Mathématiques appliquées aux sciences médicales

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Mathématiques appliquées aux sciences médicales Yvik Swan Université Libre de Bruxelles 2011-2012 1 / 33 Proposition La différence entre un entier à deux chiffres et la somme de ses chiffres est toujours un multiple de 9. Démonstration. - Tout nombre entier à deux chiffres s'écrit (en base décimale) a ∗ 10 + b; la somme de ses chiffres est donc a + b. - Je vous ai demandé de calculer a ∗ 10 + b − (a + b) = a ∗ 10− a = 9 ∗ a qui est donc nécessairement un multiple de 9.
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Mathématiquesappliquéesauxsciencesmédicales
YvikSwan
UniversitéLibredeBruxelles
2011-2012
Proposition Ladifférenceentreunentieràdeuxchiffresetlasommedeseschiffresest toujours un multiplede9.
Démonstration. - Toutnombreentieràdeuxchiffress’écrit(enbasedécimale) a 10 + b ; lasommedeseschiffresestdonc a + b . - Jevousaidemandédecalculer a 10 + b ( a + b )= a 10 a = 9 a quiestdoncnécessairementunmultiplede9.
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Planducours
1. Introduction 2. Fonctionsd’unevariableréelle 2.1 Fonctionsélémentaires 2.2 Limites 2.3 Continuitéetdérivabilité 2.4 Intégrales 3. Fonctionsdeplusieursvariables 3.1 Graphes,surfacesetcoordonnées 3.2 Espacesvectoriels,transformationslinéairesetmatrices 3.3 Limites,continuitéetdifférentiabilité 3.4 Intégrales 4. Equationsdifférentielles 5. Mathématiquesetaléatoire 5.1 Combinatoire 5.2 Probabilités 5.3 Applications
- Touteslesinformationsconcernantcecoursserontrelayéesvial’adresse http://homepages.ulb.ac.be/ yvswan/MATHG101.htm - Vouspouvezmecontactervia yvswan@ulb.ac.be . Attention... Jevousdemande (i) d’utiliseruneadresseulb(votrenom@ulb.ac.be) (ii) dementionnervotrenumérodelisteetvotrematricule (iii) d’êtrepolietdeveilleràuneorthographecorrecte. Sil’unedecescontraintesn’estpassatisfaite,jenerépondraipas. Servicesmisàvotredisposition: - Onvousaassignéun(e)assistant(e):chérissez-le(oula). - Onvousaassignéuntuteur:utilisez-le. - Onvousaorganisédesguidances:abusez-en!
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-Utilitéd’uncoursdemathenBA1sciencesmédicales: Cecoursestuncoursdeservice(s).Lesnotionsettechniquesquenous allonsabordervousservirontdans(presque)touteslesautresbranchesde votrecursus,quecesoitenbiologie,anatomieou... -Finalitéd’uncoursdemathenBA1sciencesmédicales: Savoirmodéliser,résoudreetexpliquer. -Cequenousallonsfaireensemble: Introduire(approfondir)denombreusesnotionsmathématiques(fonctions, matrices,équationsdifférentielles,intégrales,proba...)enlesplaçantdans uncontexte. -Cequenouschercheronsàtester: Votrecapacitéàraisonner,déduireetconclure.
Principefondamentaldelamathématique Doubteverything,acceptnothing.
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Interlude
Blaguedemathématicien Unmathématicien,unphysicienetunéconomistesontdansunhélicoptère.Ilspassent audessusd’unchampprèsdeDoolin(Irlande),danslequelilyaunmouton. - l’économiste: Cemoutonestblanc.J’endéduisquetouslesmoutonsIrlandaissont blancs. - lephysicien: Cemoutonestblanc.J’endéduisqu’ilyadesmoutonsblancsen Irlande. - lemathématicien: Toutcequejepeuxdireestqu’enIrlande,ilyaunchamp,dans lequelilyaunmouton,dontlehautdudosestblanc.
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Enmathématiqueonn’admetpasd’affirmationfloue.
Atitred’illustration,nousallonsensembletenter(sanssuccès)dedéfinirlafonction exponentielle n.a
Définition(Incomplète) Soitaunnombreréel n ème puissancedea,par
etnunentierstrictementpositif.Ondéfinita n ,la n a = | a a a {z ... } a. siofn
Ouimais,quevalent5 0 ,5 2 ,5 0 . 5 ,5 π ?
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Avantd’améliorerla DéfinitionIncomplète ,regardonsunepropriétéimportantede l’exponentielle. Propriété Soit a réel, n et m entiersstrictementpositifs.Alors a n + m = a n a m
Démonstration. m+n Onsaitque a = a a a ... a * a a a ... a . |{z}|{z} n fois m fois En étendant cettepropriétéauxpuissancesentièresnégativesondéduitque 5 = 5 1 = 5 2 1 = 5 2 5 1 . Nousconcluonsque,pourquela DéfinitionIncomplète fassesens,ilseraitvraiment idéalque 5 1 = 5 = 1 , 255 i.e.5 1 soit le nombreréelqui,multipliépar5,rend1!
Grâceàcequenousvenonsdevoirnoussavonscommentaméliorerladéfinition! Définition(Incomplètebis) Soitaunnombreréel nonnul etnunentierstrictementpositif.Ondéfinita n ,la n ème puissancedea,par n a = | a a a {z ... } a. siofn
Ondéfinitégalement
1 a n = ,l’inverse(multiplicatif)dea n . na
Ouimais,quevalent5 0 ,5 0 . 5 ,5 π ?
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Reprenonsencorelapropriétéimportantedel’exponentielle. Propriété Soit a réelnonnul, n et m entiersstrictementpositifs.Alors a n + m = a n a m Enpoussantunpeuleraisonnementprécédentnousdéduisons 5 0 = 5 3 3 = 5 3 5 3 = 1 .
Définition(Incomplètebisbis) Soitaunnombreréelnonnuletnunentierstrictementpositif.Ondéfinita n ,la n ème puissancedea,para n = a a a ... a.Ondénitégalementa 0 = 1 ,et }z{| 1 nfois a n = ,l’inverse(multiplicatif)dea n . na Ouimais,quevalent5 0 . 5 ,5 π ?
Reprenonsencoreencorelapropriétéimportantedel’exponentielle. Propriété Soit a réelnonnul, n et m entierspositifs.Alors a n + m = a n a m . En étendant cettepropriétéauxpuissancesfractionnairesondéduit 111 1 3 5 = 5 1 = 5 3 / 3 = 5 3 + 3 + 3 = 5 3 etdonc5 1 / 3 est le nombreréelqui,prisaucube,rend5intouché. Définition(Incomplètebisbisbis) Soitaunnombreréelnonnuletnunentierpositif.Ondéfinita n ,lan ème puissance 1 dea,para n = a a a ... a.Ondénitégalementa 0 = 1 ,eta n = n ,l’inverse a}z{|siofn multiplicatifdea n et a 1 / n = n a .
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Attentionànepass’exciterdetrop!Nousavonsdéfini a 1 / n commelenombrequi, prisàla n èmepuissance,donne a etcepourtout a réel. Evidemmentceciestbeaucouptropenthousiaste,carimpliqueraitque 2 ( 1 ) 1 / 2 = 1 ortoutlemondesait(??)quececin’estpasvrai! Ilyadoncunproblème...qu’onnepeutrésoudresimplement!
Définition(Incomplètebisbisbisbis) Soitaunnombreréel strictementpositif etnunentierpositif.Ondéfinita n ,la n ème puissancedea,para n = a a a ... a.Ondénitégalementa 0 = 1 ,et }z{| nfois a n = 1 ,l’inversemultiplicatifdea n eta 1 / n = n a . na Etonestcontentcaronpeuttoutcalculer
5 3 / 4 = 5 3 1 / 4 = 5 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 = 5 1 / 4 5 1 / 4 5 1 / 4 =( 5 1 / 4 ) 3 =( 4 5 ) 3
.cte Ouimaisquefairepourunepuissancequines’écritpassousformedefraction??Par exemple quevaut5 π ?
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Unedéfinitionparessenceabstraite... Lenombre π estirrationnel,i.e.ilnes’écritpassousformedefraction.Son expansion décimale est π = 3 . 14159265358979323846264338327950288 ...
353 3 . 1 5 3 . 1 3 . 14 5 3 . 14 3 . 141 5 3 . 141 3 . 1415 5 3 . 1415 3 . 14159 5 3 . 14159 ...... π5π
Lerésultatdel’opération5 π estdoncune limite ,pardéfinition!
Définition(Complète??) Soitaunnombreréelstrictementpositifetnunentierstrictementpositif.Ondéfinit a n ,lan ème puissancedea,para n = a a a ... a.Ondénitégalementa 0 = 1 ,et }z{| nfois 1 a n = n ,l’inversemultiplicatifdea n eta 1 / n = n a . Sipestunnombreréelquine a s’écrit P passouslaformedefractionetsipadmetl’expansiondécimale p = j = 0 p j 10 j ondéfinit jkP a p = lim a j = 0 p j 10 . (1) k
Etonestcontent?? Pastoutàfait:c’estunedéfinitiondisgracieuse,avecplusdesous-casquedecaset enplus qu’est-cequinousgarantitquelalimitedansl’équation(1)estbien définie???
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L’approcheprécédenteestvraimentfoireuse.Unpeuderéflexion(profonde)montre qu’unemeilleuremanièrededéfinirlafonctionexponentielleestlasuivante. Définition Soit a réelpositif.Alorslafonction f : R R : x 7→ a x estl’ unique application continue telleque f ( 1 )= a et,pourtout x , y , f ( x + y )= f ( x ) f ( y ) .(2)
Bienquesuperbe,cettedéfinitiondemandedecomprendrelacontinuitéetdevérifier l’unicité...nousn’ensommespasencorecapables!
Etcen’estqueledébut,caronn’apasabordéla création de i 2 = 1 , lenombre imaginaire etsesconséquences:lesfonctionscomplexes,holomorphes, analytiques,lesbranchesetlessingularités,etc.
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Interlude
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l’interlude
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