LES DEMONSTRATIONS EN ARITHMETIQUE

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23 LES DEMONSTRATIONS EN ARITHMETIQUE : A propos de quelques preuves historiques du petit Théorème de Fermat Martine BÜHLER, Anne MICHEL-PAJUS Irem Paris 7 / Projet INRP REPERES - IREM. N° 71 - avril 2008 Ce retour s'accompagne d'une évolution notable, où est souligné l'intérêt d'une démarche expérimentale et plus généralement de la multiplicité des approches. Les textes histo- riques fournissent des exemples de cette diver- sité des points de vue.
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REPERES - IREM. N° 71 - avril 2008
LES DEMONSTRATIONS
EN ARITHMETIQUE :
A propos de quelques
preuves historiques du
petit Théorème de Fermat
Martine BÜHLER, Anne MICHEL-PAJUS
Irem Paris 7 / Projet INRP
Un des aspects intéressants de l’arith- Ce retour s’accompagne d’une évolution
métique est que, sans avoir besoin d’un arse- notable, où est souligné l’intérêt d’une démarche
nal théorique important, on peut y faire de véri- expérimentale et plus généralement de la
tables démonstrations mathématiques, multiplicité des approches. Les textes histo-
s’appuyant sur des raisonnements d’une cer- riques fournissent des exemples de cette diver-
taine finesse. sité des points de vue. Il se trouve aussi que
certains enseignants n’ont jamais étudié
On y travaille sur des objets familiers : d’arithmétique au Lycée, et ne l’ont vue qu’en
les entiers. On y tient des raisonnements Théorie des nombres à l’Université, un point
multiples et complexes ; on y obtient des de vue fort éloigné de l’enseignement requis.
résultats non triviaux mais faciles à com- L’analyse des preuves historiques nous semble
prendre, qu’on peut tester ou découvrir par une bonne approche pour un approfondisse-
expérimentation. L’arithmétique, présente ment de la réflexion.
dans les programmes de Terminale C de
1971, avait disparu au début des années Nous donnons au §1 les outils d’analyse
quatre-vingts pour vingt ans et est revenue que nous avons élaborés. Des preuves histo-
tant dans les programmes de collège (algorithme riques du théorème de Fermat sont présen-
d’Euclide) que dans le programme de la spé- tées au §2. Le §3 contient des commentaires
cialité « mathématiques » en Première et et des compléments historiques, et le §4 des
Terminale L, et Terminale S. exemples de textes destinés aux élèves.
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I. Les outils de démonstration premiers entre eux si et seulement s’il exis-
et les démarches dans les manuels te des entiers u et v tels que au + bv = 1 ». Ce
de Terminale S résultat est plus fort que le théorème fonda-
mental.
I.1. Le Théorème
fondamental de divisibilité Les manuels explorent plusieurs types de
démarches pour présenter ces résultats. La plu-
L’arsenal théorique, au-delà des pro- part commencent par démontrer le théorème
priétés élémentaires de divisibilité (par de Bachet-Bézout, soit par une procédure
exemple, si un entier a divise à la fois b et c, algorithmique permettant le calcul effectif
alors a divise la somme b + c) et de l’algorithme des nombres u et v et utilisant l’algorithme
d’Euclide, se réduit à un seul résultat fonda- d’Euclide, soit par un raisonnement plus abs-
mental, qu’on retrouve sous diverses formes trait (dont nous verrons des exemples plus loin).
équivalentes au cours de l’histoire, et que On en déduit ensuite le théorème de Gauss.
nous nommerons : théorème fondamental de
divisibilité. Un manuel s’intéresse d’abord aux pro-
priétés du PGCD et en tire les théorèmes de•« Proposition 32 d’Euclide » dite « Lemme
Bachet-Bézout et Gauss de manière indé-d’Euclide » : si un nombre premier divise un
pendante.produit, alors il divise l’un des facteurs du pro-
1duit . On le rencontre aussi sous sa forme contra-
Les démarches sont assez diversifiéesposée : si un nombre premier p ne divise ni a
selon les manuels. Souvent le théorème deni b, alors il ne divise pas le produit ab.
Bachet-Bézout y apparaît essentiel et, effec-
•« Proposition 26 d’Euclide » : si deux tivement, il jouera un rôle important dans le
nombres a et b sont premiers avec c, le pro- développement ultérieur de l’algèbre. Mais ce
duit ab sera aussi premier avec c. n’est pas le cas dans la période que nous étu-
•« Théorème de Gauss » : si un nombre divi- dions ici, pour laquelle nous verrons que ce qui
se un produit et est premier avec l’un des apparaît essentiel est le lemme d’Euclide ou
facteurs du produit, alors il divise l’autre. le théorème de Gauss.
•« Théorème fondamental de l’Arithmé-
I.2. Méthodestique » : la décomposition d’un nombre entier
en produit de facteurs premiers est unique.
Nous avons aussi essayé de classer lesNotons que le théorème fondamental renvoie
méthodes que nous avons rencontrées danssouvent aussi à l’existence de la décomposi-
les démonstrations arithmétiques étudiées.tion, qui n’est pas concernée ici.
On les comprendra mieux à la lecture des
textes, et nous les commenterons. Elles sontLe programme de Terminale S « spécia-
de deux types.lité mathématiques » y ajoute le théorème
de Bachet-Bézout : « deux entiers a et b sont
I.2.1 Méthodes de tiroirs
1 La numérotation est celle de la traduction des Eléments •« Principe des tiroirs » : Utilisation d’un
de Peyrard [2]. Les propositions 26 et 32 dont il est ques- nombre fini de tiroirs pour ranger des objets
tion ici figurent dans le livre VII.
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en nombre strictement supérieur : il y a Il est énoncé sans démonstration par Fer-
donc au moins un tiroir contenant au moins mat dans sa correspondance (en particulier dans
deux objets. Ce résultat s’appelle « princi- la lettre à Frénicle du 18 octobre 1640). On
pe des tiroirs » (pigeonholes) ou « principe en trouve une démonstration (publiée seule-
2de Dirichlet ». ment en1863) dans les manuscrits de Leibniz.
•« Disjonction des cas » : Partition des
II.1 EULER (1ère forme),situations étudiées en un nombre fini de cas
LEGENDRE et GAUSSqu’on examine exhaustivement. C’est la métho-
de de « disjonction des cas ».
La première démonstration publiée, en
•« Mise en bijection » : Mise en bijection de 1736, est due à Euler. Celui-ci reprend la même
deux ensembles finis de même cardinal. idée en 1747, idée qu’on retrouve chez
Legendre en 1798 [6]. Euler utilise le déve-
I.2.2 Méthodes d’escalier loppement du binôme, une récurrence for-
malisée et le lemme d’Euclide. L’esprit de la
•« Descente finie » : Descente finie jusqu’à démonstration est expliqué de façon conci-
un entier convenable fournissant la conclusion se par Gauss dans ses Recherches Arithmé-
soit directement soit par l’absurde. tiques en 1801 [5].
•« Descente infinie » : Descente qui porte
en elle-même sa contradiction parce qu’elle Commençons par le texte de Legendre (voir
construit une suite infinie strictement décrois- page suivante).
sante d’entiers positifs. C’est la « méthode de
descente infinie » de Fermat. II.1.1 LEGENDRE
•« Raisonnement par récurrence »
L’outil de départ est le développement
•« méthode du plus petit élément » : Rai- du binôme.
sonnement utilisant le plus petit élément
d’une partie non vide de N. Le lemme d’Euclide intervient dans le
résultat sur la divisibilité des coefficients du
binôme par l’entier premier p. Legendre
II. Quelques démonstrations démontre au début de son ouvrage le lemme
historiques du Petit d’Euclide, mais n’énonce jamais ni le théorè-
Théorème de Fermat me de Gauss, ni le théorème fondamental de
l’arithmétique (existence et unicité de la
On rencontre ce théorème sous deux décomposition en produit de facteurs pre-
formes équivalentes : miers).
Pour conclure, Legendre utilise une des-
« Soit un nombre premier p et un entier a
cente finie jusqu’à l’entier convenable 0.p – 1non divisible par p, alors p divise a – 1 »
«p et un entier
2 Leibnizens Math. Schriften, herausgegeben von G.J.
pquelconque a, alors p divise a – a » Gerhardt, VII, 1863, 180-1 « nova algebrae promotio ». Tra-
duite et commentée dans Mnémosyne 19.
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II.1.2 EULER II.1.3 GAUSS
Dans la preuve d’origine, Euler utilise Nous avons une troisième formulation
aussi la formule du binôme et le Lemme de cette preuve, résumée par Gauss dans ses
d’Euclide, mais comme il n’utilise pas l’« omis- Recherches Arithmétiques en 1801 [4]. Elle
sion des multiples de c », la preuve est beau- est très proche de celle d’Euler. Notons qu’il
coup plus longue. Pour la fin de la démons- n’explique pas la première partie de la preu-
tration, il utilise une autre méthode que celle ve, mais détaille l’induction.
de Legendre :
corollaire 2
1. C’est pourquoi, si on suppose que l’expres-
paa−sion est divisible par p, l’expression
p()aa+−11− est aussi divisible par p, de
la même manière sous la même hypothèse cette
p()aa+22−−formule et de là en conti-
p+33−−()nuant etc. et généralement
pcc− seront divisibles par p.
II.2 TANNERY
théorème 3 On trouve une très jolie démonstration dans
2. Si p est un nombre premier, tout nombre les conférences de Jules Tannery à l’Ecole
p Normale Supérieure en 1894 [1] Elle reposecc−de la forme sera divisible par p.
sur la méthode de mise en bijection :
démonstration
Dans le cas où m est un nombre premier
p
Si […] on pose a = 1, comme aa−= 0 p, chaque nombre non divisible par p est
est divisible par p, il s’ensuit que ces formules premier à ce nombre : si donc dans l’expres-
pp p sion ax où a n’est pas divisible par p on sub-33− 44−également , 22− , etc.
stitue p –1 nombres x incongrus entre euxpcc−et généralement celle-ci seront divi- et à 0 (mod.p), on obtiendra p – 1 nombres
sibles par le nombre premier p. C.Q.F.D.
x , x ,...xcongrus à ces mêmes nombres 1 2 p−1
rangés dans un autre ordre ; le produit des
ax , ax ,...axnombres est donc congru1 2 p −1C’est une récurrence, que nous abrègerions
x x ...x(mod p) au produit , et comme le1 2 p −1peut-être aujourd’hui. Mais comme cette
dernier produit est premier à p, on en conclutméthode n’était pas vraiment entrée dans les
p−1mœurs, Euler donne plus d’exemples que a −1 …≡ 0 (mod p).
nécessaire — ce que nous faisons parfois avec
C’est le célèbre théorème de Fermat, qui nos élèves !
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II.3 EULER (2ème forme) et GAUSS
joue, dans la théorie des nombres, un rôle
essentiel et dont nous rencontrerons inci- En 1758 [3], Euler publie une démons-
demment d’autres démonstrations ; obser- tration du théorème de Fermat totalement
vons qu’on en déduit immédiatement la pro- différente, qui apparaît a priori plus longue
position suivante : quel que soit le nombre entier et complexe, que nous détaillerons ci-dessous.
p−1 Euler y utilise une classification des puis-a et le nombre premier p, on a a −1 …≡ 0
sances de l’entier a selon leurs restes dans
(mod p).
la division par le nombre premier p. La
méthode consiste en des partitions en des
nombres finis de tiroirs jusqu’à épuisement
Cette démonstration figure dans le de l’ensemble considéré, couplée à l’utilisa-
tion du plus petit élément d’une partie nondocument d’accompagnement des pro-
grammes de Terminale S et dans certains vide de N. Le théorème de base reste le
manuels. Notons l’emploi du mot « incon- lemme d’Euclide.
grus » pour deux nombres qui ne sont pas
congrus modulo p. C’est cette démonstration que Gauss
reprend dans ses Recherches Arithmétiques en
La preuve repose sur une méthode de 1801, mais avec un allègement dû au langa-
bijection. Elle révèle la puissance du Princi- ge des congruences, et l’utilisation du « théo-
pe de Dirichlet, un principe qui apparaît si évi- rème de Gauss » qu’il démontre dans ce même
dent, et qui est utilisé ici sous son avatar de ouvrage.
principe de bijection entre deux ensembles de
même cardinal. Cette méthode évite tout Pourquoi ce choix d’une démonstration a
recours à l’infini et la récurrence. priori plus compliquée ?
Le théorème Fondamental de divisibi- Gauss reprend l’explication donnée par
Euler lui-même : « le développement de lalité sert à montrer que ax,,ax ...,ax12 p −1
puissance d’un binôme semble étranger à lasont tous différents et différents de 0
théorie des nombres ». La nouvelle démonstration(mod p). Mais les règles de congruences évi-
respecte ainsi la « pureté de l’arithmétique ». tent son explicitation.
Reprenons cette démonstration : avantLa démonstration de Tannery est
d’aborder la démonstration du théorème pro-séduisante et élégante, par sa brièveté et
prement dit, Euler explore les puissances dela façon magistrale dont elle utilise les
7 modulo 641 :congruences. Son utilisation en classe,
même si elle nécessite plus des six lignes
« Voici donc une méthode assez rapide pourde Tannery pour la faire comprendre à nos
trouver les restes qui proviennent de laélèves de terminale, présente l’avantage
division d’une puissance quelconque parqu’on peut appréhender cette démons-
un nombre quelconque. Par exemple si noustration dans sa totalité, sans avoir oublié
voulons chercher le reste qui provient de laà la fin de nos efforts les prémisses et le
160division de 7 par le nombre 641 :cheminement.
28µ
µ
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dans la division par p étant fini égal à (p – 1),En effet puisque la premiè-Puissances Restes
λ µ re puissance 7 donne le reste il existe des puissances a et a , avec λ < µ,
1 2 3 47 7 7 les puissances 7 ,7 ,7 présentant le même reste dans la division
donnent 49,343, et 478, c’est-2 par p. Donc le nombre premier p divise7 49
à-dire –163, dont le carré µ λ µ−λ λa – a = a (a – 1) . Comme p premier ne
8 23 7 donne le reste 163 c’est-7 343 µ−λ λdivise pas a , p divise a – 1, et le reste deà-dire 288, et le carré de
4 λ7 478 16 la division de a par p est bien 1.celui-ci 7 donne le reste
2288 , c’est-à-dire 255. De87 288
32même la puissance 7 donne On considère alors le plus petit entier λ
216 le reste 255 c’est-à-dire7 255 strictement positif ayant cette propriété (le reste
284 et le reste de la puissance λ de la division de a par p est 1) ; alors les λ327 284 64 1287 sera –110 et pour 7 2 3 λ − 1puissances 1, a, a , a , … , a ont toutes2il vient 110 c’est-à-dire 647 – 110 des restes différents (non nuls) dans la divi-–79, reste qui multiplié par
128 sion par p, sinon le raisonnement précédent7 – 79 284 donnera le reste de
128 + 32 160 donnerait un entier λ’ plus petit que λ tel7 = 7 qui sera 640
1607 – 1 λ ’c’est-à-dire –1 . que p divise a – 1 , ce qui est exclu. Si on obtient
ainsi exactement les (p – 1) restes possibles
160Nous savions donc que, si la puissance 7 non nuls modulo p, alors λ = p – 1 et le théo-
était divisée par 641, le reste était 640 c’est- rème est démontré.
à-dire –1 , d’où nous concluons que le reste de
320 la puissance 7 est +1. Donc en général le
Sinon, soit r un des restes non nuls qui
160nreste de la puissance 7 divisée par 641 n’a pas été obtenu . Notons que r est premier
sera, soit +1 si n est un nombre pair, soit –1, à p. On considère les λ nombres
3si n est un nombre impair. »
23 λ −1rr,,a ra,,ra ...,ra ; ces nombres ont tous
Après cette expérimentation sur des puis- des restes différents dans la division par p (sinon
sances particulières, Euler reprend son explo- ν µν −ra−=ra ra ()a− 1pdiviserait et donc
ration dans le cas général. Rappelons que, étant
µ µ νa − 1 avec µ < λ). De même, ra et a ne peu-donnés un nombre premier p et un nombre a
vent pas avoir le même reste sinon p divise-non divisible par p, il s’agit de montrer que le
p – 1 νµ −reste de la division de a par p est 1. L’idée rait ra− ce qui est contradictoire avec le
développée par Euler est de « classer » les puis- fait que r n’a pas été obtenu comme reste
sances de a selon les (p – 1) restes non nuls dans la division d’une puissance de a par p.
possibles modulo p. Nous résumons ci-dessous En ajoutant ces restes aux précédents, nous
les étapes de la démonstration. obtenons ainsi 2λ restes non nuls différents
modulo p ; si nous les avons tous, alors
Euler commence par montrer qu’il exis- (p – 1) = 2λ .
te des puissances de a dont le reste est 1 : en
2 3 4 effet, la suite a, a , a , a , … étant infinie Sinon, on considère un reste s non enco-
et le nombre de restes non nuls possibles
23re obtenu et les nombres ss,,asa,sa ,
3 Ce texte a été utilisé pour un devoir à la maison donné λ −1,...,saà des élèves « spécialistes » de Terminale S, assez tôt dans . On montre de même que tous ces
l’année, bien avant d’aborder le théorème de Fermat. Le nombres ont des restes différents entre eux
texte de cet exercice se trouve au paragraphe IV.
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et différents des restes obtenus précédem- II.4 FERMAT
ment. Si on a obtenu tous les restes non nuls
possibles, alors p –1=3λ . C’est d’ailleurs bien en termes de puissances
que Fermat avait énoncé son théorème dans
Sinon, on continue… Le nombre de restes sa lettre à Frénicle du 18 octobre 1640 :
étant fini, le procédé doit s’arrêter . Quand on
a obtenu tous les restes possibles, le même rai- 4. Il me semble après cela qu’il importe de
vous dire le fondement sur lequel j’appuiesonnement prouve qu’il existe un entier t tel
les démonstrations de tout ce qui concerneque : p – 1 = tλ .
les progressions géométriques, qui est tel :
p −1 tλ λ t 4Tout nombre premier mesure infailli-Alors , a −1 = a − 1 = (a ) − 1or
blement une des puissances moins 1 det
x − 1 est divisible par x – 1 pour tout entier quelque progression que ce soit, et l’exposant
tt−−12t de la dite puissance est sous multiple dux, car xx−=11()−(x +x + ...+x+1).
nombre premier –1 ; et après qu’on a trou-p −1 λa − 1Donc est divisible par a − 1. Comme vé la première puissance qui satisfait à la
λ p −1a − 1 a − 1 question, toutes celles dont les exposants sontpdivise , p divise aussi et le
multiples de l’exposant de la première satis-théorème est démontré.
font tout de même à la question.
Ce raisonnement, en termes modernes, Exemple : soit la progression donnée
revient à faire une partition du groupe
1 2 3 4 5 6multiplicatif (Z/pZ)* formée des classes
3 9 27 81 243 729d’équivalences selon le sous-groupe cyclique
engendré par a. Ce type d’idée permet de etc. avec ses exposants en dessus.
démontrer le théorème de Lagrange : l’ordre
Prenez, par exemple, le nombre premierd’un sous-groupe d’un groupe fini divise
13. Il mesure la troisième puissance moinsl’ordre de ce groupe.
1, de laquelle 3, exposant, est sous-mul-
tiple de 12, qui est moindre de l’unité queMais l’intérêt de cette démonstration
le nombre 13, et parce que l’exposant de 729,n’est pas seulement d’ouvrir la voie à des
qui est 6, est multiple du premier expo-développements ultérieurs ; malgré sa com-
sant, qui est 3, il s’ensuit que 13 mesure aussiplexité, elle apparaît aussi comme relativement
la dite puissance 729 – 1.
naturelle et résultant d’une exploration expé-
rimentale des puissances d’un nombre. Et cette proposition est généralement vraie
en toutes progressions et en tous nombres
premiers ; de quoi je vous envoierois laEn effet, la démonstration de Tannery, si
démonstration, si je n’appréhendois d’êtreconvaincante et élégante, ne donne pas les rai-
trop long.sons profondes de notre théorème. En ce sens,
le détour par la démonstration d’Euler, repri-
se par Gauss, étudiant dans le détail le com- Il s’agit bien là semble-t-il de travailler
sur les puissances d’un entier. Et le résultatportement des puissances d’un entier modu-
lo p, est plus éclairante.
4 « mesure » signifie « divise ».
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est plus précis que celui généralement appe- De fait, Gauss ne fut pas le premier à
lé « théorème de Fermat », puisqu’on s’inté- publier le théorème de Gauss. Nous le trou-
resse au plus petit entier λ tel que le nombre vons dans Les Nouveaux Elements de Mathe-
λ matiques de Jean Prestet, 2éme édition, 1689.premier p divise a – 1. On aimerait connaître
Ce livre suscita peu d’intérêt car les mathé-le cheminement de la pensée de Fermat, pour
maticiens de l’époque s’intéressaient plus àen arriver à ce qu’il appelle « le fondement sur
lequel j’appuie les démonstrations de tout ce l’ « Analyse Infinitésimale » qu’à l’ « Analyse
finie ».qui concerne les progressions géométriques »
Quoi qu’il en soit, Gauss commença àTous les auteurs insistent sur l’impor-
travailler le sujet dès 1795 « sans aucunetance du théorème de Fermat et Euler se glo-
rifie d’en donner la première démonstration idée de tout ce qui avait été fait sur le sujet »,
comme il l’explique dans sa préface. Il com-en 1736. Le théorème de Fermat intervient de
mence (Section I) par établir la théorie desmanière essentielle dans la recherche de la forme
congruences, puis (Section II) le théorèmedes diviseurs des nombres de Mersenne
n de Gauss, démontré par la méthode du plus2n (2 – 1) et de Fermat (21 + ), ainsi que pour
petit élément et une preuve par l’absurde. Il
d’autres problèmes comme la décomposition explique pourquoi il démontre ce théorème :
de nombres entiers en somme de carrés. Il exis- « La démonstration de ce théorème a déjà été
te également des réciproques partielles de ce
donnée par Euclide El.VII,32. Nous n’avons
théorème donnant des tests de primalité.
pas cependant voulu l’omettre, tant parce
Ainsi l’étude expérimentale des puissances d’un
que plusieurs auteurs modernes ont présen-
entier amène à la découverte, puis la démons- té des raisonnements vagues au lieu de
tration d’un théorème intervenant dans démonstration, ou bien ont négligé ce théo-
diverses questions, dont certaines se révè-
rème ; que dans le but de faire mieux saisir,
lent actuellement primordiales : la primali-
dans ce cas très simple, l’esprit de la métho-
té et le théorème lui-même étant à la base des
de que nous appliquerons par la suite à des
méthodes modernes de cryptographie comme points bien difficiles. »
le système R.S.A..
Gauss prouve ensuite l’unicité de la
décomposition en nombres premiers. Il étu-
III Commentaires et compléments
die les restes des puissances dans la Section
III (où nous trouvons la preuve du petit Théo-
rème de Fermat).
III.1 Sur le théorème de Gauss
et le calcul des congruences
Gauss avait construit tous les outils, mais
ce n’est sans doute pas un hasard s’il a fallu
Il est bien connu que l’ouvrage de Gauss près d’un siècle après la publication du livre
a joué un rôle central dans le développement de Gauss pour qu’apparaisse une démons-
de l’arithmétique. Euler et Legendre suivent
tration comme celle de Tannery, aussi brève
la tradition euclidienne, même si Legendre
que percutante. Il a fallu tout ce temps pour
donne une nouvelle preuve du Lemme d’Eucli-
que la théorie des congruences, utilisée impli-
de dans sa Théorie des Nombres ( 1798). citement par Legendre en 1798, puis forma-
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lisée par Gauss en 1801, soit complètement donne immédiatement le résultat : x’ et y’
dominée. sont entiers si et seulement si y est congru à
4 modulo 5.
Pour les professeurs, il est utile de prou-
ver l’équivalence logique des différentes formes La méthode de mise en bijection est éga-
du théorème de divisibilité. lement très utile lorsqu’on travaille modulo
p. Lorsqu’on a p nombres distincts deux à
Le programme de Terminale S inclut le
deux strictement inférieurs à p xx,,...,x{}01 p −1théorème de Bachet-Bézout. Ce dernier est plus
alors cela signifie que l’on a les p restes pos-fort que notre théorème fondamental de divi-
sibles dans la division par p, à l’ordre près,sibilité. Son principe est donné par Bachet dans
ses “Problèmes plaisants et délectables”(1624), 01,,..., p −1{} .
et repris par Bézout dans son “ Cours d’Algèbre”
(1766). Toutefois, nous ne l’avons pas ren- La diversité des méthodes d’escalier méri-
5contré chez les auteurs étudiés. te un examen plus approfondi. Nous pouvons
nous demander, sur le plan historique et épis-
III.2 Sur les méthodes témologique, pourquoi les mathématiciens
utilisent l’une ou l’autre.
La méthode de Dirichlet repose sur un
concept que les élèves admettent sans diffi- L’origine de la méthode par récurrence est
cultés, mais ne pensent pas à utiliser d’eux- généralement attribuée à Pascal (même si
mêmes. Nous pouvons leur montrer qu’elle per- on la rencontre avant, chez Maurolycus, par
met de démontrer des résultats non triviaux. exemple). Toutefois son utilisation n’est pas
La disjonction des cas est très utile quand on encore naturelle à l’époque d’Euler, et même
travaille modulo un entier. Quand les élèves de Gauss. Cette méthode est au programme
l’ont bien comprise, ils l’apprécient beaucoup en secondaire actuellement, et l’on comprend
et l’utilisent spontanément pour résoudre des pourquoi elle n’est pas si facile pour les élèves.
exercices.
Fermat préfère sa méthode de descente
Par exemple, l’exercice de baccalauréat de
infinie bien qu’elle soit fortement critiquée par
Juin 2005 en Inde demandait de déterminer
Wallis et d’autres. Plus tard, Euler et Gauss,
4y + 4 bien qu’ils lisent Fermat très attentivement,–––––les nombres y tels que les nombres x’ =
5 ne la reprennent pas. La méthode de des-
cente finie évite le recours à l’infini, souvent2– 3y
–––––et y’ = soient des entiers. On peut au prix d’un raisonnement par l’absurde (ce
5
n’est pas le cas dans la démonstration de
faire une disjonction des cas modulo 5. Le Legendre). Notons que cette méthode se tra-
tableau suivant : duit directement en algorithme.
y mod5 0 1 2 3 4
La méthode du plus petit élément évite aussi
4y + 4 mod5 4 3 2 1 0 l’infini et donne une élégante et concise rédac-
tion. C’est pourquoi elle rencontre un certain2 – 3y mod5 2 4 1 3 0
succès chez les étudiants en Post-Bac.
5 Voir [9]
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