Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Approximation polynomiale

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

  • norme uniforme

  • polynome interpolateur de lagrange

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  • theoreme

  • interpolation de lagrange


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Documentmis`ajourle6juillet2009
Sommaire
1
2
Approximation polynomiale
Polynˆomesorthogonauxet
et norme uniforme
norme quadratique
Sommaire
1
2
Approximation polynomiale et norme uniforme Interpolation de Lagrange, diffe´ rences divise´ es Majorationdelerreur,ph´enome`nedeRunge The´ore`medeWeierstrass,polynˆomesdeBernstein
Polynˆomesorthogonauxetnormequadratique
elopylˆnmoietnreOnlappelle(x0,tparssanoupay,,n.,..te0y,.nx..0,rxpa´enndogenargaLedruetalop
The´or`eme(interpolationdeLagrange)
´ Etantdonn´esdespointsdistinctsx0, . . . , xnRet des valeurs arbitrairesy0, . . . , ynRle,istxiemquninueuˆoynolepPR[X] de degre´neriv´antP(xk) =ykpour toutk= 0, . . . , n savoir, a`
Retour sur l’interpolation de Lagrange
P=XnykYXxxj. k=0j6=k kxj
,nx(.)ny,)0y,...
RetoursurlnietroplationedLagrange
Theoreme (interpolation de Lagrange) ´ ` ´ Etant donne´ s des points distinctsx0, . . . , xnRet des valeurs arbitrairesy0, . . . , ynRmeˆoynoluninuqpeelixtsue,iPR[X] de degre´nnaire´vtP(xk) =ykpour toutk= 0, . . . , n savoir, a` P=XnykYXxj . k=0j6=kxkxj
OnlappellelepolynˆomeinterpolateurdeLagrangedonne´par x0, . . . , xnety0, . . . , yn, ou passant par(x0, y0), . . . ,(xn, yn).
is´eespaencesdivdsfi´free´ntielxi.,]:+k[xsf..i,ix(fiup)x[fr=:]ii+k..,xxi,.]f[ixk+..,.+i,1f=x[k=saonavusNome`eroe´hT.ixk+ix]1ocmmnectlaucelern1)an....Maisicfstnea,0a..,1cafmecelentoesc(f0xae=0=1(fe)at?Ono.,anvequbserruce´rradnoecnerx0f()x1.Px01)xx0f[..,.k],xurpotuot,0=k,...
Diffe´ rences divisees : enonce ´ ´ ´ Lepolynˆomeinterpolateurdefenx0, . . . , xnpeut s’ecrire comme ´ P=a0+a1(Xx0) +. . .+an(Xx0)∙ ∙ ∙(Xxn1).
.nxn2)an1+(xx(+x0x)1a.+..x(Holaerrn(x:Pa0)=ereuacfemeca`tnmetdeperevalel´teetCtirue´rc
santiecefcoestlnemecacfereluclntcaommeaiscM´errrrcuxx1Pa0.f)1)0x(1atex(f=a0=f(x0)servequea,?nnObo,01a.,...
Diff´erencesdivise´es:e´nonce´ Le polynoˆ me interpolateur defenx0, . . . , xnireco´memcerutspe P=a0+a1(Xx0) +. . .+an(Xx0)∙ ∙ ∙(Xxn1). Cettee´criturepermetdel´evaluerefcacement`alaHorner: P(x) =a0+ (xx0)a1+. . .(xxn2)an1+ (xxn1)an. . ..
..n,,...,0x[f=kasnov,.=0tkourtou]pxkspars´ee]:=ff[xiupsix()i.,..[fixd´onceenestlnieere´ffidividsecn.,xi+k1]xi+kxiT.´hoe`rmeNeuoasi+,x:=k]xif[,.+1x,..]k+ix[f..,i
Onvrqeboesf=x(eu0aa1=f0)etf(x(x1).,n..,.
Diff ´ nces divi ´ ´ ´ ere sees : enonce Le polynoˆ me interpolateur defenx0, . . . , xn´esircrutpemoceem P=a0+a1(Xx0) +. . .+an(Xx0)∙ ∙ ∙(Xxn1). Cette e´ criture permet de l’e´ valuer efficacement a` la Horner : P(x) =a0+ (xx0)a1+. . .(xxn2)an1+ (xxn1)an. . .. Mais comment calculer efficacement les coefficientsa0, a1, . . . , an?
uop]kx,.0=ktuotrnsaksavo0,..=f[x´hoeixT.Neuo`rmex]1k+i,...k+ixfk]i,[x..,.i+,x=:[fix1+..x,+i]kisf[xi,.=f(xi)pu:]ix[frapsee´sivdiesncre´effdiesinlt´deecnorrne´ecuParrx0.0)x1
Parr´ecxi)p:=f([xi,uisfe´sevisix[]iapfrf´ifsdlesdceeneroecnerrutine´dnroe`emoNx.ihTe´k1]xi+k,...,xi+]k+ix[f..,1ix,.=f]:i+[x.,..+kxi
Cette´ecriturepermetdel´evaluerefcacementa`laHorner: P(x) =a0+ (xx0)a1+. . .(xxn2)an1+ (xxn1)an. . ..
Mais comment calculer efficacement les coefficientsa0, a1, . . . , an? x0) . On observe quea0=f(x0)eta1=f(xx11)xf0(
Diff´erencesdivise´es:´enonc´e
Lepolynˆomeinterpolateurdefenx0, . . . , xnmmeeroceup´tsriec
P=a0+a1(Xx0) +. . .+an(Xx0)∙ ∙ ∙(Xxn1).
.,n.0,..=ktuotruop]kx,..,.x0f[k=saonavus
f[xi,:=f1, . . . , xi+k]f[xi, . . . , xi+k1]. . . . , xi+k] [xi+xi+kxi
Mais comment calculer efficacement les coefficientsa0, a1, . . . , an? On observe ux0)eta1=f(xx1)f(x0) currence. Par re´ ond´enitlesqdife´fear0en=cefs(diviseesparf[1xi]x0:=f(xi)puis ´
Le polynoˆ me interpolateur defenx0, . . . , xnpeut s’e´ crire comme
Cettee´criturepermetdel´evaluerefcacement`alaHorner: P(x) =a0+ (xx0)a1+. . .(xxn2)an1+ (xxn1)an. . ..
P=a0+a1(Xx0) +. . .+an(Xx0)∙ ∙ ∙(Xxn1).
,..n,0..k=uttourpok],x...,0x[f=kasnovasuor`emeNoTh´eDiff´erencesdivec´onen:´es´eis
iDff´erencesdivis´ees:´nenoc´e
Le polynoˆ me interpolateur defenx0, . . . , xnpeut s’e´ crire comme
P=a0+a1(Xx0) +. . .+an(Xx0)∙ ∙ ∙(Xxn1).
Cette e´ criture permet de l’e´ valuer efficacement a` la Horner : P(x) =a0+ (xx0)a1+. . .(xxn2)an1+ (xxn1)an. . ..
Mais comment calculer efficacement les coefficientsa0, a1, . . . , an? On observe quea0=f(x0)eta1=f(x1)f(x0) currence. Par re´ on de´ finit lesercnseidiv´seesdi´effparfx[1xi]x0:=f(xi)puis f[x . . , xi+k] :=f[xi+1, . . . , xi+k]f[xi, . . . , xi+k1] i ., . xi+kxi
Th´eoreme ` Nous avonsak=f[x0, . . . , xk]pour toutk= 0, . . . , n.
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