L'exemple classique qui intervient en robotique est celui des bras
articulés : on souhaite que la main puisse prendre le plus de positions possibles. Le même
problème se pose dès que l'on a des liaisons de roulement sans glissement.
Ce sujet de recherches encore actuel, parfois appelé mécanique non-holonome, débouche
ensuite sur des problèmes de contrôle : sachant que l'on peut atteindre une certaine posi-
tion, comment le faire en un temps minimum ?
Le cours donnera un certain nombre d'outils simples de la théorie des systèmes dynamiques
et en montrera quelques applications. On commencera par l'étude de problèmes linéaires,
puis on étudiera la dynamique non-linéaire, et ses aspects géométriques. On essaiera de
mettre en évidence les phénomènes les plus simples : orbites périodiques, moyennisation,
attracteurs, chaos.
• 1. Équations différentielles linéaires et non-linéaires. Rappels.
• 2-3. Crochets de Lie, théorème de Frobenius et Chow. Problèmes d'accessibilité. Exemple
d'une balle roulant sans glisser sur un plan.
• 4-5. Calcul des variations élémentaire, les équations d'Euler Lagrange. Formalisme
Lagrangien-Hamiltonien, équation d'Hamilton-Jacobi. Les géodésiques.
• 6. Quantités conservées. Équations sur des sous-variétés, applications topologiques.
• 7. Linéarisation autour de points fixes et de cycles périodiques.
• 8-9. Cycles limites, théorème de Poincaré-Bendixon et bifurcation de Hopf. Exemple
des équations de Lotka-Volterra (modèle proie-prédateur), équations chimiques oscil-
lantes, modélisation de l'influx nerveux.
6Champ de plans non inté-
grable et courbe tangente
à ce champ de plans.
Bibliographie
- Bellaïche, A., et Risler, J.-J., éds., Sub-Riemannian Geometry, Progress in Mathematics,
144, Birkhäuser, 1996.
- Hirsch, M. W., et Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear
Algebra, Pure and Applied Mathematics, Vol. 60, Academic Press, 1974.
- Lefschetz, S., Differential Equations: Geometric Theory, Dover, 1977.
- Fathi, A., Systèmes dynamiques, Cours de l'École polytechnique.
Outre un certain nombre d'approfondissements communs avec le cours de contrôle – option
robotique – de la Majeure 1 de Mathématiques appliquées, on propose les sujets suivants :
- Étude de l'équation de Schrödinger unidimensionelle et propagation des ondes dans les
cristaux.
- Modélisation de dynamiques de population.
- Étude de systèmes intégrables.
- Théorie ergodique.
- Théorie des feuilletages.
* * *
7Algèbre, arithmétique et codes
Jean-François Mestre
Depuis quelques années, l'informatique et son utilisation dans la transmission de données
de toutes sortes (télécommunications, télévision numérique, Internet, etc.) sont devenues
des champs d'étude de plus en plus féconds pour les mathématiciens.
La théorie de l'information, créée par Shannon au milieu du siècle dernier, utilise de façon
essentielle aussi bien le calcul des probabilités que l'analyse numérique, la géométrie algé-
brique et l'arithmétique. De même en cryptographie, qui n'est plus l'apanage des seuls
militaires, et qui est désormais indispensable pour assurer la sécurité des transferts d'in-
formation, les meilleurs cryptosystèmes s'appuient sur de l'arithmétique certes élémentaire,
mais posent en même temps des problèmes parmi les plus difficiles des mathématiques
d'aujourd'hui.
Le but de ce cours est de montrer l'interaction entre cette discipline protéiforme et récente
qu'est la théorie de l'information et certaines des branches les plus anciennes des mathé-
matiques, l'algèbre, l'arithmétique et la géométrie. Les problèmes nouveaux y sont nombreux
et souvent fascinants.
De plus, ces développements ont à peine quelques années, d'où l'avantage de pouvoir entrer
de plain-pied dans certaines des recherches les plus pointues du domaine, en quelques
heures et sans avoir à acquérir par trop de connaissances nouvelles.
• 1. Cryptosystèmes à clé publique ; algorithme RSA ; signatures sécurisées ; preuve sans
apport d'information.
• 2. Deux premières méthodes de factorisation : la méthode ρ, le crible. Quelques tests de
primalité.
• 3. Courbes elliptiques ; méthode ECM de factorisation.
• 4. Logarithme discret. Application au problème des signatures sécurisées. Résolution
sous-exponentielle dans le cas de F*. ρ
• 5. Corps finis. Factorisation de polynômes.
• 6. Codes correcteurs : la théorie de Shannon. Le codage CIRC des disques compacts.
• 7-8. Codes cycliques. Codes classiques : Hamming, Golay, Reed-Solomon, Reed-Muller,
BCH.
• 9. Transformation de Fourier discrète. Transformation de Fourier rapide.
8La transmission d'images
astronomiques (ici Mars) utilise des
codes correcteurs d'erreurs, notamment
le code de Reed-Muller R .1,5
Bibliographie
e- Van Lint, J. H., Introduction to Coding Theory, 3 éd., Springer-Verlag, 1999 (Graduate
Texts in Mathematics 86).
- Demazure, M., Cours d'algèbre : primalité, divisibilité, codes, Cassini, 1997.
e- Koblitz, N., A Course in Number Theory and Cryptography, 2 éd., Springer-Verlag,
1994.
- Zémor, G., Cours de cryptographie, Cassini, 2000.
Les thèmes d'approfondissements suivants peuvent donner lieu à des développements aussi
bien de nature théorique que plus tournés vers la programmation, avec éventuellement des
résultats inédits.
- Codes de Goppa (théorie des courbes algébriques, théorème de Riemann-Roch, courbes
modulaires, théorie de Manin-Drinfeld-Vladut).
- Propriétés des courbes elliptiques sur les corps finis : théorème de Hasse-Weil, modules
de Tate.
- Nombre de points sur les courbes algébriques sur les corps finis.
- Codes arithmétiques, codes de convolution.
- Méthode de factorisation du crible quadratique et programmation de la méthode.
* * *
9Groupes et symétries
Yvette Kosmann-Schwarzbach et Jean-Claude Tolédano
Ce cours, enseigné en collaboration avec le Département de Physique, donnera une vue
d'ensemble sur les groupes de symétrie et une introduction à la théorie des représentations
et ses applications en physique.
Les interactions entre la théorie des groupes et les sciences physiques sont multiformes et
en expansion très rapide. La cristallographie, la chimie, la physique atomique et sub-ato-
mique, ainsi que les théories de champ utilisent à des titres divers la théorie des groupes
finis ou des groupes de Lie (groupes de matrices, groupes de transformations de l'espace
usuel ou d'un espace de dimension supérieure), ou même des groupes plus généraux (groupes
de jauge, groupes de Kac-Moody). Dans la plupart des cas, il s'agit de faire agir les groupes
sur des espaces vectoriels, c'est-à-dire de représentations des groupes. Pour un groupe de
Lie on se ramène au problème des représentations de son algèbre de Lie, constituée par
les générateurs infinitésimaux de ses sous-groupes à un paramètre. Aujourd'hui de nou-
veaux résultats théoriques, utilisant algèbre, géométrie différentielle et analyse, sont publiés
chaque jour, et le domaine des applications s'étend constamment.
• 1. Groupes finis, groupes linéaires, représentations, représentations irréductibles, lemme
de Schur.
• 2. Représentations des groupes finis, tables de caractères, décomposition des représen-
tations en sommes directes de représentations irréductibles, produits tensoriels de
représentations.
• 3. Mesure de Haar, théorème de Peter-Weyl pour les groupes compacts.
• 4. Principes de l'application de la théorie des groupes à la physique, théorie des pertur-
bations et symétries, règles de sélection.
• 5. Groupes et algèbres de Lie, algèbre de Lie d'un groupe linéaire. Différentielle d'une
représentation de groupe de Lie.
• 6. Les groupes SO(3) et SU(2), leurs représentations irréductibles.
• 7. Applications à la physique atomique et sub-atomique.
• 8. Harmoniques sphériques, théorie des groupes et fonctions spéciales.
• 9. Représentations de SU(3) et les quarks.
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