M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique

Publié par

M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique 2009/2010 Feuille d'exercices no 1 NB : toutes les mesures que l'on considerera seront des mesures de probabilite boreliennes. Exercice 1 : Soit ? ? R. On note R? : x 7? x + ? la rotation d'angle ? sur le cercle unite T1. Donner des mesures de probabilite invariantes pour l'application R?. Montrer que la mesure de Lebesgue ? sur le cercle T1 est invariante par la dilatation M : x 7? 2x. Exercice 2 : Soit h une application de [0, 1] dans [0, 1] laissant invariante toutes les mesures boreliennes. Montrer que h ? Id. Exercice bonus : soit X un espace metrique separable muni d'une mesure de probabilite ?. Soit h une application laissant invariantes toutes les mesures absolument continues par rapport a ?. Montrer que pour ??presque tout x, h(x) = x. Exercice 3 : On considere sur [0, 1] l'application h : x 7?? { x/2 si 0 < x ≤ 1 1 si x = 0 Montrer que h n'admet pas de mesure de probabilite invariante. Donner un exemple de fonction continue sur ]0, 1] qui n'admet pas de mesure de probabilite invariante. Exercice 4 : Transformation de Gauss On appelle transformation de Gauss l'application ? : [0, 1] ? [0, 1] definie par ?(x) = 1x ? ?1 x ? ou byc designe la partie entiere de y.

  • m2r universite de grenoble theorie

  • dessin des trajectoires particulieres du pendule

  • equation du mou- vement mq

  • rotation d'angle ? sur le cercle unite


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 66
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
M2R TheorieErgodique
o Feuille d’exercices n1
UniversitedeGrenoble 2009/2010
NB:touteslesmesuresquelonconsidereraserontdesmesuresdeprobabiliteboreliennes.
Exercice 1 : 1 SoitRnote. OnR:x7→x+la rotation d’angleuslrenitcleuecerT. Donner desmesuresdeprobabiliteinvariantespourlapplicationR. 1 Montrer que la mesure de Lebesguesur le cercleTest invariante par la dilatation M:x7→2x.
Exercice 2 : Soithune application de [0,1] dans [0,islantsa1].senneiesborellesmesuretottuseniavirna Montrer quehId. Exercice bonus :soitXemeupnairuabelseetmreisqdemuneppesocraruudeeniltabib . Soithune application laissant invariantes toutes les mesures absolument continues par rapportaque pour. Montrerpresque toutx,h(x) =x.
Exercice 3 : Onconsideresur[0,1] l’application ½ x/2 si0< x1 h:x71 six= 0 Montrer quehedeemploD.etnaixenurennlibibaroarnveitnmdauresepedpaetemsd fonction continue sur ]0,1q]einvariante.erusrpedbabotilinuimeadastpmede
Exercice 4 : Transformation de Gauss On appelle transformation de Gauss l’application: [0,1][0,peinra]1ed ¹ º 1 1 (x) =x x oubycdeentierealaptreidsegieny. LapplicationdeGaussestlieealecrituredesnombressousformedefractioncontinue.
1
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.