Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Developpement de Taylor et series entieres

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 5 : Developpement de Taylor et series entieres Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/36

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre5:De´veloppementdeTaylorets´eriesentie`res
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009
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Objectif : des polynoˆ mes aux se´ ries Rappel : avec les quatre ope´ rations arithme´ tiques+,,,/ onpeutconstruiredespolynˆomesetdesfractionsrationnelles. Prochaine´etape:construiredesfonctionsplusg´en´eralescomme exp(x) = 1 +x+x22+x3!3+x4!4+. . . ln(1 +x) =xx22+x33x44+. . . sin(x) =xx3!3+x55!x77!+. . . 4x6 cos(x) = 1x22+x4! 6!+. . . Proble` me :quel sens donner aux trois petits points«. . .»? Commentrendrecesformulesrigoureuses?Deuxpossibilit´es: 1onylop:intnemeorylTademelopp´eveDPkn=0akxk+ erreur ! ˆ 2`iterre´sneei´Dventinni:eloppemePk=0akxk !+ convergence e Les deux approches sont tre` s importantes dans les applications. 2/36
Sommaire
1
2
3
D´eveloppementdeTaylor D´eveloppementdeTaylor,restedeLagrange Application a` l’exponentielle, sinus et cosinus Impl´ementationdelexponentielle
Se´riesformellesetse´riesenti`eres Se´ ries formelles, ope´ rations formelles Se´ ries entie` res, rayon de convergence Se´ ries de Taylor, fonctions analytiques
Imple´ mentation de fonctions usuelles Fonctionsusuellesde´veloppe´esens´eries Exemple : imple´ mentation deln(x) Exemple : fonctions de Bessel
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D´eveloppementdeTaylor SoitIRun intervalle ouvert et soitx0I. Soitf:IRune fonctionn rivable.fois de´ Sesd´erive´esserontnote´esf(0)=f,f(1)=f0,f(2)=f00etc. , Definition ´ Le de Taylorde´ veloppementdefa` l’ordrenenx0 meest le polynoˆ Tn(x) =f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(2x0)(xx0)2+∙ ∙ ∙+f(n)n(!x0)(xx0)n. Ainsilesd´eriv´eesdefenTnco¨ıncidentenx0 l’ordre `aj ’n. usqu Eng´en´erallesfonctionsfetTn!stnossdiftr`eentef´er (On af=Tnsi et seulement sif de degre´ meest un polynoˆn.) Onpeutn´eanmoinsespe´rerqueTnapprochefautour dex0. Notation Le terme d’erreur sera note´Rn(x) :=f(x)Tn(x). Autrement dit, on af(x) =Tn(x) +Rn(x). Il faut maintenant controˆ ler le resteRn(x). §1.1 4/36
Le the´ ore` me de Taylor–Lagrange Th´eor`eme(controˆledutermederreur) Soitf:IRune fonctionn+ 1fiodsesurunin´teerrivavlalbelI. Alors pour toutx0, xIil existeξ∈ hx0, xitel que f(x) =Xnf(k)k!(x0)(xx0)k+f((nn++1)()1ξ(!)xx0)n+1 k=0 {z }} | |polynoˆ me de{zTaylorTn(x)terme d’erreurRn(x) Ici on utilise la notationha, bi={(1t)a+tb|0< t <1}. Ainsiξ∈ hx0, xiveut dire que«ξ entreest situe´x0etx». Remarque (TAF) Pourn= 0nous avons le the´ ore` me des accroissements finis : f(x) =f(x0) +f0(ξ)(xx0)pour unξ∈ hx0, xi. Lethe´or`emedeTaylorLagrangeenestunege´´aliation. ner s §1.1 5/36
De´monstrationdutheore`medeTaylorLagrange ´ On fixexI finitet on de´MRparf(x) =Tn(x) +M(xx0)n+1. eM=f(n+1)(ξ). Nous voulons montrer qu(n+1)!pour unξ∈ hx0, xi Pourt∈ hx0, xiuon´esdisnnsso g(t) =f(t)Tn(t)M(tx0)n+1. End´erivantn+ 1fois nous obtenons g(n+1)(t) =f(n+1)(t)(n+ 1)!M. Il suffit donc de prouver queg(n+1)(ξ) = 0pour unξ∈ hx0, xi. Par constructionTn(k)(x0) =f(k)(x0)pourk= 0, . . . , n, donc g(x0) =g0(x0) =∙ ∙ ∙=g(n)(x0) = 0 . D’abordg(x0) =g(x) = 0d,ou`g0(ξ1) = 0pour unξ1∈ hx0, xi. Ensuiteg0(x0) =g0(ξ1) = 0`uo,dg0(ξ2) = 0pour unξ2∈ hx0, ξ1i. Enfing(n)(x0) =g(n)(ξn) = 0,du`og(n+1)(ξ) = 0pour unξ∈ hx0, ξni. §1.1 6/36
§.1
Application`alexponentielle
2
Th´eor`eme Soitf:RR>0ioct´envunonefiratnf0=fetf(0) = 1. Alorsf(x) =Pk=0kx!k= exp(x)pour toutxR.
D´emonstration.Nous avonsfCetf(k)(0) = 1pour toutkN. xk PourxR toutfixe´ etnNon pose doncsn=Pnk=0k!. Dapre`slethe´or`emedeTaylorLagrangeilexisteξn∈ h0, xitel que
f(x) =sn+f(ξn)(nxn++11)!.
Pourx0on a1f(ξn)f(x)carfest croissante. Ainsi
|f(x)sn| ≤f(x)xn+10. (n+1)!
Pourx0on af(x)f(ξn)1et ainsi
|f(x)sn| ≤(xnn++11)!0.
Dans les deux cas on conclut quesnf(x).
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§1.
Application a sinus et cosinus ` Th´eor`eme Soientf, g:R[1,+1]atnedtincfouxri´esvonf0=getg0=f ainsi quef(0) = 0etg(0) = 1. Pour toutxRnous avons alors ∞ ∞ f(x) =X(k1)+1k)!x2k+1= sin(x)etg(x) =X((12k!))kx2k= cos(x). (2 k=0k=0
2
De´ monstration.Nous avonsf, gCetf(k)(0) = 0,1,0,1, . . . ainsi queg(k)= 1,0,1,0, . . .odri´eepde4pourk= 0,1,2,3, . . .. PourxRx´eettoutnNon pose donc (1)kk+1 sn=Pkn0 (2k+1)!x2. = Dapr`eslethe´ore`medeTaylorLagrangeilexisteξn∈ h0, xitel que f(x) =sn+ (1)n+1f(ξn)(2nx2n++22)!. Notrehypoth`ese|f| ≤1assure que |f(x)sn| ≤(x2n2n++22)!0. Pourgl’argument est analogue.
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§1.
Impl´ementationdelexponentielle
3
Objectif :approcherf(x) = exp(x)a`ε= 1020e`rp`usox[0,1].
Approximation :no´dveeloppefenx0= 0`aldroern. On af(k)= exp, doncTn(x) = 1 +x+x2!2+∙ ∙ ∙+nxn!.
n+1 Majoration de l’erreur :Rn(x) =f((nn++11)(!)ξ)(xx0),ξ∈ hx, x0i. |Rn(x)|e=(npx(+ξ!))1|x|n+1(n+3!1)!ε= 1020 Pour cette majoration on utilisex[0,1]et queexpest croissante. On trouvenci:tinnotnemertˆapan= 21convient.
Impl´ementation:oPruee´polynˆomvaluerleTnon utilisera Horner ! Pkn=0kx!k=. . .xn+ 1nx1+ 1nx2+ 1. . .2x+ 1x1+ 1
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Imple´ mentation de l’exponentielle (suite) Objectif :approcherexp(x)o`ux[1000000,+1000000] a` une erreur relative deε= 1014rp.se` Id´eena¨ıve:On applique directement le de´ veloppement de Taylor. PourRn(x) =(en1+x(pξ!))xn+1on exige que|Rn(x)/exp(x)| ≤ε. Mais pourx= 1000000on obtient(xnn++11)!εseulement pour n1000000. Cette approche est donc hors de question ! Re´ duction de l’argument :`elaitnreavlleOnseram`en[0,1]. Pour ce faire on utilise nos connaissances de la fonctionexp. 1 Pourx <0on applique la formuleexp(x) =exp(x). Pourx[0,1]le calcul deexp(x)est facile. On vient de l’imple´ menter a une erreur relative de1020`rp.se ` Pourx]1,2]on ax= 2x0`oux0]12,1], puis on calculeexp(x) = exp(2x0) = exp(x0)2. Toutx]1,1000000] commes’e´ critx=x02k`oux0]21,1]et k∈ {1, . . . ,20}. Ainsiexp(x) = exp(x02k) = exp(x0)2k. Cecalculrevienta`´eleverklaftivecuraioashCqa´r.eisluefourreerre estmultipli´eepar2, donc tout au plus par220= 1048576106. §1.3 10/36
§.2
Objectif:despolynˆomesauxse´ries
0
Un polynomePC[Z]est une expression formelleP=Pn0ckZk. k= Ilestd´etermin´eparlasuiteniec0, c1, . . . , cnCde ses coefficients. Ceci permet d’effectuer toutes les operations alge´ briques usuelles. ` AtoutpolynˆomePC[Z]on associe la fonction polynomiale correspondantefP:CCn´edreiapfP(z) =Pkn=0ckzk. Par abus delangageonidentiesouventlepolynˆomePet la fonctionfP.
Une se´ rie formellePC[[Z]]est une expressionP=Pk=0ckZk. Elleestd´etermine´eparlasuiteinniec0, c1, . . .Cdes coefficients. Ceci permet d’effectuer toutes les operations alge´ briques usuelles. ` A une telle se´ rie formellePC[[Z]]on veut associer la fonction correspondantefP´sreraalite`eineniepd´erefP(z) =Pk=0ckzk . Or,fP(z)´sreeiadsn´eniequesicettendtseCconverge !
A priori il faut donc bien distinguer la se´ rie formelleP=Pk0ckZket = las´erieentie`refP(z) =Pk=0ckzk le. Dans la suite nous e´ tudierons domaine de convergence defPs.´eeti´upsiorrpesps
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