LES OPERATEURS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

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1 CHAPITRE III LES OPERATEURS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE Christian Ducauze et Hervé This 1 - PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES DES OPERATEURS UTILISES Les opérateurs fonctionnels représentent des applications d'un ensemble de fonctions sur lui- même : les fonctions considérées ici sont celles qui agissent sur les points de l'espace. Les opérateurs fonctionnels peuvent être éventuellement explicités sous forme d'opérations : multiplication par une constante réelle ou imaginaire, fonction numérique des coordonnées , ,x y z∂ ∂ ∂ , inversion, etc. Il existe entre ces opérateurs les mêmes relations algébriques qu'entre les grandeurs qu'ils représentent : ( G H ) G H ( G ) .( G ) ( GH ) G( H ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = + = = En règle générale, les opérateurs ne commutent pas : GH HG≠ . C'est le cas, par exemple, pour l'opérateur première coordonnée et l'opérateur dérivée partielle par rapport à la première coordonnée : x xx x∂ ≠ ∂ . De ce fait, l'opérateur commutateur GHHG ? n'est pas nul dans le cas général. Dans le cas où GH HG i? = ± h , on dit que les grandeurs physiques sont complémentaires, comme cela est exprimé dans le principe d'incertitude d'Heisenberg. Les opérateurs utilisés en mécanique quantique sont linéaires, ce qui signifie que : .

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  • iinn gg

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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CHAPITRE III
LES OPERATEURS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Christian Ducauze et Hervé This
1 - PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES DES OPERATEURS UTILISES
Les opérateurs fonctionnels représentent des applications dun ensemble de fonctions sur lui-
même : les fonctions considérées ici sont celles qui agissent sur les points de lespace.
Les opérateurs fonctionnels peuvent être éventuellement explicités sous forme dopérations :
multiplication par une constante réelle
coordonnéesx,y,z, inversion, etc.
ou imaginaire, fonction
numérique des
Il existe entre ces opérateurs les mêmes relations algébriques quentre les grandeurs quils
représentent :     ( G+H )=Gψ+Hψ   (λG )ψ = λ.( Gψ)    ( GH )ψ = HG (ψ)
    En règle générale, les opérateurs ne commutent pas :GHHG. Cest le cas, par exemple, pour lopérateur première coordonnée et lopérateur dérivée
partielle par rapport à la première coordonnée :x≠ ∂xx.
    De ce fait, lopérateur commutateurGHHGnest pas nul dans le cas général.     Dans le cas oùGHHG= ±hi, on dit que les grandeurs physiques sont complémentaires,
comme cela est exprimé dans le principe dincertitude dHeisenberg.
Les opérateurs utilisés en mécanique quantique sont linéaires, ce qui signifie que :    (λ,µ)∈ ℜ2,(ϕ,ψ)Q2,G(λψµ+ϕ)= λGϕ+ µGψ.
1
Remarque : Ce nest pas le cas de tous les opérateurs fonctionnels, par exemple pour une
fonction de fonction ou si on élève au carré.
2  FONCTIONS PROPRES ET VALEURS PROPRES DUN OPERATEUR
En généralg=Gconduit à )g( x, y, zet lon ne peut définir alors quune valeur moyenne
ue qui, comme écritg=Gψde cette grandeur physiq on la déjà vu, sdans le cas où
est normée. Cependantgcomme par exemple lénergie totale liée auest parfois une constante, mouvement ou le module de la quantité de mouvement, lorsque le mouvement a lieu dans un
champ de forces centrales. Dans ce cas,gnest pas alors quelconque, mais liée à lexpressionG.
Quandgest une constante, est une fonction propre deGassociée à la valeur propreg.
Remarque : Les fonctions propres dun opérateur linéaire ne sont définies quà une constante    multiplicative près. En effet :G=g.ψ ⇒ λGψ = λgψ =g=ψλG(ψλ).
3 NOTION DOPERATEUR HERMITIQUE
Alors que les opérateurs utilisés en mécanique quantique sont très souvent complexes, les
grandeurs physiques quils permettent de calculer sont toujours réelles. De ce fait, les
opérateurs de la mécanique quantique doivent satisfaire un certain nombre de conditions pour
que leurs valeurs propres ou les valeurs moyennes quils permettent de calculer soient réelles.
Pour remplir ces conditions, on démontre que : siG tel est que(ϕ,ψ)Q2, (ϕ,Gψ)=(ψ,Gϕ) * ,Gest alors un hermitien. Les opérateurs de ce type
sont dits « opérateurs hermitiques ».
On peut démontrer, comme indiqué dans le tableau IV, que les fonctions propres dun
opérateur hermitique associées à des valeurs propres différentes sont orthogonales.
2
[TABLEAU IV]
g1
   (1Gψ2) = (ψ2,Gψ1 g2(1,ψ2) =g1(ψ1,ψ2 G un Hermitien est ( g1g2)(ψ1,ψ2)=0 (ψ1,ψ2)=0  carg1g
)
2
)
)
3
)
(ψ2
,Gψ1
,Gψ1
)
=
g1(ψ1,ψ2
g(ψ 1 1
,ψ2
(
2
=
g1
car
)
g1
Gψ2
Gψ1
=
=
G
gg12ψψ12
(
/
=
(ψ,Gϕ
ϕ,Gψ
)
 est un Hermitien
(ψ1
,Gψ2
)=
,ψ1
g1(ψ2
,ψ2)
g2(ψ1
)=(ψ, gψ)= 2 1 1
)=(ψ1, g2ψ2)=
2
g
g1,
;
2
g
etψ
DIFFERENTES
,
G
Les fonctions propres dun opérateur linéaire nétant définies quà une constante près, il est
toujours possible de les choisir normalisées. En conséquence, en ne prenant quune seule
fonction propre pour chaque valeur propre de lopérateur, on obtient un ensemble de fonctions
orthonormées.
4  NOTION DOPERATEUR SINGULIER ET VALEURS PROPRES DÉGÉNÉRÉES
Dans le cas général, la fonction propre associée à une valeur propre donnée nest définie quà
une constante multiplicative près, réelle ou complexe, mais la normalisation réduit encore larbitraire de cette constante à un facteur de module 1 de la formeeiα, où∈ ℜ. Par suite, pour un opérateurG, àg à la constante ,ne correspond quune seule fonction multiplicative près. On dit alors queGest un opérateur régulier. Dans le cas contraire, lorsquà une même valeur propreg deG correspondent plusieurs
fonctions propres qui ne peuvent se déduire les unes des autres par multiplication par une constante, on dit queG estque lon a affaire à des un opérateur singulier (ou dégénéré) et valeurs propres dégénérées.
Remarque 1: On sait, par exemple, quil y a dégénérescence enldes niveaux énergétiques de latome dhydrogène, car plusieurs fonctions donde linéairement indépendantes m
correspondent à une même valeur del.
Remarque 2 : Si lon connaît un certain nombre de fonctions propres1,ψ2,ψ3,ψ4...
associées à une même valeur propre de lopérateurG :, toute fonction de la forme = λ1ψ1+ λ2ψ2+ λ3ψ3+ λ4ψ4+...est également fonction propre deG, en raison de la linéarité
de lopérateurG.
Lensemble des fonctions propres associées à la même valeur propre dun opérateur constitue
une variété linéaire de lespace de HilbertHsur le corps des complexes et la baseconstruite des fonctions1,ψ2,ψ3,ψ4...que lon peut choisir orthonormées.
4
5  REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES OPERATEURS
5-1- Utilisation de la notation de Dirac
Un opérateur hermitiqueG detransforme une fonctionH en une fonctionGψ
appartenant également àH. Si(1,ϕ2,ϕ3,ϕ4...) une base orthonormée complète de estH,
lhermitien est alorsGevc,aG tel queGϕn=ginϕi.i=1
  Remarque : On se souvient que sinest une fonction propre deG,alorsG
n=gnϕn
Si le nombre des fonctions de base était fini, lesgindéfiniraient une matrice. Ici, toutefois, la
matrice serait infinie. Sous certaines conditions de convergence quon admettra satisfaites, on
raisonnera sur cette matrice infinie comme sur une matrice finie.
En pratique dailleurs, lorsquon fera des développements en série limités, la matrice desgin
sera finie. Cette matrice sera représentée par Get le ket deGsobtiendra en multipliant à gauche le
ket de par la matrice desgin.
En notation de Dirac : à et àcorrespond VG
 correspond G V . On aura donc
g= et VV G VG V pour représenter lintégrale de couplage(
5-2- Notion de matrice hermitique
SiGest un hermitien, on a :(
on écrira de façon équivalente :
Gψ). ,
G,ψ)=(ψ,Gψ)et cela(ϕ,ψ)Q2. En notation de Dirac,
VG V=V G V.
5
Ce résultat sinterprète de la façon suivante : les deux membres de léquation précédente sont
des matrices carrées dordre 1, cest-à-dire des scalaires, et, en conséquence, ils ne sont pas
modifiés par une transposition.
Rappelons que la transposition dun produit de matrices revient à inverser leur ordre et à
remplacer les éléments de chaque matrice par leurs imaginaires conjugués. On va ainsi écrire
que V Vest la transposée conjuguée deou encore Vque V′ =
VG V=V G V′ =
V Il sensuit que :V .
r VG Par conséquent,V .VH, on a G :=G la et
matrice G est donc identique à sa transposée conjuguée. Cest une matrice hermitique.
Si la matrice G est finie :
 elle est carrée -
- les éléments de sa diagonale principale sont des réels
-etles éléments symétriques par rapport à cette diagonale sont des imaginaires conjugués.
6 - COMMUTATIVITÉ DES OPERATEURS
  etBétant deux opérateurs hermitiques, ils sont commutables       commutateur deAetBest alors nul, soitABBA=0 .
  siB
  BAψ.
Le
Théorème : Si deux opérateurs ont en commun un ensemble de fonctions propres constituant
une base complète de lespace de Hilbert, ils sont commutables.
  AetBétant ces opérateurs, si lon prend comme base de H de leurs fonctions lensemble
propres communes, alors les matrices | A |et | B |sont diagonales pour cette base.
g0a1 aura par exemple :0 Pour , on0 M
car toute fonction propre
0 ga2 0 0 M
0 0 ga3 0 M
0 0 0 ga4 M
LL12LL34OM  
  ndeGvérifie :Gn=gnϕn
6
Comme la matrice |B| est également diagonale, on vérifie que les matrices diagonales|A|et
|B|est de même, des opérateurs correspondants puisque matrices etsont commutables. Il en
opérateurs transforment les fonctions de la même manière.
Théorème inverse (quon admet ici sans démonstration) :
Si
deux
hermitiens sont
commutables, on peut tirer de lensemble de leurs fonctions propres communes une base
complète deH.
Ce théorème implique que, dansH, il nexiste pas de fonctions orthogonales communes à ces
deux opérateurs.
7 - RAPPEL DE QUELQUES OPERATEURS IMPORTANTS
On a rappelé dans les tableaux V et VI les principaux opérateurs de la mécanique quantique.
7
[TABLEAU V]
1°) Pour limpulsion :rp=mvr, on a :P= −h
uuuuur i grad
   P= −hi, P= −hi, P= −hix x z z ruuuur 2°) Pour l moment dimpulsion :MOMpr e
mx=ypzzpy my=zpxxpz m x z=pyypx
a a a
Mx= −h yi (zzy) My= −hi ( zxxz)M= −h xi (∂ −y) z y x
    M2=M2+M2+M2 x z Mx2=Mx(Mx)=h yi (zzy)hi ( yzz= −h2( yzzy)( yzzy)   va de mM2etM2Et il en ême pourz
)y
Mx=h sini (ϕθ+cot gθcosϕϕ) My=hi (cosϕθ+cot gθsinϕϕ) M= −hizϕ M2= −h2(2θ+cot gθθ+i122) s nϕ
8
[Cette dernière expression sera comparée au Laplacien du TableauII]
9
[TABLEAU VI]
3°) Pour lénergie : lénergie totale sécrit
=WT=WC+WP
2  A lénergie cinétiqueWCcorrespond lopérateurT= −h
 avec un Laplacien∆ = = ∂2x+ ∂2y+ ∂z2= ∂r2+2r+12M2
 A lénergie potentielleWPcorrespondV=V ( x , , z )= )V ( rqui est
 décrit la fonction donde
. Il faut, à cette fin, résoudre
=E .ψ
par rapport à lorigine, soit :xax ,
Pr=r P sinθ =sinθ
P=r−θ P sinϕ= −sinϕ
yay ,
zaz
P=ϕr+ ϕ P cosϕ= −cosϕ
P cos −θ =cosθ P ei=(1)αeiα
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7-1- Moment linéaire (quantité de mouvement) :
r r1 p=mv
7-2- Moment cinétique :
Le moment cinétique est le moment derppar rapport au point O : ruuuur Mr =Op
En coordonnées polaires, les opérateurs utilisés pour calculer la projection du moment
cinétique sur un axe Ozle carré du module du moment cinétique sécrivent respectivement :et
z= −hietM2= −h2(2θ+cot gθθ+sin12θ2ϕ).
1Impulsion et quantité de mouvement : Une variation de la quantité de mouvement dun corps consécutive à laction dune force est calculée comme lintégrale de la force pendant la durée daction de la force. Pour la calculer, considérons un objet de quantité de mouvement initialep1(t1) , à un instantt1.Cet objet subit une forceF(t)pendant une duréet2t1. Lintégrale de cette force pendant cette durée est égale à : = Itt21F(t)dt. En utilisant la définition de la force : F(t)=dp(t,)dt On obtient : I=tt21F(t)dt=tt21dpd(tt)dt=tt12dp(t)=p2p1Lusage, dérivé de lappellation anglaiseimpulseest de nommer « impulsion » cette grandeur. Néanmoins, en toute rigueur, limpulsion, en français, désigne le moment linéaire, grandeur de la mécanique lagrangienne. Lorsque la durée daction de la force est très courte, la grandeurIprécédente est nommée percussion mécanique.
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