Les mercredis matins, de manière analogue auront lieu les cours d ...

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2 PLANNING DES COURS ET LECONS (sera reconduit de manière analogue en 2007-2008 JEUDIS MATINS: Espaces métriques et e.v.n: distance, boule, topologie, adhérence, intérieur, connexité, composantes connexes, cas d'un ouvert, cas d'un ouvert dans R 1 Compacité, f(connexe), th. val.inter. f(compact), th. bornée et atteint bornes, ≈ normes, Riesz.
  • exemples de résolution de systèmes différentiels
  • rang en algèbre linéaire
  • exemples de groupes en géométrie
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  • application
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Source : ufrmath.upmc.fr
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PLANNING DES COURS ET LECONS (sera reconduit de manière analogue en 20072008 JEUDIS MATINS:  Espaces métriques et e.v.n: distance, boule, topologie, adhérence,1 intérieur, connexité, composantes connexes, cas d'un ouvert, cas d'un ouvert dans R  Compacité, f(connexe), th. val.inter. f(compact), th. bornée et atteint2 bornes,Complétude, Baire, Banach, dim. dénombr.,normes, Riesz. Hilbert, préhilbertien: proj. convexe complet.  Ths de points fixes, continuité, unif. cont., cas d'un compact,3 nprolongements, dérivabilité, classes C°, C , C , Rolle, Darboux, Taylor, dévts limités, Simpson, int. numérique  Dérivabilité par rapport à une variable réelle ou complexe, Taylor et4 Cauchy. Aperçu sur séries entières, analycité, fonction C°,non 1C ,fonction C , non analytique  Suites et séries. Polynômes de Berntein, th. de Weierstrass, th. d'ABEL5 Suites, séries de fonctions : Les deux ths Dini, doublelimite et6 nthéorèmes divers sur propriétés de la limite: C°, C , C .  Séries entières et analycité.7 Séance de récapitulation et prospective.8  Séries de Fourier.9  Séries de Fourier.10  Suites et séries : vitesse de convergence (Newton).11  Intégration.12  Intégration et méthodes numériques (Richardson, Romberg)13  Intégration : suites et séries de fonctions.14  Probabilités.15  Equations différentielles.16  Equations différentielles et méthodes numériques (Euler, RungeKutta).17  Calcul différentiel.18  Calcul différentiel.19  Récapitulatif et questions diverses.20 Les mercredis matins, de manière analogue auront lieu les cours d’algèbre.
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SAMEDIS APRESMIDI: Suites et séries Topologie Continuité, dérivabilité Espaces vectoriels et appl. linéaires Réduction des endo., déterminants Analyse Séries entières et analycité Algèbre Séries de Fourier Intégration Suites et séries de fonctions Analyse Géométrie Espaces euclidiens Algèbre Calcul différentiel MERCREDIS APRESMIDI:
Intitulé de la leçon Algèbre linéaire, systèmes linéaires, déterminants, matrices. Topologie 208. Espaces vectoriels normés de dimension finie. Normes usuelles, équivalence de normes 124. Similitudes planes directes et indirectes. Formes réduites..
128. Barycentres. Applications.
Projecteurs, symétries, isométries d'un espace vectoriel ou affine. 125. Isométries du plan affine euclidien, formes réduites, applications. Etude de fonctions de la variable réelle. 218. Différentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable réelle. Applications 417. Exemples d’approximations de fonctions numériques. Utilisations.
146. Coniques.
113. Déterminants. Applications.
Les anneaux Z, Z/nZ, k[X] . Congruences, algorithme d'Euclide, nombres premiers. 105. PGCD, PPCM dans Z, théorème de Bézout. Applications. 302. Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z. Suites et séries 202. Séries à termes réels positifs. 401. Exemples d’étude de suites de nombres réels.
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308. Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d’un polynôme.. 235. Exponentielles et logarithmes. Géométrie et nombres complexes. 143. Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes. Racines, polynômes irréductibles, factorisation. 323. Exercices de géométrie résolus à l'aide des nombres complexes. Probabilités. 232. Lois usuelles de variables aléatoires à densité. Loi uniforme sur un intervalle borné, loi exponentielle, loi normale. 435. Exemples d’étude probabiliste de situations concrètes. 335. Exemples d’étude de courbes planes. 151. Formes réduites d’endomorphismes. Applications. 110. Endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, polynôme d'endomorphisme. 102. Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications. 305. Exercices faisant intervenir les nombres premiers. Séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier. 213. Exponentielles complexe, fonction trigonométriques, nombreπ. 411. Exemples d’étude de fonctions définies par une série. 217. Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications. 144. Rang en algèbre linéaire. ? ? ?. Triangles isométriques et semblables.. LISTES DES LECONS LECONS DE COURS D'ALGEBRE ET GEOMETRIE LECONS DE COURS D'ANALYSE LECONS D'EXERCICES D'ALGEBRE ET GEOMETRIE LECONS D'EXERCICES D'ANALYSE er Elles sont données, actualisées à la date du 1 février, en quatre documents ci dessous :
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LEÇONS : COURS D'ALGEBRE ET GEOMETRIE
Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples. Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications.
Propriétés élémentaires liées à la notion de nombre premier.
PGCD, PPCM dans Z, théorème de Bézout. Applications.
PGCD dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications.
Ecriture décimale d'un nombre réel ; cas des nombres rationnels. Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d'une application linéaire. Formes linéaires, hyperplans, dualité (on pourra se limiter à des espaces vectoriels de dimension finie). Exemples. Endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, polynômes d'endomorphisme. Changements de base en algèbre linéaire (applications linéaires, formes bilinéaires...). Applications. Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications. Déterminants. Applications.
Groupe des homothéties et translations dans le plan affine. Applications.
Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien ; cas des dimensions 2 et 3.
Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien (dimension finie). Applications. Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien (dimension finie) et applications géométriques (les généralités sur les formes quadratiques seront supposées connues). Applications géométriques des nombres complexes.
Similitudes planes directes et indirectes ; formes réduites. Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications. Isométries de l'espace affine euclidien de dimension 3 ; formes réduites.
Géométrie du triangle. Relations métriques et trigonométriques.
Barycentres. Applications.
Orientation d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3, produit mixte, produit vectoriel, applications.
Droites et plans dans l'espace.
Projecteurs et symétries dans un espace affine de dimension finie.
Polygones réguliers dans le plan.
Cercles dans le plan affine euclidien.
Mouvements à accélération centrale. Cinématique du point : vitesse, accélération. Exemples de mouvements. Division euclidienne. Utilisation de groupes en géométrie. Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes. Racines, polynômes irréductibles, factorisation.
Rang en algèbre linéaire.
Utilisation de transformations en géométrie. Côniques. Courbes planes paramétrées.
Diverses notions d'angle et leurs utilisations.
Equations en géométrie. Factorisation des matrices. Cas des matrices symétriques réelles. Applications. Formes réduites d'endomorphismes. Applications.
Résolution de problèmes modélisés par des graphes.
Trigonométrie
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LEÇONS : COURS D'ANALYSE
Etude de suites numériques définies par différents types de récurrences.
Séries à termes réels positifs. Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semiconvergence (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs étant supposés connus). Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes.
Espace préhilbertiens : projection orthogonale sur un sousespace de dimension finie. Application à l'approximation de fonctions.
n Parties compactes de R . Fonctions continues sur une telle partie. Exemples. Parties connexes de R et théorème des valeurs intermédiaires. Exemples et applications. Théorème du point fixe. Applications. Séries de fonctions : convergence uniforme, convergence normale (les résultats relatifs aux suites de fonctions sont supposés connus). Propriétés de la somme. Exemples. Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples. Série de Fourier d'une fonction périodique ; propriétés. Exemples.
Exponentielle complexe ; fonctions trigonométriques, nombreπ. k * Dérivabilité de la somme d'une série de fonctions de classe C , kN∪ {∞}. Applications. Comparaison d'une série et d'une intégrale. Applications.
Théorème de Rolle. Applications.
Fonctions convexes d'une variable réelle. Applications.
Différentes formules de Taylor pour une fonction d'une variable réelle. Applications. Fonction réciproque d'une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples. Calcul de valeurs approchées d'une intégrale. Exemples d'estimation de l'erreur. Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle ouvert de R. Intégrale d'une fonction numérique continue sur un intervalle compact. Propriétés. Intégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications. Equations différentielles linéaires d'ordre deux : x'' + a(t) x' + b(t) x = c(t), où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle de R. Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants ; écriture matricielle ; exponentielle d'une matrice. Equations différentielles linéaires à coefficients constants. Exemples.
1 Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentielle. Fonctions de classe C . Fonctions composées. n Fonctions définies sur une partie convexe de R . Inégalité des accroissements finis. Applications. Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli, variable aléatoire de loi binômiale. Probabilité conditionnelle et indépendance. Exemples. Espérance, variance, covariance ; loi faible des grands nombres.
Lois usuelles de variables aléatoires possédant une densité ; loi uniforme sur un intervalle borné, loi exponentielle, loi normale.
Approximation d'un nombre réel. Théorèmes et méthodes.
Equations et systèmes différentiels.
Exponentielles et logarithmes.
n Fonctions définies sur un intervalle, à valeurs dans R ou dans R . Dérivabilité, théorème des accroissements finis, exemples.
Intégrales et primitives.
Le nombreπ.
Recherche d'extremums. Suites de fonctions. Divers mode de convergence. Exemples. Suites de nombres réels.
Utilisation de la dérivée d'une fonction numérique.
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LEÇONS : EXERCICES D'ALGEBRE ET GEOMETRIE
Exercices sur les groupes. Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z. Exercices faisant intervenir la division euclidienne.
Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout.
Exercices faisant intervenir les nombres premiers.
Exercices faisant intervenir les notions de PGCD et PPCM et mettant en oeuvre des algorithmes associés.
Exercices faisant intervenir les dénombrements. Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d'un polynôme. Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C.
Exercices d'algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes.
Exercices faisant intervenir la notion de rang.
Exercices sur les matrices inversibles.
Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires.
Exercices faisant intervenir des déterminants. Exercices de recherche et d'emploi de valeurs propres et vecteurs propres. Exercices faisant intervenir la réduction des endomorphismes. Exercices sur les endomorphismes diagonalisables. Exercices faisant intervenir des projecteurs ou des symétries. Exemples de méthodes et d'algorithmes de calcul en algèbre linéaire. Exercices sur les isométries vectorielles dans les espaces euclidiens en dimension 2 et en dimension 3. Exercices faisant intervenir la réduction des matrices réelles symétriques. Exercices sur les formes quadratiques.
Exercices de géométrie résolus à l'aide des nombres complexes. Exercices faisant intervenir des similitudes planes directes ou indirectes. Exercices faisant intervenir des isométries affines en dimension 2 et en dimension 3.
Exercices faisant intervenir la notion de barycentre.
Exercices faisant intervenir des applications affines. Exemples de propriétés affines et de propriétés métriques en dimension 2. Exercices sur les aires et les volumes de figures simples.
Exercices faisant intervenir les angles et les distances en dimension 2 et en dimension 3.
Exercices sur la cocyclicité.
Exercices sur les cercles.
Exercices de géométrie plane faisant intervenir des triangles isométriques ou semblables.
Exercices sur les coniques.
Exemples d'étude de courbes planes.
Exemples d'étude locale de courbes planes paramétrées.
Exercices sur les propriétés métriques des courbes planes (longueur, courbure...).
Exercices sur les propriétés métriques des courbes de l'espace. Exemples d'étude des isométries laissant invariante une partie du plan, une partie de l'espace. Exemples de groupes en géométrie.
Exercices de construction en géométrie plane.
Exemples de choix de repères pour la résolution d'exercices de géométrie en dimension 2 ou en dimension 3.
Exercices de cinématique du point.
Exemples d'étude de problèmes de mécanique du point.
Exercices sur les triangles.
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LEÇONS : EXERCICES D'ANALYSE
Exemples d'étude de suites de nombres réels ou complexes. Exemples d'étude de suites ou de séries divergentes. Exemples d'étude de suites définies par une relation de récurrence.
Exemples d'étude de la convergence de séries numériques.
Exemples de calcul exact de la somme d'une série numérique. Exemples de comportement asymptotique de suites ; rapidité de convergence ou de divergence. Exemples d'évaluation asymptotique de restes de séries convergentes, de sommes partielles de séries divergentes. Exemples d'étude de séries réelles ou complexes non absolument convergentes. Exercices sur les suites de polynômes orthogonaux.
Comparaison sur des exemples de divers modes de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions d'une variable réelle.
Exemples d'étude de fonctions définies par une série.
Exemples de développements en série entière. Applications.
Exemples d'emploi de séries entières ou trigonométriques pour la recherche de solutions d'équations différentielles.
Exemples de séries de Fourier et de leurs applications.
Exemples d'applications du théorème et de l'inégalité des accroissements finis pour une fonction d'une variable réelle.
Exemples d'encadrements de fonctions numériques ; utilisations. Exemples d'approximations de fonctions numériques ; utilisations. Exemples d'utilisation de développements limités.
Exemples d'utilisation d'intégrales pour l'étude de suites et de séries. Exemples d'utilisation de suites ou de séries pour l'étude d'intégrales. Exemples de calcul de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment.
Exemples d'étude d'intégrales impropres.
Exemples d'utilisation des théorèmes de convergence dominée et de convergence monotone.
Exemples d'intégration sur un intervalle.
Exemples de calculs d'aires et de volumes.
Exemples de calculs d'intégrales multiples.
Exemples d'étude de fonctions définies par une intégrale.
Exemples de résolution d'équations différentielles scalaires, linéaires ou non linéaires. Exemples de résolution de systèmes différentiels linéaires. Exemples d'équations différentielles issues des sciences expérimentales ou de l'économie.
Exemples de recherche d'extremums d'une fonction numérique d'une variable, d'une fonction numérique de deux variables.
Exemples d'approximation d'un nombre réel.
Approximations du nombreπ. Exemples d'utilisation de changement de variable(s) en analyse. Exemples d'étude probabiliste de situations concrètes.
Exemples de calcul de primitives.
Exemples de variables aléatoires et applications. Exemples de problèmes de dénombrement. Exemples de calcul de la norme d'une application linéaire continue. 1 Exemples de calcul de la longueur d'un arc de classe C . Exemples de systèmes différentiels linéaires Y'=AY à coefficients réels constants en dimension 2. Allure des trajectoires.
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