LISTE DE QUESTIONS DE COURS sur le polycopie d'Algebre de

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LISTE DE QUESTIONS DE COURS sur le polycopie d'Algebre de 2008/2009 Chapitre 1 1. Definition 1.1 : Espace vectoriel. 2. Proposition 1.3 : Espace vectoriel produit. 3. Definition 1.2 : Sous-espaces vectoriels. 4. Preuve de la proposition 1.5 : l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel. 5. Definition 2.1 : Famille generatrice. 6. Definition 2.4 : Famille libre. 7. Preuve de la proposition 2.3 : ”Soient x1, ..., xn des vecteurs lineairement independants. Soit F le sous-espace vectoriel engendre par x1, ..., xn. Si x 6? F alors (x, x1, ..., xn) est libre”. 8. Definition 2.5 : Base. 9. Definition 2.6 : Dimension finie et infinie. 10. Definition 2.7 : Dimension. 11. Preuve du theoreme 2.5 : dim(E ? F ) = dim(E) + dim(F ). 12. Theoreme 2.6 : de la base incomplete. 13. Theoreme 2.7 : Nombre d'elements d'une famille libre ou generatrice. 14. Theoreme 2.8 : Equivalence entre famille libre, famille generatrice et base lorsque le nombre d'elements de la famille est egal a la dimension. 15. Definition 2.8 : Rang d'une famille de vecteurs.

  • preuve de la proposition

  • equivalence entre inversibilite

  • condition sur le rang

  • critere d'inversibilite

  • equivalence entre applications lineaires

  • rang


Publié le : mardi 19 juin 2012
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LISTE DE QUESTIONS DE COURS
surlepolycopie´dAlg`ebrede2008/2009
Chapitre 1 1.D´enition1.1:Espacevectoriel. 2. Proposition1.3 :Espace vectoriel produit. 3.D´enition1.2:Sous-espacesvectoriels. 4. Preuvede la proposition 1.5 :l’intersection de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel. 5.De´nition2.1:Familleg´en´eratrice. 6.De´nition2.4:Famillelibre. 7. Preuvede la proposition 2.3 :”Soientx1, ..., xnndpetsantien´endae´nmeriuetcilsrseevd. SoitFrape´rdnrielengeacevectoossue-pselx1, ..., xn. Six6∈Falors (x, x1, ..., xn) est libre”. 8.De´nition2.5:Base. 9.D´enition2.6:Dimensionnieetinnie. 10.De´nition2.7:Dimension. 11.Preuveduth´eor`eme2.5:dim(E×F) = dim(E) + dim(F). 12.Th´eore`me2.6:delabaseincompl`ete. 13.The´ore`me2.7:Nombred´ele´mentsdunefamillelibreoug´en´eratrice. ´ 14.The´ore`me2.8:Equivalenceentrefamillelibre,famillege´ne´ratriceetbaselorsque lenombred´el´ementsdelafamilleeste´gala`ladimension. 15.D´enition2.8:Rangdunefamilledevecteurs. 16. Proposition2.4 :Condition sur le rang, pour qu’une famille de vecteurs soit libre. 17.De´nition3.1:Sommededeuxsous-espacesvectoriels. 18. Preuve de la proposition 3.1 :SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels alors F+Gest un sous-espace vectoriel. 1
19. Preuvede la proposition 3.2 :SiFetGr(pasontvetintmeseerpsceneegdn´ru1,∙ ∙ ∙, up) et (v1,∙ ∙ ∙, vq), alorsF+Gdr´engenseetpar(u1,∙ ∙ ∙, up, v1,∙ ∙ ∙, vq). 20.De´nition3.2:Sommedirecte. 21. Preuvede la proposition 3.3 :FetGen somme directe⇐⇒FG={0} ⇐⇒Pour tout (x, y)F×G, six+y= 0 alorsx=y= 0. 22. Preuvede la proposition 3.4 :dim(FG) = dim(F) + dim(G) et une base deFG estobtenueenr´eunissantunebasedeFet une base deG. 23.D´enition3.3:Suppl´ementaires. 24.The´ore`me3.2:FormuledeGrassmann. 25.Preuveducorollaire3.2:Crit`erepourquedeuxsous-espacesvectorielssoient supple´mentaires.
Chapitre 2 26.D´enition1.1/1.2:Applicationline´aire. 27.De´nition1.3:Endomorphisme. 28. Preuvede la proposition 1.5 :soientE,FetGtroisK-espaces vectoriels et g:EFetf:FGtxiacpapdoenulippaslorAls.reiae´nilsnoitacilfgest uneapplicationline´airedeEdansG. 29.Proposition2.1:Imagedunsous-espacevectorielparuneapplicationlin´eaire. 30.De´nition2.1:Imageduneapplicationlin´eaire. 31.Proposition2.4:Imager´eciproquedunsous-espacevectoriel. 32.D´enition2.2:Noyauduneapplicationlin´eaire. 33.Proposition2.5avecpreuve:Crite`redinjectivit´epouruneapplicationline´aire. 34.Th´eor`eme2.1:durang. 35.D´enition3.1:Isomorphisme. 36.D´enition3.2:Automorphisme. 1 37. Preuvede la proposition 3.1 :Sifest un isomorphisme, alorsfest une application line´aire.
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38.Proposition3.3avecpreuve:e´quivalenceentreapplicationsline´airesinjectives, surjectivesetisomorphismesquandlesespacesded´epartetdarrive´eontmeˆme dimension. 39.D´enition4.1:rangduneapplicationline´aire.
Chapitre 3 40.De´nition1.7:Matriceidentite´. 41.De´nition2.1:Matriceduneapplicationlin´eaire. 42.D´enition4.1:Produitdedeuxmatrices. 43.Th´eor`eme4.1:Interpre´tationduproduitmatricielcommecompose´dedeuxappli-cationsline´aires. 44.The´or`eme4.2avecpreuve:Associativit´eduproduitmatriciel. 45.D´enition4.3:Inversibilit´edesmatrices. 46.Preuvedelaproposition4.2:Unicit´edelinverse. 47.Proposition4.4avecpreuve:Inversibilit´eduproduitdedeuxmatrices. 48. Proposition4.5 :Produit de deux matrices diagonales. 49.D´enition4.7:Matricestriangulairessup´erieuresettriangulairessupe´rieuresstrictes (resp.inf´erieures). 50.De´nition5.1:Transpose´edunematrice. 51.Proposition5.1:Ope´rationsusuellesettranspose´e.
Chapitre 4 52.D´enition1.1:Matricedescoordonn´eesdunvecteur. 53.De´nition1.2:Matricedunefamilledevecteurs. 54.De´nition1.3:Matricedepassage. 55.The´ore`me1.1:Changementdecoordonne´es.
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56.Proposition2.1:Formulereliantlescoordonne´esXdexauooxconrd´enesYde y=f(x) pourfin´eaireainsiquee.quroipecr´lla 57.The´ore`me2.1avecpreuve:Changementdebase. 58.De´nition3.1:Rangdunematrice. 59.Proposition3.2:Rangdunefamilledevecteursetrangdelamatriceassocie´e. 60.The´ore`me3.1:Rangduneapplicationline´aireetrangdelamatriceassocie´e. 61.D´enition3.2:Matricessemblables. 62. Proposition3.4 :Rang de deux matrices semblables. 63. Proposition4.1 :Rang d’une matrice et pivot de Gauss. 64.Corollaire4.1:Inversibilite´dunematriceetrang. 65.Proposition4.2:Rangdelatranspose´edunematrice. 66.D´enition5.4:Syst`emedeCramer. ´ 67.The´or`eme5.1:Equivalenceentreinversibilit´e,syst`emedeCramer,rangetAX= 0 =X= 0. 68. Proposition5.4 :Sous-espace vectoriel obtenu comme l’ensemble des solutions d’un syste`mehomoge`neetrelationentredimensionetrangdusyste`me.
Chapitre 4 69.D´enition1.1:Permutation. 70.De´nition1.2:Transposition. 71.De´nition2.1:Applicationmultiline´aireetformep-lin´eaire. 72.D´enition2.2:Applicationmultilin´eairealterne´e. 73.Propositionetd´enition3.1:De´terminantdunendomorphisme. 74. Proposition3.1 avec preuve :det(fg) = det(f) det(g). 75.Th´eor`eme3.1:det(AB) = (detA)(detB). t 76. Proposition3.4 :detA= detA. 4
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