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MAT231, Chapitre 1 MAT231 – Chapitre 1 : Notions fondamentales Université Joseph Fourier – 2008-2009 Pierre Bérard Les transparents et les feuilles d'exercices sont disponibles sur 1/24 MAT231, Chapitre 1 Plan du chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Relations d'ordre Propriété fondamentale de l'ensemble N Groupes, Anneaux, Corps Espaces vectoriels 2/24

  • relations d'ordre

  • espaces vectoriels

  • loi de composition

  • groupe commutatif

  • entier relatif

  • raisonnement par récurrence

  • relation binaire


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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MAT231, Chapitre 1
MAT231 – Chapitre 1 : Notions fondamentales Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
MAT231, Chapitre 1
Plan du chapitre 1
Chapitre 1, Notions fondamentales Relations d’ rdre o Propriété fondamentale de l’ensemble N Groupes, Anneaux, Corps Espaces vectoriels
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MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales
Nous supposerons connus les ensembles de nombres usuels,
I N , l’ensemble des entiers naturels , I Z , l’ emble des entiers (ou des entiers relatifs ), ens I Q , l ensemble des nombres rationnels , I R , l’ensemble des nombres réels , I C , l’ensemble des nombres complexes .
Nous préciserons, si nécessaire, leurs propriétés au fur et à mesure des besoins.
MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Relations d’ordre Relations d’ordre
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Définition Une relation binaire sur un ensemble non vide A est une relation d’ordre si elle est 1. Réflexive : pour tout a A , a a ; 2. Anti-symétrique : pour tous a b A , si ( a b et b a ) alors a = b ; 3. Transitive : pour tous a b c A , si ( a b et b c ) alors a c . On dit alors que l’ensemble ( A ) est un ensemble ordonné .
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Exemples 1. Les ensembles ( N ) et ( Z ) sont ordonnés. 2. Soit A un ensemble. Soit P ( A ) l’ensemble des parties de A . Lensemble ( P ( A ) ) est un ensemble ordonné ( désigne la relation d’inclusion).
MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Relations d’ordre
Définition Soit ( A ) un ensemble ordonné et soit B A une partie non vide de A . On dit que a A est un majorant de B si, pour tout x B , on a x a . On dit que a A est le plus grand élément de B si a est un majorant de B et si a B . De mme, on dit que a A est un minorant de B si, pour tout x B , on a a x . On dit que a A est le plus petit élément de B si a est un minorant de B et si a B .
Définition Un ensemble ordonné ( A ) est dit totalement ordonné si, pour tous a b A , on a a b ou b a .
T2MApiha,C31sfontionntaldamehCpart1e,1oNtierordonsdlatiesReer
MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Propriété fondamentale de l’ensemble N Propriété fondamentale de l’ensemble N
Théorème [admis] L’ensemble des entiers naturels possède les propriétés suivantes. 1. Toute partie non vide de ( N ) admet un plus petit élément. 2. Toute partie non vide majorée de ( N ) admet un plus grand élément. 3. Lensemble ( N ) n’admet pas de plus grand élément.
Notations. On note s l’application de N dans N définie par s ( n ) := n + 1 pour tout n N .
MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Propriété fondamentale de l’ensemble N
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Théorème Soit A une partie non vide de N et soit a := min ( A ) son plus petit élément. Si s ( A ) A alors A = { n N | n a } . En particulier, si 0 A et s ( A ) A alors A = N .
Raisonnement par récurrence Soit P une propriété définie sur l’ensemble { n N | n a } . Si P ( a ) est vraie et si, pour tout n a , P ( n ) vraie implique P ( s ( n )) , cest-à-dire P ( n + 1 ) , vraie , alors P ( n ) est vraie pour tout n a .
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MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Groupes, Anneaux, Corps Groupes, Anneaux, Corps Soit ( G  ? ) un ensemble non vide, muni d’une loi de composition interne notée ? .
Définition On dit que ( G  ? ) est un groupe si la loi ? possède les propriétés suivantes. I Associativité : pour tous x y z G , on a x ? ( y ? z ) = ( x ? y ) ? z . I Élément neutre : il existe un élément e G G tel que, pour tout x G , on a x ? e G = e G ? x = x . I Inverse : pour tout x G , il existe un élément y G , appelé inverse de x , tel que x ? y = y ? x = e G .
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MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Groupes, Anneaux, Corps Définition On dit que le groupe est commutatif , si la loi ? vérifie également l’axiome de Commutativité : pour tous x y G , on a x ? y = y ? x . Exemples I Lensemble ( Z +) est un groupe commutatif. ˆ ˆ ˆ ˆ I L ensemble Z 4 := { 0 1 2 3 } muni de l’opération ˆ+ définie dans le tableau ci-après est un groupe commutatif. ˆ 0 ˆ 1 ˆ ˆ 2 ˆ 3 + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 1 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 2 3 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 3 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 0 1 2
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Définition On dit que l’anneau ( A + × ) est intègre s’il est commutatif et si a b A et a × b = 0 impliquent a = 0 ou b = 0. Si les éléments a b A vérifient a 6 = 0 b 6 = 0, et a × b = 0, on dit que ce sont des diviseurs de zéro . Exemples, I I Les ensembles ( Z + ) et ( Q + ) sont des anneaux commutatifs intègres. I Lensemble M 2 ( R ) des matrices 2 × 2 à coefficients réels, muni de l’addition et de la multiplication usuelles des matrices, est un anneau. Cet anneau n’est pas commutatif.
Définition Un anneau est un ensemble non vide ( A + × ) muni de deux lois de composition interne vérifiant, I ( A +) est un groupe commutatif (d’élément neutre 0 A ), I la multiplication × est associative et elle admet un élément neutre 1 A , I la multiplication est distributive par rapport à l’addition, c est-à-dire, pour tous a y z A , on a a × ( y + z ) = a × y + a × z et ( y + z ) × a = y × a + z × a . On dit que l’anneau ( A + × ) est commutatif si la multiplication est commutative.
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1oCprsneAnx,auouGrs,petnemselafsnoadno31T2MAtrpiha,CtipahC1eitoN,1er
AM2TnofsnoitoN,1ertiapChe1trpiha,C31,xoCprs,snAenuaesGroupedamentalorscdentutmmcops41.sfita
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Exemples, II I Lensemble ( Z 4 × ˆ ), muni des opérations et × ˆ définies dans les tableaux suivants, est un anneau commutatif qui admet des diviseurs de zéro. ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 1 ˆ 2 ˆ 3 ˆ × ˆ 0 1 2 ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1
MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Groupes, Anneaux, Corps Corps Définition Un corps est un anneau ( K + × ) non réduit à { 0 } (l’élément neutre de + ) et tel que tout élément de K  { 0 } soit inversible pour la multiplication. On dit que le corps ( K + × ) est commutatif si la multiplication est commutative.
42/es,munisdesopéraitnoususleelsosomsnesbrtiraneonr,slsleémoc,xelpsene.)LIte1no1tCdeRetlesQsemblruopselbisrevninsioaticpltiulamnuocpr(snseptsaélémentssesseulsuaenmmoctsesnanugrtèCee.atutinifd)×+Z(reitneseLIIs,lelembseenexpmE
,xuaproC,sepennA/216s
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Notations Dans la suite du cours, A désignera un anneau commutatif ( A + ) et K un corps commutatif ( K + ) . On notera 0 l’élément neutre de l’addition et 1 celui de la multiplication.
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MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Groupes, Anneaux, Corps
Exemples, II ˆ ˆ ˆ Lensemble Z 3 := { 0 1 2 } , muni des opérations définies dans les tableaux suivants, est un corps commutatif. 0 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 1 ˆ ˆ 2 2 × ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 1 2 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 2 0 1 0 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 0 1 2 0 2 1
AMChe1trpiha,C31T2nofsoNiter,1patiGroualesmentonda
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MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Espaces vectoriels
Définition Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur le corps K est la donnée d’un groupe commutatif ( E +) , dont l’élément neutre est noté 0 E , et d’une action de K sur E , K × E 3 ( λ x ) E , ( λ x ) 7→ λ x (ou plus simplement λ x ) telle que I pour tous α β K et x E , ( α + β ) x = α x + β x , I pour tous α K et x y E , α ( x + y ) = α x + α y , I pour tous α β K et x E , ( αβ ) x = α ( β x ) , I pour tout x E , 1 K x = x .
Exemples I Lensemble R n , muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel sur R . I Lensemble C n , muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel sur C . I Lensemble M m n ( R ) des matrices à m lignes et n colonnes, muni des opérations usuelles, addition des matrices et multiplication d’une matrice par un scalaire, est un espace vectoriel sur R .
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Définition On dit qu’une famille de vecteurs de E est une base de E si elle est libre et génératrice.
Définition On dit qu’une famille { u j } j ∈I de vecteurs de E est une famille libre si, pour tout sous-ensemble fini J ⊂ I , l’égalité P j ∈J α j u j = 0 implique que α j = 0 pour tout j ∈ J .
MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Espaces vectoriels
Définition On appelle combinaison linéaire de vecteurs de E toute somme (finie) de la forme α 1 u 1 + ∙ ∙ ∙ + α k u k où les α j sont des éléments de K et où les u j sont des éléments de E . Définition On dit qu’une famille { u j } j ∈I de vecteurs de E est une famille génératrice si tout élément de E peut s’écrire comme combinaison linéaire (finie) d’éléments de la famille { u j } j ∈I .
42/sEletaenveesacspoitoN,1emadnofsnitreChappitr1Cha32,1MTAtcroeisl
elEsneatdnmasnofielsctoresvespacATM1,23apChreitahC1rtipN,1eoito
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MAT231, Chapitre 1 Chapitre 1, Notions fondamentales Espaces vectoriels Définition Soient E F deux espaces vectoriels sur le corps K . Une application linéaire u de E dans F est une application u : E F qui vérifie 1. Pour tous x y E , on a u ( x + y ) = u ( x ) + u ( y ) . 2. Pour tout α K et pour tout x E , on a u ( α x ) = α u ( x ) Notation On note L ( E F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F , muni des opérations suivantes, 1. Addition. Pour tous u v ∈ L ( E F ) , l’application u + v est définie par, [pour tout x E ( u + v )( x ) := u ( x ) + v ( x ) .] 2. Action de K . Pour tout α K et pour tout u ∈ L ( E F ) , lapplication α u est définie par, [pour tout x E ( α u )( x ) := α u ( x ) .] On note L K ( E F ) quand on veut spécifier le corps.
Exemples I La famille e 1 := ( 1 0      0 )      e n := ( 0      0 1 ) est une n famille libre et génératrice de R n . C’est une base de R . I La famille { 1 X X 2    } est une base de l’espace vectoriel sur C [ X ] des polynômes à coefficients complexes. I La famille { e ikx } k Z est une famille libre dans l’espace vectoriel sur C des fonctions continues de R dans C . Elle n’est pas génératrice.
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