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MAT231, Chapitre 3 MAT231 – Chapitre 3 : Polynômes Université Joseph Fourier – 2008-2009 Pierre Bérard Les transparents et les feuilles d'exercices sont disponibles sur 1/45 MAT231, Chapitre 3 Plan du chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques Division euclidienne Congruences Idéaux, pgcd, ppcm Polynômes irréductibles Factorisation, I Polynôme dérivé et formule de Taylor Factorisation, II 2/45

  • a0 ·

  • corps commutatif

  • polynôme

  • scalaire a0 avec le polynôme

  • polynôme de degré inférieur


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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MAT231,Chapitre3
MAT231 – Chapitre 3 : Polynômes Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
MAT231, Chapitre 3
Plan du chapitre 3
Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques Division euclidienne Congruences Idéaux, pgcd , ppcm Polynômes irréductibles Factorisation, I Polynôme dérivé et formule de Taylor Factorisation, II
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MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques Dénitions Note Dans tout ce chapitre, K désigne un corps commutatif (par exemple R ou C ).
Définition On appelle polynôme à coefficients dans K une suite P = ( a i ) i N d’éléments de K telle que a i = 0 sauf pour un nombre fini d’indices. De manière équivalente, un polynôme P est une suite nulle à partir d’un certai ’est-à dire qu’il existe un entier n n rang, c -(qui dépend a priori de P ) tel que a j = 0 pour tout j n + 1. Autrement dit, P = ( a 0 a 1      a n 0 0     ) . L’élément a i s’appelle le coefficient d’ordre i du polynôme P .
MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques
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Notations I On note K [ X ] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K . I On note 0 le polynôme ( 0 0     ) , dont tous coefficients sont nuls. On note 1 le polynôme ( 1 0 0     ) , dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre 0 qui vaut 1. Cela revient à identifier K à une partie de K [ X ] . I On note (en général) X le polynôme ( 0 1 0 0     ) , dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre 1 qui vaut 1. On dit que X est lindéterminée .
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MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques Structures algébriques Sur l’ensemble K [ X ] , on définit les opérations suivantes. I Addition dans K [ X ] ( a i ) i N + ( b i ) i N := ( a i + b i ) i N I Multiplication d’un élément de K [ X ] par un scalaire de K : λ ( a i ) i N := ( λ a i ) i N I Multiplication dans K [ X ] ( a i ) i N × ( b i ) i N := ( c i ) i N avec c k = X a i b j i + j = k
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Notation. On note K n [ X ] l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n , c’est à dire l’ensemble des polynômes dont les coefficients d’ordre supérieur ou égal à ( n + 1 ) sont nuls.
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Définition Soit P = ( a i ) i N K [ X ] un polynôme à coefficients dans K . Si P est non nul, on note d := max { i | a i 6 = 0 } . Si P est nul, on pose par convention d := −∞ . Le nombre d s’appelle le degré du polynôme P et se note deg ( P ) . Le coefficient d’ordre d , a d (non nul par définition), s’appelle le coefficient dominant de P . On dit qu’un polynôme est unitaire (ou normalisé ) si son coefficient dominant vaut 1.
tier,3oPrt3ehCpa31,ChapiMAT2eusrbqictruSts,géalesurDsemônylnoitiné
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MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques
Proposition Pour tout p 1, le polynôme X p := X ×    × X ( p facteurs) est le polynôme dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre p qui vaut 1. Le polynôme P := ( a 0 a 1      a n 0 0     ) peut s’écrire sous la forme P = a 0 1 + a 1 X + ∙ ∙ ∙ + a n X n ou, plus simplement, P ( X ) = a 0 + a 1 X + ∙ ∙ ∙ + a n X n , où on a identifié le scalaire a 0 avec le polynôme ( a 0 0 0     ) .
On pose X 0 := 1. Alors, deg ( X m ) = m pour tout m N .
Proposition Le triplet ( K [ X ] + × ) est un anneau commutatif dont l’élément neutre pour l’addition est le polynôme 0 et dont l’élément neutre pour la multiplication est le polynôme 1.
Proposition Lensemble K [ X ] muni de l’addition ( + ) et de la multiplication par un scalaire ( ), est un espace vectoriel sur K .
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3,reitapChe3trpiitinéDsemônyloPesalcturStruons,sqieuégrb2T13C,ahAM
tSurno,sinitDsénômePolyre3,apithC3ertipahC,132TMA1054/
Propriété Lensemble K n [ X ] des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un espace vectoriel sur K de dimension ( n + 1 ) . La famille C := { 1 X X 2      X n } en est une base, appellée base canonique de K n [ X ] . Exercice Soit K un corps commutatif et soit { P 0 P 1      P n } une famille de polynômes telle que deg ( P j ) = j , pour 0 j n . Montrer que cette famille est une base de K n [ X ] .
Remarque. Le degré de la somme de deux polynômes de mme degré n peut tre strictement inférieur à n .
Proposition Soient P Q K [ X ] deux polynômes non nuls. I On a deg ( P + Q ) max ( deg ( P ) deg ( Q )) avec égalité si deg ( P ) 6 = deg ( Q ) ; I On a deg ( PQ ) = deg ( P ) + deg ( Q ) . Ces relations s’étendent au cas du polynôme nul de manière évidente.
MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques Propriétés du degré
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selatcruqieuégrbs
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MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques Évaluation d’un polynôme. Fonction polynomiale Définition Soit P K [ X ] un polynôme, P ( X ) := P id = 0 a i X i . Au polynôme P et à l’élément a K , on associe l’élément de K , noté P ( a ) , d P ( a ) := X a i a i i = 0 On dit que P ( a ) est lévaluation du polynôme P au point a . On peut alors introduire l’application de K dans K définie par d x 7→ X a i x i i = 0
Exercice Montrer que toute famille finie de polynômes de K [ X ] , de degrés deux à deux distincts, est libre dans K [ X ] .
Exercice Montrer que l’anneau K [ X ] est intègre. Plus précisément démontrer les assertions suivantes. I Soient P Q K [ X ] . Si PQ = 0 alors P = 0 ou Q = 0. I Soient P Q R K [ X ] . Si PR = QR , alors P = Q .
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algébriques31,CMAT2rt3eahiptierhCpanôlyPo3,niésDmetS,snoitserutcur
Xi=d):(x˜P7nxioeetonalnOixia0=urne˜PpoéralngénervaofdncanoaplsmenôP.leeclypotipahC,1ipahC3erol,Pe3trDéesômynoisnnticuutS,rtlgébresaesDériqutinOnoippanellencfoontilypominolaaesscoéiaepuloynômePlapplicatM32TA
Algorithme de Hörner Soit P ( X ) := a 0 + a 1 X + ∙ ∙ ∙ + a n X n un polynôme à coefficients n ˜ dans K . L’évaluation littérale , P ( a ) = a 0 + a 1 a +    + a n a , de la fonction polynomiale P ˜ au point a K conduit à faire O ( n 2 ) opérations. L’algorithme de Hörner permet de réduire le nombre d’opérations à O ( n ) . Il consiste à écrire P ( a ) = ∙ ∙ ∙ ( a n × a + a n 1 ) × a +    × a + a 0 ˜
˜ Remarque. On peut montrer que l’application P 7→ P , qui à un polynôme de K [ X ] associe sa fonction polynomiale dans F ( K K ) , est un homomorphisme d’algèbres, c’est-à-dire, pour tous P Q K , pour tout α K et pour tout a K , on a ^ ˜ ˜ ( α P + Q )( a ) = α P ( a ) + Q ( a ) , c’est-à-dire, α P + Q = α P + Q g ˜ ˜ et, de mme, PQ = PQ . 13/45
MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques
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MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques
n :=5 : P :=array(0..5,[1,3,2,5,3,1]) : a :=Pi : b :=P[n] : for i from 1 to n do b :=b ? a+P[n-i] od : print(b) ; Résultat :
(((( π + 3 ) π + 5 ) π + 2 ) π + 3 ) π + 1
MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Division euclidienne Division euclidienne
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Théorème Soient A B K [ X ] deux polynômes, avec B non nul. Alors il existe un couple ( Q R ) de polynômes de K [ X ] , et un seul, vérifiant A = BQ + R et deg ( R ) < deg ( B )
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13C,ahipAM2Titre3,Potre3ChapidnecuilenmesDlynôioneivis
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MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Division euclidienne
Remarque. Si B divise A et si A est non nul, on a deg ( B ) deg ( A ) .
Exercice Déterminer dans R [ X ] le quotient et le reste de la division euclidienne de A ( X ) := X 7 + 3 X 2 + 2 par B ( X ) := X 2 + X + 1.
Exercice Dans K [ X ] , déterminer les couples ( A B ) de polynômes tel que A divise B et B divise A .
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Définition Le polynôme Q ( resp. R ) s’appelle le quotient ( resp. le reste ) de la division euclidienne de A par B .
Définition On dit que le polynôme B (non nul) divise le polynôme A , ou encore que le polynôme A est un multiple du polynôme B , s’il existe un polynôme Q tel que A = BQ . On dit aussi que l’on peut factoriser A par B .
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emCsnorgeucnseoCngruences2TAMC,13ipah3ertapChreitPo3,nôly0/2
MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Congruences
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Théorème Étant donné P K [ X ] , non nul, la relation A B ( mod P ) est une relation d’équivalence dans K [ X ] . De plus, 1. La relation ( mod P ) est compatible avec les opérations sur K [ X ] ; si A 1 B 2 ( mod P ) et A 2 B 2 ( mod P ) , alors 1.1 A 1 + A 2 B 1 + B 2 ( mod P ) , 1.2 A 1 A 2 B 1 B 2 ( mod P ) . 1.3 En particulier, si A B ( mod P ) , alors A n B n ( mod P ) pour tout n N , et λ A λ B ( mod P ) pour tout λ K . 2. De plus, A B ( mod P ) si et seulement si A et B ont le mme reste dans la division euclidienne par P .
Définition Soit P K [ X ] , non nul. Soient deux polynômes A B K [ X ] . On dit que A est congru à B modulo P , et on écrit A B ( mod P ) si P divise A B .
sec3eP,iprtC3ahtierruenCongômesolynTAM,132pahC2
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Exercice Déterminer les restes de la division euclidienne de A ( X ) := X 2007 + X 5 + X par B 1 ( X ) := X 2 + 1 et par B 2 ( X ) := X 2 + X + 1.
MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Idéaux, pgcd , ppcm Idéaux, pgcd , ppcm Théorème et Définition Soit I un idéal de K [ X ] , non réduit à { 0 } . Il existe un unique polynôme P , de coefficient dominant égal à 1, tel que I soit égal à ( P ) , l’idéal engendré par P , défini par ( P ) := { PQ K [ X ] | Q K [ X ] }
Lemme Soient A B K [ X ] . L’ensemble I ( A B ) := { P K [ X ] | ∃ Q 1 Q 2 K [ X ] tels que P = Q 1 A + Q 2 B } est un idéal de K [ X ] ( idéal engendré par A et B ).
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