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Les suites I. Généralités sur les suites Dans tout le cours, on considère des suites (un), définies sur les entiers naturels. 1. Suites croissantes, suites décroissantes Définitions Une suite (un) est croissante si pour tout entier n, un un+1. Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un un+1. Remarques : - Une suite croissante, une suite décroissante sont dites monotones.
  • somme dans l'ordre décroissant
  • limite infinie
  • signe de dn
  • somme dans l'ordre
  • première formule
  • u0
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Les suites I. Généralités sur les suites Dans tout le cours, on considère des suites (unles entiers naturels.), définies sur 1. Suites croissantes, suites décroissantes DéfinitionsUne suite (un) est croissante si pour tout entier n, un un+1. Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un un+1. Remarques : Unesuite croissante, une suite décroissante sont dites monotones.  Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes. n Exemple :La suite (un) définie par unest une suite ni croissante, ni décroissante.= (1) Méthode :Pour étudier le sens de variation d'une suite (un),on étudie le signe de la différence un+1 un. Si tous les unsont strictement positifs, on compareet 1. Exemple 1 :Soit la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar : Etudier le sens de variation de la suite (un). Pour étudier le sens de variation de la suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 un.
Et, pour tout entier natureln,n + 3 0etn+ 20. Donc : pour tout entier natureln, D'où : pour tout entier natureln, un+1 un 0,soit un+1 un. La suite (un) est croissante. Exemple 2 :Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : Etudier le sens de variation de la suite (un). Tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs. Pour étudier le sens de variation de la suite (un), on compareet 1.
Or, ,donc la suite (un) est strictement décroissante. ThéorèmeSoit (un) une suite définie par un=f(n), avecf[définie sur [0; + Sifest strictement croissante, alors (un) est strictement croissante. Sifest strictement décroissante, alors (un) est strictement décroissante. Démonstration : cas oùfest strictement croissante : Pour tout entier naturel n, la fonctionfest strictement croissante, donc :f(n + 1) >f(n) D'où : pour tout entier naturel n, un+1> un. La suite (unest donc strictement croissante.  cas oùfest strictement décroissante : Pour tout entier naturel n, la fonctionfest strictement décroissante, donc :f(n + 1) <f(n) D'où : pour tout entier naturel n, un+1< un. La suite (unest donc strictement décroissante. Ce théorème ne s'applique pas si la suite (un) est définie par récurrence (un+1=f(un)). Les variations de la fonctionfet de la suite (un) ne sont pas toujours les mêmes. Exemple 3 :Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : . Etudier le sens de variation de la suite (un). Soit lafonction définie sur ]1; +[ par : . La fonctionfest définie en particulier sur [0; +[ et est dérivable sur cet intervalle. On a, pour toutx[ :de [0; +
Pour toutxde [0;[,f'(x) > 0. La fonctionf[.est donc strictement croissante sur [0; D'où : la suite (un) est strictement croissante. Exercice :Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
Etudier le sens de variation de la suite (vn). On pose Pour tout entier naturel n, on a :
Comme ,alors Dnest du signe de Dn1, qui luimême est du signe de Dn2. Et ainsi de proche en proche, on a : Dnest du signe de D0. Or, D0= v1 v0= D'où: pour tout entier naturel n, Dn> 0. Donc, pour tout entier naturel n, vn+1> vnLa suite ( vn) est strictement croissante. Remarque :on dit qu'une suite est stationnaire si elle est constante. 2. Suites périodiques DéfinitionUne suite (un) est périodique si il existe un entier naturel k non nul tel que pour tout entier naturel n, un+k= unRemarque :la période appartient à; si un= sin n,n'est pas une période pour (un). II. Suites Arithmétiques 1. Définition Définition :Une suite (un) est arithmétique si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1= un+ r. r est appelé raison de la suite. 2. Calcul de un Théorème :Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a : un= u0et u+ nrn= up+ (n  p) r. Démonstration :(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a : un= un1+ r un1= un2+ r ... u2= u1+ r u1= u0+ r En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient : un+ un1+ ... + u2+ u1= un1+ r + un2+ r + ... + u1+ r+ + u0+ r soit : un= u0+ nr (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a : un= u0et u+ nrp= u0+ pr En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un up= u0+ nr  u0 pr soit : un= up+ (n  p)r Remarques :
 La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.  Si un= an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0= b. 3. Somme des n premiers termes Cas particulier :
La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à Démonstration :Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n  2) + (n  1) + n. Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
En sommant ces deux égalités, on obtient : 2S = (1 + n) + (2 + n  1) + (3 + n  2) + ... + (n  2 + 3) + (n  1 + 2) + (n + 1) soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) donc : 2S = n(n + 1) D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n  2) + (n  1) + n = Théorème :Si (unremier terme u) est une suite arithmétique de raison r et de0, alors pour tout entier n : S = u0+ u1+ ... + un1= S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demisomme des termes extrêmes. Démonstration :Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1= u0+ r; u2= u0+ 2r; ...; un3= u0+ (n  3)r; un2= u0+ (n  2)r et un1= u0+ (n  1)r. Donc : S = u0+ u1+ u2+ ... + un3+ un2+ un1S = u0+ (u0+ r) + (u0+ 2r) + ... + (u0+ (n  3)r) + (u0+ (n  2)r) + (u0+ (n  1)r) S = nu0+ r + 2r + ... + (n  3)r + (n  2)r + (n  1)r S = nu0+ r[1 + 2 + ... + (n  3) + (n  2) + (n  1] Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n  2) + (n  1) =. Donc :
III. Suites géométriques 1. Définition Définition :Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1= q un. q est appelé raison de la suite. 2. Calcul de un
Théorème :Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p : n np un= u0q etun= upq Remarques : la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde; n  si un= b a, alors (un) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0= b. 3. Somme des n premiers termes Cas particulier :La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q1) et de premier terme 1 est égale à Démonstration :Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q1), S = 1 + q + n3 n2 n1 q² + ... + q+ q+ q. 3 n2n1 n Donc : qS = q + q² + q+ ... + q+ q+ q n Donc : qS = S  1 + q n Donc : (1  q)S = 1  Or, q1, donc 1  q0. Donc : S = Théorème :Si (un) est une suite géométrique de raison q (qremier terme u1) et de0, alors alors pour tout entier n : S = u0+ u1+ ... + un1S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Démonstration :n3 Les n premiers termes de la suite géométrique (un) sont u0; u1= qu0; u2= q²u0; ...; un3u= q0; n2 n1 un2= u0et un1= u0. Donc : S = u0+ u1+ u2+ ... + un3+ un2+ un1n3 n2 n1 S = u0+ qu0+ q²u0+ ... + qu0+ qu0u+ q0n3 n2 n1 S = u0+ q)(1 + q + q² + ... + q+ q n3 n2 n1 Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + q+ q+ q= .Donc : Remarque :Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (un) est constante : elle est toujours égale à u0. On a alors : S = u0+ u1+ ... + un2+ un1= n u0IV. Comportement à l'infini 1. Convergence vers l
n Les suites de terme général, ,, ,a avec1 < a < 1, convergent vers 0 et on note alors :.
Théorème de comparaison 5 :Si, à partir d'un certain rang,et si, alors (un) converge vers l et on note :. Théorème 6Si, à partir d'un certain rang, unw vnet si : alors : Remarques : Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.  Si (un) et (wn) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (vn). 2. Divergence vers l'infini 3 n  Les suites de terme général n, n², n, ,a aveca>1, divergent vers +et on note :  Une suite (unsi la suite (u) diverge vers n) diverge vers +et on note alors : Théorème de comparaison 7 Si, à partir d'un certain rang, uvn., alorset si  Si, à partir d'un certain rang, uvnet si., alors Remarque : Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple : n un= (1) 3. Opérations Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites end'une fonction.
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