MAT1702C Méthodes Mathématiques II Automne 2011

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MAT1702C Methodes Mathematiques II Automne 2011 Yasmine Samia Universite d'Ottawa Mardi, 20 Septembre 2011 Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 1 / 27
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  • −6x2 −
  • l2−−−−−−→ 
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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MAT1702C
Methodes Mathematiques II
Automne 2011
Yasmine Samia
Universite d’Ottawa
Mardi, 20 Septembre 2011
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 1 / 27Annonces
Devoir 1, question 2: "vous n’avez pas a resoudre completement le
systeme s’il est incompatible"
Campus virtuel: Syllabus + Lien pour le site web du cours
Site web du cours: La page des examens des annees precedentes est
maintenant disponible
http://mysite.science.uottawa.ca/ysami013/MAT1702/
MAT1702a_11/
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 2 / 27
O
O
/
/

/
/
Rappel
But: Developper un algorithme systematique pour resoudre les systemes
lineaires (SL)
Technique:
Systeme lineaire Ensemble de solutions
reduction par rapport
Matrice augmentee EF ou RREF
aux lignes
Cours precedent: Nous avons developpe un algorithme pour la reduction
par rapport aux lignes.
Aujourd’hui: Nous allons concentrer sur le passage de la EF ou RREF a
l’ensemble solution.
Question
Supposons que la matrice augmentee d’un certain systeme lineaire est
reduite a la forme EF ou RREF. Quel est alors l’ensemble solution?
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 3 / 27Un exemple
Exemple
Supposons que la matrice augmentee d’un systeme lineaire a ete reduite a
la forme suivante: 2 3
1 6 0 3 0 0
4 50 0 1 4 0 5
0 0 0 0 1 7
Quel est l’ensemble solution?
Le systeme d’equations associe est:
x + 6x + 3x = 01 2 4
x 4x = 53 4
x = 75
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 4 / 27Un exemple (suite)
x + 6x + 3x = 01 2 4
x 4x = 53 4
x = 75
Les colonnes pivots sont: colonnes 1, 3 et 5
Les variables de base sont: x , x et x1 3 5
Les variables libres sont: x et x2 4
On resoud alors le systeme reduit en les variables de base en termes des variables
libres, pour obtenir la solution generale:
8
x = 6x 3x> 1 2 4> x est libre< 2
x = 5 + 4x3 4
>> x est libre4:
x = 75
(les variables de base placees a gauche, les variables libres et les constantes
a droite).
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 5 / 27Exemple (suite)
8
x = 6x 3x> 1 2 4> x est libre< 2
x = 5 + 4x3 4
>> x est libre4:
x = 75
On peut choisir n’importe quelle valeur pour les variables libres, et
ainsi, les valeurs des variables de base peuvent ^etre determinees a
l’aide des equations ci-haut
Chaque choix de valeur des variables libres donne une solution
di erente
L’ensemble solution consiste alors de toutes ces solutions possibles.
Par exemple: Si x = 1;x = 0, la solution correspondante sera2 4
(x ;x ;x ;x ;x ) = ( 6; 1; 5; 0; 7)1 2 3 4 5
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 6 / 271.2 Les descriptons parametriques des ensembles de
solutions
L’ensemble des equations de l’exemple precedent (et tout ensemble
d’equations representant une solution generale d’un systeme lineaire):
8
x = 6x 3x> 1 2 4> x est libre< 2
x = 5 + 4x3 4>> x est libre4:
x = 75
est appele une description parametrique de l’ensemble de solutions,
dans laquelle les variables libres jouent le r^ole de parametres.
Resoudre un systeme , description parametrique de l’ensemble des
solutions (ou bien constater que l’ensemble des solutions est vide).
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 7 / 271.2 Les descriptons parametriques des ensembles de
solutions
Notation d’ensemble
L’ensemble solution est note:
f( 6x 3x ; x ; 5 + 4x ; x ; 7)j x ;x 2Rg2 4 2 4 4 2 4
Remarque
Un ensemble solution peut avoir plusieurs descriptions parametriques.
L’algorithme qu’on utilise donne un description parametrique appelee
forme standard.
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 8 / 27Interpretation Geometrique
Le nombre des parametres (variables libres) dans une description
parametrique d’un ensemble de solutions a une interpretation geometrique.
Supposons que le systeme est compatible:
parametres interpretation geometrique
0 point
1 droite
2 plan

Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 9 / 27Interpretation geometrique: Exemple
Consierons le systeme lineaire suivant en les variables x;y;z:
2z = 0
4x 4z = 0
4x = 0
On ecrit la matrice augmentee et on reduit le systeme:
2 3 2 3 2 3
0 0 2 0 4 0 0 0 4 0 0 0
L $ L L L ! L1 3 2 1 24 5 4 5 4 54 0 4 0! 4 0 4 0! 0 0 4 0
4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0
2 3 2 3
4 0 0 0 4 0 0 0
1L $ L2 2 2L +L ! L2 3 34 4 5 4 5! 0 0 1 0! 0 0 1 0
0 0 2 0 0 0 0 0
2 3
1 0 0 0
1
L $ L1 14 4 5! 0 0 1 0
0 0 0 0
Yasmine Samia (U of O) Methodes Mathematiques II Mardi, 20 Septembre 2011 10 / 27

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