MAT 2771 Solutions du test de mi-session 1. Il y a 100 étudiant(e)s ...

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MAT 2771 Solutions du test de mi-session 1. Il y a 100 etudiant(e)s en deuxieme annee de mathematiques. Parmi ces etudiant(e)s, 50 suivent le cours de probabilite mais pas celui de logique, 15 prennent le cours de logique mais pas celui de probabilite, et 2 sont inscrits aux deux cours. Combien d'etudiant(e)s en deuxieme annee de mathematiques ne prennent ni le cours de logique ni celui de probabilite? Solution: Soient A= logique, B=probabilite.
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
Lecture(s) : 95
Source : mysite.science.uottawa.ca
Nombre de pages : 5
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MAT 2771 Solutions du test de misession
1.Ilya100´etudiant(e)sendeuxi`emeann´eedemathe´matiques.Parmicese´tudiant(e)s, 50suiventlecoursdeprobabilit´emaispasceluidelogique,15prennentlecoursde logiquemaispasceluideprobabilite´,et2sontinscritsauxdeuxcours.Combien de´tudiant(e)sendeuxi`emeanne´edemath´ematiquesneprennentnilecoursde logiqueniceluideprobabilite´?
Solution:SoientA=logique,B=probabilite´.PuisqueABest l’union des c c ´ev`enementsdisjointsAB,ABetAB,
c c N(AB) c c = 100N(AB) = 1(N(AB) +N(AB) +N(AB)) = 100(15 + 50 + 2) = 33.
2.LeslettresS,L,U,M,G,U,L,L,I,O,Nsontr´earrange´esauhasardpourformerun motdeonzelettres.Quelleestlaprobabilite´quelestroisLapparaissent danslestroispremi`erespositions?(Pourlescurieux,slumgullionestunvrai motanglaisquisignieragoˆutpeuapp´etissant.)
11! Solution: Ily aarrangements distinguables de 11 lettres, notant qu’il y a 3!2! troisL,deuxU,etqueleslettresrestantessonttoutesdie´rentes.SilestroisL 8! sontdanslestroispremi`erespositions,ilyaarrangementsdistinguablesdes8 2! lettresrestantes.Donc,laprobabilite´quelestroisLsontdanslestroispremie`res 8! 2!3!8! positions est=. 11!/3!2! 11!
3.SoientA,B,Cdes´eve`nementsdansunespacede´chantillonnageStelsqueP(A)=0,4, P(B)=0,5andP(C)=0,3.Onsaitquelese´v`enementsBetCsontmutuellement c exclusifsetqueles´eve`nementsAetBsontind´ependants.TrouverP((AB)C). Solution: c c P((AB)C) =P(AB) +P(C)puisque B et C sont mutuellement exclusifs c c =P(A)P(B) +P(C)stnnead´dpetnniBtoseAeisqupu = (0,6×0,5) + 0,3 = 0,6.
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4.Jelancedeuxde´s´equilibr´es,unrougeetunvert.SoitAl´eve`nementqueled´e rougeapourr´esultat3,4ou5.SoitBle´v`enementquelede´vertapourr´esutlat 1ou2.SoitCle´ve`nementquelasommedesdeuxd´esest7.Lequeldese´nonce´s suivantsestvrai?(Unseuldes´enonc´essuivantsestvrai)
Solution:Ilya36r´esultatspossiblesquisont´equiprobables, 1 1 1 P(A) =, P(B) =, P(C) = 2 3 6 1 P(AB) =P((3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,=2)) =P(A)P(B) 6 1 P(AC) =P((3,4),(4,3),(5,2)) ==P(A)P(C) 12 1 P(BC) =P((6,1),(5,2)) ==P(B)P(C) 18 1 P(ABC) =P((5,=2)) =P(A)P(B)P(C) 36 nadn.stllueenemndtipe´e´svee`enemtnmstuA,B,Csontde
5.L´equipedefootballdelUniversit´edOttawalesGGvaaronterlUniversite´de Toronto la fin de semaine prochaine et McGill la fin de semaine suivante.La prob abilite´quelesGGgagnerontcontreTorontoest0,6.SilesGGgagnentcontre Toronto, leur moral sera bon et ils auront plus de chance de vaincre McGill que silsperdentcontreToronto.Enfait,laprobabilit´econditionnelledegagnercontre McGill´etantdonne´quelesGGgagnentcontreTorontoest0,8.Parcontre,siles GGsontd´efaitsparToronto,laprobabilite´conditionnelledegagnercontreMcGill est0,4.Quelleestlaprobabilite´quelesGGvontgagnerface`aMcGill?
Solution: SoitToetoctnentnortneroTenemuetqsGleagGge´lne`vMl´etemenv`en quelesGGgagnentface`aMcGill.Enseservantdelaformuledelaprobabilit´e totale, c c P(M) =P(M|T)P(T) +P(M|T)P(T) = (0,8×0,6) + (0,4×0,4) = 0,64.
6.Consid´ererlasituationduproble`me5.SilonsaitquelesGGontperdulapartie face`aMcGill,quelleestlaprobabilite´conditionnellequilsontgagne´lapartieface `aToronto?
Solution:Enseservantdelameˆmenotationquedansleproble`me5, c P(TM) c P(T|M) = c P(M) c P(M|T)P(T) 0,2×0,6 = == 0,333 1P(M) 10,64
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7.Uneespe`cedoiseauproduittoujoursunecouve´ede4œufs,etlenombredœufs Xassesuivctiondemnaet:taenoscl´euiqnofalase`ccuscev x40 1 2 3 f(x) 0,1 0,2 0,4 0,1? (i)Trouverlavaleurmanquante(denote´epar?)dansletableau. (ii)Poure´leverlesoisillonsprovenantdunee´closionr´eussie,unoiseaudoitdonner 200grammesdenourriturepourchaqueoisillonquie´clotdunoeufavecsucc`es, et500grammesdenourriturepourluimeˆme(meˆmesiaucundesœufsnaproduit doisillon).Trouvervaleuresp´ere´edelaquantite´denourrituretotalepourtousles oisillonsaillant´eclosavecsucce`s. P Solution: (i)Puisquef(x) = 1, la valeur manquante est 0,2. (ii) SiYtlesuaaqitntto´eelatonedirruerutoisqueloitdeaud,rlanoenros Y= 500 + 200Xa. On E[X] = (0×0,1) + (1×0,2) + (2×0,4) + (3×0,1) + (4×0,2) = 2,1et donc so E[Y] = 500 + 200E[X] = 920g
8.Lafonctionge´ne´ratricedunevariableal´eatoirediscre`teXreepaonn´estdm(t) = t e t2t (1 + 2e+ 3e). Trouverla variance deX. 6 1t1 2t1 3t1 Solution:MX(t) =e+e+ela fonction de masse deXestf(1) =, 6 32 6 1 1 f(2) =,f(3) =. 3 2 1 1 17 Parcons´equent,E[X] = (1×) + (2×) + (3×) =et 6 3 23 2 1 1 1 E[X] = (1×) + (4×) + (9×) = 6 6 3 2 7 25 V ar(X) = 6( )= 3 9 Uneautrefa¸condere´soudreceproble`meestdutiliserlesd´erive´esdeMX(t)a` t= 0. d1 11 t2t3t µ=E[X] =M(0) =MX(t) =e+×2e+×3e   dtt=06 32t=0 1 2 314 7 = ++ == 6 3 26 3 2 d1 23 2′′t2t3t E[X] =M(0) =MX(t) =e+×2e+×3e 2  dtt=06 32t=0 1 4 936 = ++ == 6 6 3 26   2 7 5 2 2 Var(X) =E[X]µ= 6= 3 9
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