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MAT231, Chapitre 4 MAT231 – Chapitre 4 : Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2008-2009 Pierre Bérard 1/85 MAT231, Chapitre 4 Rappels de première année Applications linéaires, compléments Matrice associée à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d'un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II 2/85

  • famille

  • groupe de permutations

  • changements de base

  • dimension

  • corps commutatif

  • combinaison linéaire

  • famille libre


Publié le : mardi 19 juin 2012
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MAT231, Chapitre 4
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MAT231 – Chapitre 4 : Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Rappels de première année Applications linéaires, compléments Matrice associée à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d’un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II
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Chapitre 4, Algèbre linéaire
Dans tout ce chapitre,KdésigneRouC.
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Rappels de première année
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Définition (Espace vectoriel) SoitKun corps commutatif. Unespace vectorielsur le corpsKest la donnée d’un groupe commutatif(E+), dont l’élément neutre est noté 0E, et d une action deKsurE,:K×EE, (λx)7→λx(ou plus simplementλx) telle que Ipour tousα βKetxE,(α+β)x=αx+βx, Ipour tousαKetxyE,α(x+y) =αx+αy, Ipour tousα βKetxE,(αβ)x=α(βx), Ipour toutxE, 1Kx=x.
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AMTR2a3p1p,elCshaediptprree4mièreannée
Exemples ILneesbmelRn, muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surR. IblemnseLeCn, muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surC. IlebmesneLMmn(R)des matrices àmlignes etncolonnes, muni des opérations usuelles, addition des matrices et multiplication d’une matrice par un scalaire, est un espace vectoriel surR.
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Définition On appellecombinaison linéairede vecteurs deEtoute somme (finie) de la formeα1u1+∙ ∙ ∙+αkukoù lesαjsont des éléments deKet où lesujsont des éléments deE. Définition On dit qu’une famille{uj}j∈Ide vecteurs deEest unefamille génératricesi tout élément deEpeut s’écrire comme combinaison linéaire (finie) d’éléments de la famille{uj}j∈I.
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Définition On dit qu’une famille{uj}j∈Ide vecteurs deEest unefamille libre si, pour tout sous-ensemble finiJ ⊂ I, l’égalitéPj∈Jαjuj=0 implique queαj=0 pour toutj∈ J.
Définition On dit qu’une famille de vecteurs deEest unebasedeEsi elle est libre et génératrice.
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Exemples ILa famillee1:= (10    0)    en:= (0    01)est une famille libre et génératrice deRn. C’est une base deRn. ILa famille{1XX2   }est une base de l’espace vectoriel sur C[X]des polynômes à coefficients complexes. ILa famille{eikx}kZest une famille libre dans l’espace vectoriel surCdes fonctions continues deRdansC. Elle n’est pas génératrice.
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MATR2a3p1p,leCshaedpitprree4mièrenanée
Proposition et Définition SoitAune partie non vide d’un espace vectorielE. L’ensemble Vect(A)des combinaisons linéaires de vecteurs appartenant àA est un sous-espace vectoriel deE, appelél’espace vectoriel engendré par A. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace vectoriel deEqui contientA.
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Définition On dit qu’unK-espace vectorielEest dedimension finiesur le corpsKs’il possède une famille génératrice finie. On dit qu’un espace vectoriel est dedimension infinies’il n’est pas de dimension finie.
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Théorème (de la base incomplète) SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. SoientLune famille libre deEetGune famille génératrice. Alors, il existe une baseBdeEtelle queL ⊂ B ⊂ L ∪ G.
Corollaire SoitEun espace vectoriel de dimension finie, non réduit à{0}. 1.Toute famille libre deEest contenue dans une base. 2.Toute famille génératrice deEcontient une base. 3.L’espace vectorielEpossède une base finie.
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Lemme SoitEun espace vectoriel. Soit{v1    vn}une famille den vecteurs deE. Alors, toute famille de(n+1)vecteurs du sous-espace vectorielVect(v1    vn)est liée.
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Théorème et Définition SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Alors, toutes les bases deEont le mme nombre d’éléments. Ce nombre s’appelle ladimensionde l’espace vectorielE.
Attention.La dimension dépend du corps de base. Ainsi, le C-espace vectorielC2est de dimension 2 surC, mais il est de dimension 4 si on le voit comme unR-espace vectoriel.
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MATR2a3p1p,elCsahdeiptprree4mièrenaneé
Corollaire SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn. 1.Toute partie libre deEa au plusnéléments. 2.Toute partie libre deEqui possèdenéléments est une base. 3.Toute partie génératrice deEa au moinsnéléments. 4.Toute partie génératrice deEqui anéléments est une base.
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SoitEun espace vectoriel. SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels deE, alorsFGest un sous-espace vectoriel deE. Attention, en généralFGn’est pas un sous-espace vectoriel de E.
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AMTR2a3p1p,leCshadepitprree4imrèenanée
Définition SoitEun espace vectoriel et soientFetGdeux sous-espaces vectoriels. 1.On noteH:=F+Gl’espace vectorielVect(FG)engendré parFetG. On dit que l’espaceHest lasomme des espaces FetG. 2.On dit queHest lasomme directe des espaces FetGsi H=F+Get si de plusFG={0}. On écrit alors H=FG. 3.SiE=FG, on dit que les espacesFetGsont supplémentaires(ou encore que l’espaceGest un supplémentaire deFet réciproquement).
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Proposition L’espace vectorielHest somme directe des sous-espaces vectoriels FetG,H=FG, si et seulement si tout vecteurxdeHpeut s écrire de manière unique sous la formex=xF+xGavecxFF etxGG. SiFetGsont de dimension finie, alorsHest également de dimension finie. Étant donnésFune base deFetG une base deG, la familleF ∪ Gest une base deHet dim(H) =dim(F) +dim(G).
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Généralisation.Plus généralement, soientE1    Epdes sous-espaces vectoriels deE, de sommeF:=E1+∙ ∙ ∙+Ep(définie commeVect(iEi)). On dit que les espacesEjsont en somme directe, et on écrit leur sommeF=E1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Epsi, pour tout j1jp,EjT E1+∙ ∙ ∙+Ej1+Ej+1+∙ ∙ ∙+Ep={0}. Proposition Les sous-espacesEj1jpsont en somme directe si et seulement si tout vecteurxdeF, s’écrit de manière unique comme x=x1+∙ ∙ ∙+xpavecxjEjpour 1jp. De plus, siEjest une base deEj, pour 1jp, alorsE=jp=1Ejest une base de F. Si les espacesEisont de dimension finie,Fest également de dimension finie et on a l’égalitédim(F) =dim(E1) +∙ ∙ ∙+dim(Ep).
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Définition (Application linéaire) SoientEFdeux espaces vectoriels sur le corpsK. Unepalpciation linéaire udeEdansFest une applicationu:EFqui vérifie 1.Pour tousxyE, on au(x+y) =u(x) +u(y). 2.Pour toutαKet pour toutxE, on au(αx) =αu(x)
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Définition SoientEFdeuxK-espaces vectoriels etu:EFune application linéaire. 1.On appelleimagedeu, et on noteIm(u), le sous-espace vectorielu(E)F. 2.On appellenoyaudeu, et on noteKer(u)le sous-espace vectorielu1(0)E.
Proposition SoientEFdeuxK-espaces vectoriels etu:EFune application linéaire. Alors, Iicplioataplnuest injective si et seulement siKer(u) ={0}; Ionticalappiluest surjective si et seulement siIm(u) =F.
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Corollaire Si l’espace vectorielEest de dimension finie et siE={e1    en} est une base deE, on poseV={u(e1)    u(en)}On a les propriétés suivantes. ILpalpaticniouest surjective si et seulement siVengendreF. IntaoilpciLpauest injective si et seulement siVest libre dans F. IcationLappiluest bijective si et seulement siVest une base deF. Dans ce cas, on dit queuest unisomorphismedeEsur F, queEetFsontisomorpheset on a dim(E) =dim(F).
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Théorème (du rang) SoientEFdeuxK-espaces vectoriels etu:EFune application linéaire. Si l’espace vectorielEest de dimention finie, alors dim(E) =dim(Im(u)) +dim(Ker(u))
Application.SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielEde dimension finie, alors dim(F+G) +dim(FG) =dim(F) +dim(G)
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Théorème SoitEun espace vectoriel de dimension finien, et soitFun espace vectoriel. On se donne respectivementE={e1    en}une base deEetV={v1    vn}une famille de vecteurs deF. Alors, il existe une application linéaireudeEdansF, et une seule, telle que u(ei) =vipour 1in. Autrement dit, une application linéaire est entièrement déterminée par la donnée de l’image d’une base.
Proposition SoientEetHdeux espaces vectoriels etuune application linéaire deEdansH. SoientFGdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires deE. Alors l’applicationuest entièrement déterminée par ses restrictionsu|Fetu|G.
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