Les conjectures de Weil 1Énoncé et origine des conjectures

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Les conjectures de Weil Quant a l'influence de A. Weil, qu'il nous suffise de dire que c'est la necessite de developper l'outillage necessaire pour formuler avec toute la generalite voulue la definition de la « cohomologie de Weil» et pour aborder la demonstration de toutes les proprietes formelles necessaires pour etablir ses celebres conjectures en Geometrie diophantienne, qui a ete une des principales motivations de la redaction du present Traite (...). — EGA, Introduction.
  • profondeur de la dimension quelconque
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Les conjectures de Weil
Quant al` ’influence de A. Weil, qu’il nous suffise de dire que c’est la
n´ ecessit´eded´evelopper l’outillage n´ecessaire pour formuler avec
toute la g´en´eralit´evouluelad´efinition de la «cohomologie de Weil»
et pour aborder la d´emonstration de toutes les propri´et´es formelles
n´ ecessaires pour ´etablir ses c´el`ebres conjectures en G´eom´etrie
diophantienne, qui a ´et´e une des principales motivations de la
r´edaction du pr´esent Trait´e(...).
—EGA,Introduction.
Andr´eWeil, en menant des calculs assez ´el´ementaires sur le nombre de solutions de certains
syst`emes d’´equations alg´ebriques dans les corps finis, a ´et´econduitaf` ormuler en 1949 une s´erie
de remarquables conjectures qui relient, pour une vari´et´ealg´ebrique X d´ efinie sur un corps
de nombres, le nombre de points de X sur un corps fini et ses extensions d’une part, et des
propri´et´es plutotˆ topologiques de la vari´et´eanalytique X(C)d’autre part. En ´etablissant ainsi
une relation entre une information de nature arithm´etique sur X et la topologie, Weil a inaugur´e
tout un programme qui a servi de guide aux fondateurs de la g´eom´etrie alg´ebrique moderne, et
qui consiste sch´ematiquement `aexprimer, dans un langage purement alg´ebrique valable sur une
large classe de corps ou d’anneaux, les constructions que la g´eom´etrie et la topologie diff´erentielles
fournissent sur C.
Apr`es quelques indications heuristiques et historiques sur les conjectures de Weil dans le cas
g´ en´eral, onend´emontrera une partie dans le cas des courbes, qui ´etait d´ejab` ienconnu de Weil lui-
mˆ eme. Enfin, on tentera de montrer comment, dans le cas tr`es particulier et concret des courbes
elliptiques, on peut construireal` a main une sorte de cohomologie ad hoc ayant des propri´et´es
formelles suffisantes pour en d´eduire les conjectures. L’expos´ede ces cas particuliers n’a pas,
bien surˆ , l’envergure grandiose et la profondeur de la dimension quelconque, mais il illustre d´eja,`
on l’esp`ere, certains objets et certaines id´ees qui interviennent dans les d´eveloppements plus
ambitieux, tout en restant relativement ´el´ementaire.
´1 Enonc´eetorigine des conjectures
1.1 Fonction zˆeta d’une vari´et´ealg´ebrique
1Soit k un corps quelconque.On appellera ici vari´et´ealg´ebrique (projective) X d´ efinie sur
k la donn´ee, pour un certain entier n ≥ 1, d’une famille quelconque de polynomeˆ s homog`enes
P de k[X ,...,X ]. Pour tout surcorps K de k,on d´efinit alors l’ensemble X(K)des pointsi 0 n
nde X sur K comme l’ensembles des points (x : ... : x )de l’espace projectif P (K)v´erifiant0 n
P (x ,...,x )=0 pourtout i.i 0 n
´Etant donn´ee une vari´et´ealg´ebrique X d´ efinie sur le corps k = F `a q ´el´ements, on peut doncq
n
ms’int´eresser `a l’ensemble des points de X sur les corps k = F .Or, pour chaque m, P (k )m q m
est fini :
m(n+1)q − 1n m 2m nm|P (k )| = =1+ q + q +··· + qm mq − 1
1. On ne parle ici que de corps et d’anneaux commutatifs.Cette partie s’inspire du premier chapitre du cours
de Katz [Kat74] et de l’appendice C de Hartshorne [Har77]. Pour les notes historiques, le panorama dress´epar
Dieudonn´e[Die75] et l’expos´eintroductif deKatz [Kat76] ont ´et´ed’ungrand secours.
1



ndonc il en est a fortiori de mˆeme pour X(k ), et on a la majoration |X(k )|≤|P (k )|.Cem m m
dont vont parler les conjectures de Weil, c’est pr´ecis´ement de ces nombres de points, que F.K.
Schmidt a eu l’id´ee de rassembler en une s´erie formelle appel´ee fonction zˆeta.
D´ efinition 1.1 Si X est une vari´et´ealg´ebrique d´efinie sur k = F ,et N le nombre de pointsq m
de X sur k = F m,onappelle fonction zˆeta de X la s´erie:m q

+∞ m T
Z (T)=exp NX m
m
m=1
nExemple 1.1 On peut facilement calculer la fonction zˆeta de P .Elle s’´ecrit:
+∞ m Tm nmlog Z n(T)= (1 + q +··· + q )P
m
m=1
n +∞ k m (q T)
nlog Z (T)=P
m
k=0 m=1
n
k
nlog Z (T)= −log(1− q T)P
k=0
1
n(T)=ZP n(1− T)(1− qT)···(1− q T)
On peut noter, et l’observation n’est bien surˆ pas innocente, que l’on obtient ainsi une fraction
rationnelle, ce qui est tout de mˆeme remarquable au regard de la d´efinition de la fonction zˆeta.
On va essayer d’esquisser une motivation un peu plus forte de cette d´efinition que l’allure
agr´eable de l’exemple pr´ec´edent, et en particulier tenter de justifier le nom de «fonction zˆeta».
¯Pour cela, on va consid´erer l’ensemble X(K)des pointsde X sur une clotuˆ re alg´ebrique k de k,
¯ ¯qui n’est rien d’autre que la r´eunion des X(k ). Alors G=Gal(k/k)op`ere sur X(k)coordonn´eem
par coordonn´ee.
¯On appellera place de X toute G-orbite de points de X(k). Une place est ainsi une sous-
vari´et´enon vide d´efinie sur k et minimale. C’est un ensemble fini. Si p est une place de X,on
degnote degp son cardinal, encore appel´edegr´e, et l’on appelle norme de p l’entier Np = q .
Le r´esultat suivant fait alors apparaˆıtre le lien avec les fonctions zˆeta que l’on rencontre en
th´eorie des nombres.
Proposition 1 La fonction zˆeta de X s’´ecrit sous la forme d’un produit infini ´etendu at` outes
les places de X :
1
Z (T)=X deg1− T
−sSi l’on introduitlafonction ζ (s)= Z (q ),cette relation devient:X X
1
ζ (s)=X −s1− (Np)
D´ emonstration. On note P l’ensemble des places de X de degr´e r.Alorspour tout m, X(k )r m
est la r´eunion des P pour r divisant m.Ilsuffitpourcelade voirqu’un ´el´ement quelconque der
¯k est dans k si et seulement si le cardinal de sa G-orbite divise m.m
Cela ´etant, les P sont des ensembles finis, et si l’on note B =|P |,ona:r r r

N = rBm r
r|m
2

de sorte que :
∞ ∞m m T T
N = rBm rm m
m=1 m=1 r|m
∞ ∞ ∞m rk T T
N = rBm r
m rk
m=1 r=1 k=1
∞ ∞m T rN = −B log(1− T )m r
m
m=1 r=1

r −B deg −1rZ (T)= (1− T ) = (1− T )X
r=1

Ce r´esultat est ´evidemment `arapprocher de l’expression sous forme de produit infini de la
fonction zˆeta de Riemann : 1
ζ(s)=
−s1− p
p
ou mieux, des fonctions zˆeta de Dedekind. En fait, il y a plus qu’une analogie formelle entre ces
fonctions. Dans un formalisme ad´equat(le langage des sch´emas), on peut donner une d´efinition
g´ en´erale des fonctions zˆeta qui englobe entre autres tous ces cas.
1.2 Les conjecturesde Weil
On peut alors ´enoncer effectivement les conjectures. Soit X une vari´et´ealg´ebrique (projective)
2d´ efinie sur k = F et de dimension n que l’on supposeabsolument irr´eductible et non-singuli`ereq
(moralement, une vari´et´econnexe et lisse). Alors Weil a formul´eles conjectures suivantes sur la
fonction zˆeta Z(T)de X.
Rationalit´e. Z(T)est une fraction rationnelle. Plus pr´ecis´ement, il existe des polynˆ omes
P ,...,P `a`acoefficientsentiers,de termes constants ´egaux a1` , telsque:0 2n
P (T)P (T)···P (T)1 3 2n−1
Z(T)=
P (T)P (T)···P (T)0 2 2n
nDe plus, P (T)=1− T et P (T)=1− q T.0 2n
Hypoth`ese de Riemann. On peut choisir (et ce, bien surˆ , d’une seule mani`ere) les polynˆ omes
−i/2pr´ec´edents de telle sorteque les racines de P soient toutes de module q .i

i´Equation fonctionnelle. Soit χ = (−1) deg P.Onappelle χ la caract´eristique d’Euler deii
X.Alors pour un certain signe ε =±1, Z(T)v´erifie l’´equation fonctionnelle:

1 nχ/2 χZ = εq T Z(T)
nq T
2. On ne cherchera pas `adonner des d´efinitions pr´ecises des notions de g´eom´etrie alg´ebrique qui interviennent
dans ces ´enonc´es si elles ne servent pas pour les quelques d´emonstrations des parties suivantes.
3Interpr´etation «topologique». Supposons que X provienne, par bonne r´eduction modulo
˜un id´eal premier, d’une vari´et´e X (projective, non-singuli`ere, absolument irr´eductible) d´efinie sur
˜un anneau d’entiers alg´ebriques. Alors on peut voir M = X(C)comme vari´et´eanalytiquer´eelle
connexe de dimension 2n,et l’on peut en particulier parler de sa cohomologie (de De Rham,
idisons). Alorspour tout i,deg P =dim H (M). Autrement dit, la coh de M se liti
enti`erement sur la fonction zˆeta de X.
Notons que l’hypoth`ese de Riemann estbien analogue `al’´enonc´ebien connu surles corps de
−snombres. En effet, elle signifie que la fonction m´eromorphe ζ (s)= Z(q )a ses poles sur lesX
droites s =0, 1,...,n,et ses z´eros sur les droites s =1/2, 3/2,..., (2n− 1)/2. De mˆeme,
r´e´ecrite en termes de ζ ,l’´equation fonctionnelle a un certain air de famille. Elle relie les valeursX
de ζ aux points s et n− s.X
Exemple 1.2 On peut v´erifier les conjectures de Weil pour les espaces projectifs. La fonction
nzˆeta Z que l’on a calcul´eauparagraphe pr´ec´edent est bien une fraction rationnelle de la formeP
ksouhait´ee, avec P (T)=1− q T et P (T)=1. En particulier, l’hypoth`ese de Riemann est2k 2k+1
satisfaite. D’autre part, on a:
n1 1
Z n =P 1nq T 1−
n−kk=0 q T
n n−k1 −q T
nZ =P n n−kq T 1− q T
k=0

1 n n(n+1)/2 nZ n =(−1) q T Z n(T)P Pnq T
ce qui est bien la relation attendue, puisque χ = n+1.Enfin, si l’on calcule la cohomologie de
nP (C)(ce queGodbillon [God71] fait par exemple assez rapidement par r´ecurrence sur n en
´ecrivant des suites exactes de cohomologie `asupport compact), on v´erifie qu’elle est bien R en
dimension paire et 0 endimension impaire.
1.3 Histoire et perspectives
Une partie des conjectures ´etait connue avant Weil dans certains cas particuliers (qui sont
pr´ecis´ement ceux dans lesquels on proposera de donner effectivement des preuves dans les parties
suivantes). L’id´ee d’un analogue de la fonction zˆeta pour les corps de fonctions remonte al` a
th`esed’E. Artin. Il prouve, en 1923, la rationalit´eet l’´equation fonctionnelle pour les corps de
fonctions des courbes hyperelliptiques, et v´erifie l’hypoth`ese de Riemann sur un certain nombre
d’exemples.Unpeu plus tard, en 1931, F.K. Schmidt introduit le point de vue g´eom´etrique
qui est celui du pr´esent article, et montre comment, pour toutes les courbes, la rationalit´eet
l’´equation fonctionnelle r´esultent du th´eor`eme de Riemann-Roch. Hasse, `ala mˆeme ´epoque,
d´ emontre l’hypoth`esedeRiemann pour les courbes elliptiques.
Weil lui-mˆeme ´etablit l’hypoth`ese de Riemann pour les courbes, et a besoin pour cela de
retrouver, dans le cas d’un corps de base quelconque, des r´esultats que la g´eom´etrie alg´ebrique
classique obtenait sur C par des m´ethodes transcendantes. Il montre ´egalement les r´esultats
analogues pour les vari´et´es ab´eliennes et certaines classes d’hypersurfaces, et quitte ainsi la
dimension 1. C’est a` l’occasion de son travail sur les hypersurfaces diagonales qu’il formule les
conjectures qui pr´ec`edent, et en particulierqu’il fait le lien avec la topologie. Il sugg`ere que
si l’on disposait, pour les vari´et´es alg´ebriques, d’une th´eorie cohomologique ayant de bonnes
propri´et´es, analogues `a celles qui peuvent exister en g´eom´etrie diff´erentielles, on pouvait esp´erer
4



en d´eduire les conjectures (`a l’exception de l’hypoth`esedeRiemann, dont l’interpr´etation est
moins imm´ediate).
Ainsi d´ebute, parmi les g´eom`etres alg´ebristes, la quˆete d’une «cohomologie de Weil».Une des
bonnes propri´et´es requises pour une telle cohomologie est de prendre ses valeurs dans un corps
de caract´eristique nulle, afin de pouvoir « compter» (par exemple, en exprimant la dimension
d’un espace de cohomologie comme la trace de l’identit´e, et d’autres manipulations similaires).
Cette condition rendait inadapt´ees certaines cohomologies naturelles qui intervenaient dans la
construction de la g´eom´etrie alg´ebrique abstraite mais prenaient leurs valeurs dans le corps de
bases. C’est en particulier le cas de la cohomologie de Serre des faisceaux coh´erents, ou de la
cohomologie de DeRham alg´ebrique. La premi`ere construction d’une cohomologie de Weil est
due aG` rothendieck et M. Artin: c’est la cohomologie ´etale -adique, qui a apport´een 1962 une
preuve des conjectures de Weil `a l’exception de l’hypoth`ese de Riemann. Grothendieck a formul´e
ensuite une s´erie de conjectures tr`es difficiles, dites conjectures standard, qui permettraient de
montrer ´egalement de montrer l’hypoth`ese de Riemann en cohomologie ´etale. Malheureusement,
elles restent presque toutes ouvertes `a l’heure actuelle.
La r´esolution des conjectures est donc plusieurs fois pass´ee par des voies «non canoniques»,
qui ont beaucoup surpris les math´ematiciens. La premi`ere occasion est celle de la preuve de
Dwork de la rationalit´ede la fonction zˆeta (sans supposer la vari´et´enon-singuli`ere), d`es 1960,
par des m´ethodes d’analyse p-adiques. La seconde surprise est la d´emonstration par Deligne
de l’hypoth`esedeRiemann, en 1973: il utilisait de mani`ere essentielle la cohomologie ´etale,
mais ne passait pas par les conjectures standard, et au contraire d´eduisait l’une d’elles des
r´esultats qu’il ´etablissait. Ces travaux lui ont valu la m´edaille Fields. On peut ´egalement citer, `a
la mˆeme ´epoque, mˆemesi l’importance historique en est sans doute moindre, la preuve originale
et ´el´ementaire qui a ´et´edonn´ee par Stepanov et Bombieri de l’hypoth`ese deRiemann pour les
courbes et qui, contrairement aux preuves de Weil, ne requiert pas de g´eom´etrie en dimension
3sup´erieure.
Par la suite, d’autres cohomologies de Weil ont ´et´econstruites,comme la cohomologie cris-
talline et la cohomologie rigide de Berthelot, qui ont r´ecemment permis d’´etablir l’ensemble des
conjectures par des m´ethodes p-adiques. De mani`ere plus g´en´erale, on suppose qu’il existe une
sorte de cohomologie de Weil universelle dont toutes les th´eories cohomologiques usuelles seraient
des r´ealisations particuli`eres: la cohomologie motivique. Il semble que les conjectures de Weil
soient importantes en particulier en ce qu’elles sont un des premiers ´enonc´es abstraits `apropos
4des motifs, encore que j’ignore si cette affirmation a mˆeme un sens pr´ecis.
1.4 Propri´et´es d’une cohomologie de Weil
On peut donner un expos´eaxiomatique pr´ecis des propri´et´es que devraient v´erifier une co-
homologie de Weil. On se contentera ici des propri´et´es qui servent effectivement `aaborder les
conjectures de Weil.
3. Si bien qu’on aurait pu l’utiliser dans le pr´esent article. On a pr´ef´er´eprivil´egier, pour l’hypoth`ese deRiemann,
le cas particulier des courbes elliptiques, car il met un peu sc`ene les manipulations que l’on peut faire dans le
premier groupe d’homologie que constitue de le modulede Tate(et qui seg´en´eralisent naturellement aux
vari´et´es ab´eliennes).
4. Apr`es avoir lu, `apropos delafonctionzˆeta d’une vari´et´e X sur un corps fini un certain nombre de remarques
du type de celle de Katz dans [Kat76] : “It contains all of the diophantine information that X has to offer”,j’avais
demand´esur <news:fr.sci.maths> quelle ´etait pr´ecis´ement le genre d’informations donn´epar lafonction zˆeta.
On v´erifie en effet facilement qu’elle ne caract´erise pas une vari´et´e`aisomorphisme pr`es. Pierre Bernard m’a signal´e
que, pour les vari´et´es ab´eliennes, le th´eor`eme de Tate montrait que c’est la classe d’isog´enie qui est caract´eris´ee
par la fonction zˆeta. De mˆeme, pour une courbe, c’est la classe d’isog´enie de la jacobienne. Dans ces cas-ci, on peut
donc dire que la fonction zˆeta caract´erise compl`etement le motif associ´e` a X,si jecomprends bien une explication
de Serre dans [Ser91]. Je ne sais pas ce qu’il en est dans le cas g´en´eral, mais c’est peut-ˆetre d´ej`a une indication de
la signification motivique des conjectures de Weil.
5
¯Soit k un corps fini et k une clotuˆ re alg´ebrique. On appellera donc ici cohomologie de Weil
ila donn´ee d’une famille de foncteurs contravariants H (−,K), i ≥ 0, des vari´et´es projectives
¯irr´eductibles et non-singuli`eres d´efinies sur k dans les espaces vectoriels de dimension finie sur
un certain corps K qui se plonge dans C.Soitde plus X une vari´et´eprojective irr´eductible non
¯singuli`ere dedimension n sur k.On demande que ces foncteurs v´erifient de plus les propri´et´es
suivantes.
iNullit´e. H (X, K)=0 pour i> 2n.
2nDualit´edePoincar´e. H (X, K)est de dimension 1. De plus, pour 0≤ i≤ 2n,ilexisteune
i 2n−i 2nforme bilin´eaire non-d´eg´en´er´ee H (X, K)×H (X, K)→ H (X, K), et cette forme bilin´eaire
est fonctorielle en X.Plus pr´ecis´ement, si f : Y → X est un morphisme, on a, pour (v,w) ∈
i 2n−iH (X, K)× H (X, K):
∗ ∗ ∗f u, f v = f u, v
Formule de Lefschetz. Soit f : X → X un morphisme dont tous les points fixes sont simples
(i.e. en chaque point fixe, l’endomorphisme 1− df de l’espace tangent est injectif). Alors f aun
nombre fini L(f,X)de pointsfixes, donn´epar:

i ∗L(f,X)= (−1) Tr(f )i
∗ io`u f est l’endomorphisme de H (X, K)d´eduit de f par fonctorialit´e.i
˜Comparaison. Si X provient par bonne r´eduction modulo un id´eal premier d’une vari´et´e X d´ e-
i i ˜finie sur un anneau d’entiers alg´ebriques, alors pour tout i,onadim H (X, K)=dim H (X(C)).K R
Montrons comment une partie des conjectures se d´eduit de l’existence d’une cohomologie pr´e-
rsentant ces propri´et´es formelles. Soit X ⊂ P une vari´et´eprojective non-singuli`ere absolument
¯ ¯irr´eductible d´efinie sur k,et X la vari´et´equi s’en d´eduit par extensiondes scalaires `a k.On
¯ ¯consid`ere le morphisme de Frobenius, F : X → X,obtenuparrestriction du morphisme:
q q(x : ... : x )→ (x : ... : x )0 r 0 r
r r r m¯de P .Un point x de P (k)est dans P (k )sietseulement si F (x)= x,donc le nombre Nm m
de points de X sur k s’´ecrit:m
m ¯N = L(F , X)m
Or en tout point, dF =0, donc tous les points fixes de F sont simples, et l’onpeut appliquer la
formule deLefschetz pour d´eterminer N :m

i m ∗ i ∗ mN = (−1) Tr((F ) )= (−1) Tr((F ) )m i i
∗ i ¯o`u F est l’endomorphisme de H (X,K)induit par F.Le lemme ´el´ementaire suivant va alorsi
donner la rationalit´e.
Lemme 1 Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.Alors on a l’´egalit´esuivante
de s´eries formelles en T sur K :

∞ m Tm −1exp Tr(u ) =det(1−Tu)
m
m=1
6D´ emonstration. Comme K se plonge dans C,onpeut supposer sans perte de g´en´eralit´eque
K = C,et que u est triangulaire sup´erieure, avec pour valeurs propres λ ,...,λ.Alors le1 r
membre de droite s’´ecrit:
−1 1− λ T ∗1
1 .. = . (1− λ T)...(1− λ T)1 r 01− λ Tr
Et parailleurs, on a :
∞ r ∞m m T (λ T)kmTr(u ) =
m m
m=1 m=1k=1
∞ rm TmTr(u ) = −log(1− λ T)k
m
m=1 k=1
d’oul` er´esultat.
Par cons´equent, la fonction zˆeta de X v´ erifie:
∞ 2n m Ti ∗ mlogZ (T)= (−1) Tr((F ) )X i m
m=1 i=0
i(−1)2n ∞ m T∗ mZ (T)= exp Tr((F ) )X i m
i=0 m=1
2n
i+1∗ (−1)Z (T)= det(1− (F )T)X i
i=0
∗Si l’on pose P (T)= det(1− (F )T)pour 0 ≤ i ≤ 2n,les P sont des polynomeˆ s de coefficienti ii
i ¯constant 1 et de degr´es dim H (X,K)telsque:K
P (T)...P (T)1 2n−1Z (T)=X
P (T)...P (T)0 2n
ce qui d´emontre bien que Z (T)est une fraction rationnelle dont la forme ressemble beaucoupX
a` celle escompt´ee. N´eanmoins, sans information suppl´ementaire sur la cohomologie ainsi utilis´ee,
on ne peut pas affirmer que les P soit `acoefficients entiers (on sait seulement qu’ils sont dansi
K[X]), ni qu’ils sont pr´ecis´ement les polynˆ omes pr´evus par l’hypoth`ese de Riemann. Si ce sont
bien les polynomˆ es attendus, cependant, la propri´et´ede comparaison pour notre cohomologie
montre imm´ediatement que l’interpr´etation topologique est ´egalement v´erifi´ee.
En supposant toujours que les P sont bien les polynomˆ es attendus, on peut d´eduire l’´equationi
fonctionnelle de la dualit´edePoincar´eet d’une autre propri´et´e(qui est cons´equence formelle
d’autres hypoth`eses plus techniques sur une cohomologie Weil) selon laquelle l’endomorphisme
∗ 2n n¯F induit par F sur l’espace de dimension 1 H (X,K)est la multiplication par q .Notons2n
nque cette propri´et´eassure alors que P (T)=1− q T,comme on l’attend. On aura besoin du2n
lemme suivant.
Lemme 2 Soit V , W deux K-espaces vectoriels munis d’une forme bilin´eaire non-d´eg´en´er´ee
V ×W → K.Onsuppose donn´es des endomorphismes ϕ : V → V et ψ : W → W,etun´el´ement
∗λ de K tels que, pour tout (v,w)∈ V × W :
ϕv, ψw = λv,w
7Alors, si l’on note r=dim V,ilvient:K
r r r r(−1) λ T λ
det(1− ψT)= det(1− ϕ/λT) et det ψ =
det ϕ det ϕ
∗D´ emonstration. La forme bilin´eaire non-d´eg´en´er´ee fournit un isomorphisme Φ : V→˜ W ,
v,w=Φ(v)(w). En particulier, V et W ont mˆeme dimension. L’hypoth`ese s’´ecrit alors:
tψ◦ Φ◦ ϕ = λΦ
En particulier, ϕ est inversible, et l’on a encore :
t −1 −1ψ =Φ(λϕ )Φ
La deuxi`eme relation annonc´ee en r´esulte imm´ediatement. Par ailleurs, on peut ´ecrire :
r r rdet(ϕ− λT) (−1) λ T−1det(1− ψT)=det(1− λϕ T)= = det(1− ϕ/λT)
detϕ detϕ
ce qui conclut la d´emonstration.

i i¯Notons alors B =dim H (X,K)pour tout i,et χ = (−1) B.La dualit´edePoincar´ei K i
i 2n−i ∗¯ ¯permet d’appliquer le lemme pr´ec´edent avec V = H (X,K), W = H (X,K), ϕ = F eti
∗ 2n n n¯ψ = F .Comme F agit sur H (X,K)parmultiplication par q ,onaainsi λ = q ,etdonc:2n−i

B nB Bi i i(−1) q T 1
P (T)= P2n−i i∗ ndetF q T
i
En effectuant le produit altern´edes relationspr´ec´edentes (en ´elevant la relation i `alapuissance
i+1(−1) ), on obtient donc :
1 i−χ −nχ −χ ∗ (−1)Z (T)=(−1) q T αZ avec α = (det F )X X inq T
∗ ∗ nBiOr la deuxi`eme relation du lemme pr´ec´edent donne (det F )(detF )= q ,soiteneffectuanti 2n−i
2 nχ nχ/2le produit altern´e, α = q .Ona donc α =±q ,et l’´equation fonctionnelle en r´esulte:

1 nχ/2 χZ =±q T Z (T)X Xnq T
2Th´eor`eme de Riemann-Roch et conjectures de Weil pour les
courbes
2.1 Corps de fonctions des courbes alg´ebriques
rSoit X ⊂ P une vari´et´eprojective non-singuli`ere irr´eductible d´efinie sur un corps (parfait)
¯k,et soit k une clotuˆ re alg´ebrique de k.Un polynomeˆ homog`ene R ∈ k[X ,...,X ]est ditnul0 r
¯sur X si pour tout x∈ X(k), R(x)=0 (relationqui ne d´ependpas de la famille de coordonn´ees
homog`enes choisie pour x). On appelle alors corps de fonctions de X le corps k(X)form´eparles
quotients R/S de polynˆ omes homog`enes de mˆeme degr´eavec S non nul sur X,etou` l’on identifie
R /S et R /S lorsque (R S − S R )est nulsur X.On dit de plus que X est une courbe si1 1 2 2 1 2 1 2
k(X)est de degr´edetranscendance 1 sur k, i.e., s’il existe un ´el´ement f ∈ k(X)transcendant
¯sur k tel que l’extension k(X)/k(f)soitalg´ebrique. Par d´efinition, on a clairement k(X)∩k = k,
donc tout ´el´ement f ∈ k(X)qui n’est pas dans k convient alors.
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¯Soit alors X une courbe sur k.On d´efinit de mani`ere ´evidente k(X), et pour tout point
¯ ¯x ∈ X(k), on d´efinit l’anneau local de X en x comme ´etant lesous-anneau O de k(X)form´ex
¯des quotients R/S de polynˆ omes homog`enes de mˆeme degr´esur k avec S(x) =0. On peut
5montrer alors que O aun unique id´eal premier non nul m ,et qu’il est principal. On peutx x
nalors d´efinir la valuation ord en x par ord (f)=max {f ∈ m } pour tout f∈O non nul. Onx x n xx
¯peut ´etendre cette valuation au corps des fractions de O ,qui est´evidemment k(X), en posantx
¯ord (f/g)= ord (f)− ord (g). On ditque f ∈ k(X)a un z´ero (resp. un poleˆ ) en x lorsquex x x
ord (f) > 0(resp. < 0). On montrequ’une fonction donn´ee n’a de z´eros et de pˆ oles qu’en unx
¯nombre fini de points, et qu’une fonction qui n’a aucun poleˆ est constante (i.e. ´el´ement de k).
¯On appelle groupes des k-diviseurs de X le groupe ab´elien libre Div¯(X)engendr´epar lesk ¯ ¯points de X sur k.On appelle degr´ed’un k-diviseur D = n x l’entier deg D = n .Parx xx
∗¯ ¯ailleurs, la remarque pr´ec´edente montre que pour toute fonction f ∈ k(X) ,on d´efinit un k-
diviseur (f)enposant:
(f)= ord (f)xx
x
∗¯Comme ord (fg)=ord (f)+ord (g), f → (f)estunmorphisme de groupes k(X) → Div (X).¯x x x k
∗¯Son noyau est k .Une propri´et´eessentielle (qui n’est vraie que parce que l’on travaille avec des
¯courbes projectives) est en outre que pour tout f ∈ k(X), deg(f)=0.
¯Soit G =Gal(k/k)le groupedeGalois de k. G agit naturellement, comme on l’a vu, sur
¯ ¯X(k), et donc sur Div¯(X). Les k-diviseurs invariants par l’action de G forment alors exactementk
le sous-groupe ab´elien libre engendr´epar les places de X.Ce sous-groupe sera appel´egroupe
des diviseurs de X et not´esimplement Div(X). Le degr´ed´efinit par restriction un morphisme
Div(X)→ Z,et ledegr´ed’une placeen cesenscoıncide bien avec son cardinal, conform´ement `a¨
la d´efinition donn´ee au 1.1.
G¯ ¯D’autre part, G agit sur les polynomeˆ s homog`enes, donc sur k(X), et l’on a k(X) = k(X).
∗ σ¯ ¯ σDe plus, pourtout σ∈ G, x∈ X(k)et f ∈ k(X) ,ord (f )=ord (f), et par cons´equent :x x

σ σ σ σ σ σ
σ(f )= ord (f )x = ord (f )x = ord (f)x =(f)x x x
x x x
∗En particulier, pour tout f ∈ k(X) ,on a bien f ∈ Div(X). On dit enfin que deux diviseurs D
et D de X sont lin´eairement ´equivalents lorsqu’il existe f ∈ k(X)telle que D− D =(f).

Le groupe Div(X)est partiellement ordonn´epar la relation n p ≥0si etseulement si
´tous les n sont positifs. Un diviseur D≥0est ditpositif (ou effectif). Etant donn´e D∈ Div(X)
quelconque, onappelle s´erie lin´eaire d´efinie par D l’ensemble:
∗L(D)={f ∈ k(X) / (f)+ D≥ 0}∪{0}
D’apr`es les propri´et´es des valuations, L(D)est un espace vectoriel sur k.On montre qu’il est
de dimension finie. Soit (D)sa dimension.Le th´eor`eme fondamental de la th´eorie des courbes
6alg´ebriques est alors le suivant.
Th´eor`eme 1 (Riemann-Roch) Soit X une courbe alg´ebrique sur k.Ilexisteunentier g≥ 0,
appel´e genre de X,etun diviseur K ∈ Div(X) de degr´e 2g − 2,tels que pour tout diviseur
D∈ Div(X),on ait la relation:
(D)= (K− D)+deg(D)+1− g
5. La r´ef´erence de tout ce qui suit en mati`ere deth´eorie des courbes alg´ebriques est le bel expos´equ’en donne
Silverman dans [Sil86], ch. II, en pr´elude `al’´etude descourbes elliptiques. On a ´egalement puis´eavec profit dans
la pr´esentation de Serre dans [Ser59].
6. Je n’ai trouv´ele th´eor`eme de Riemann-Roch ´enonc´esous cette forme (et sans d´emonstration) que dans
[Kat76] et [Vol01]. Dans mes autres r´ef´erences, il n’est ´enonc´eque dans le cas d’un corps de base alg´ebriquement
clos. J’ai confiance en la justesse de cette formulation, d’autant que P. Samuel donne dans [Sam63] la preuve d’un
r´esultat tr`es analgue dans le langage des valuations, mais je ne sais pas la d´emontrer.
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2.2 Conjectures de Weil pour les courbes
Soit k un corps fini, q son cardinal, et X une courbe de genre g sur k.On vamontrer
la rationalit´ede Z (T)ainsi que l’´equation fonctionnelle sous r´eserve que les polynˆ omes quiX
interviennent dans la d´ecomposition soient bien ceux qu’impose l’hypoth`ese de Riemann. La
pr´esentation est emprunt´ee au chapitre 2 du cours de Katz [Kat74].
On veut en fait exprimer la fonction zˆeta de faco¸ n `apouvoir appliquer le seul r´esultat de
« structure» dont on dispose ici sur les courbes, as` avoirle th´eor`eme de Riemann-Roch. Pour
cela, on commenceparremarquer que si l’on d´eveloppe l’expression en produit infini de Z (T),X
on obtient une somme sur les diviseurs positifs:

deg −1 deg n degDZ (T)= (1− T ) = T = TX
n=0 D≥0
En particulier, il n’y a qu’un nombre fini e de diviseurs positifs de degr´e n pour tout n,et l’onn∞ na Z (T)= e T .X nn=0
nNotons Div (X) l’ensemble des diviseurs (positifs ou non) de degr´e n sur X.Comme deux
diviseurs lin´eairement ´equivalents ont mˆeme degr´e, l’´equivalence lin´eaire d´efinit bien une rela-
n n ¯tion d’´equivalence sur Div (X). On note Pic (X) l’ensemble quotient, et D → D la surjection
ncanonique. Soit alors D∈ Div (X)un diviseur quelconque. Par d´efinition de L(D), les diviseurs
positifs ´equivalents `a D sont exactement ceux de la forme D +(f)avec f ∈ L(D)−{0}.De
∗plus, D +(f)et D+(g)sont ´egaux si et seulement si f/g ∈ k .Par cons´equent, l’ensemble
des diviseurs positifs ´equivalents `a D est en bijection avec l’ensemble des droites du k-espace
(D)vectoriel L(D), donc de cardinal (q − 1)/(q− 1). On peut donc ´ecrire:
(D) q − 1
e =n
q− 1
n¯D∈Pic (X)
nSi n> 2g− 2, le th´eor`eme de Riemann-Roch donne (D)= n+1− g pour tout D ∈ Pic ,et
l’expression pr´ec´edente devient :
n+1−gq − 1 ne = | Pic (X)|n
q− 1
net en particulier, Pic (X)est fini. On va voir qu’en fait, son cardinal de d´epend pas de n.
Le degr´ed´efinit un morphisme du groupe Div(X)dans Z.Ce morphisme est non nul (la
¯place engendr´ee par un point quelconque de X(k)est de degr´e ≥ 1), donc il existe d ≥ 1tel
que Im(deg) = dZ.Soit D un diviseur de degr´e d.Alors l’addition de D induit une bijection
n n+dDiv (X) → Div (X)pour tout n ∈ Z,etcette bijection est compatible avec l’´equivalence
n n+dlin´eaire, donc par passage au quotient, on en d´eduit une bijection Pic (X) → Pic (X)pour
ntout n∈ Z.Puisque Pic (X)est fini pour n assez grand, il est donc fini pour tout n et ainsi, si
0 d ∗l’on pose h =| Pic (X)| =| Pic (X)|∈ N :

h si d|nn| Pic (X)| =
0sinon
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