Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Integration numerique

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 8 : Integration numerique Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/47

  • majoration d'erreur methodes de simpson

  • majoration d'erreur methode des trapezes

  • proprietes de l'integrale

  • formule d'euler-maclaurin extrapolation de richardson

  • revision de l'integrale de riemann


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre8:Int´egrationnume´rique
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009
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Motivation et objectifs G´eom´etriquement,linte´graleRabf(x)dx d’une fonction continuef: [a, b]R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf. L’inte´ gration est aussi l’ope´ ration«inverse» a` l d ´ rivation. SiF: [a, b]Rv´erie a e F0f, alorsRabf(x)dx=F(b)F(a). = Dansdesrarescasfavorablesonarrive`aexpliciterune telle fonction F, dite primitive defec.Ctdmeeripeluclaceniatrecresint´egrales. Eng´ene´ralcesttropdur,voireimpossible:laplupartdesfonctions n’admet pas de primitives s’exprimant a` l’aide des fonctions usuelles. Motive´parcetteprobl´ematique,cecourspr´esentequelques m´ethodespourcalculer´munemeuqirent.sareltelldet´egesin Comme toujours, avant de calculer quoi que ce soit, il faut d’abord de´nir.stee´rp´ipsorlepaciinpresrslibate´siup,noitselojbteneuq On commencera donc avec une re´ vision de l’inte´ grale de Riemann. 2/47
Sommaire
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Linte´graledeRiemann:constructionetpropri´et´es Construction de l’inte´ grale de Riemann Proprie´t´rincipalesdelint´egrale es p Differentiation et inte´ gration ´
M´ethodesnum´eriquesbasiques M´ethodesdesrectangles,majorationderreur Me´ thode des trape` zes, majoration d’erreur Comparaison des me´ thodes basiques
M´ethodesdeNewton-Cotes Me´thodes´el´ementaires,majorationderreur Me´thodescompos´ees,majorationderreur Me´ thodes de Simpson, Boole, Weddle
La me´ thode de Romberg La formule d’Euler-Maclaurin Extrapolation de Richardson La´ethodedeRomberg m
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§1.
Qu’est-ce que l’inte´ grale ? Onveutassocier`af:RReta < b elun nombre re´Rabf,aelpp´e l’inte´ grale defsur[a, b]er,lvl´seeri:antquelquesexigencesnatu Constantes :Rbaλ= (ba)λpour toutλR Subdivision :Rcaf=Rbaf+Rbcfpour touta < b < c Monotonie :RbafRabgsif(x)g(x)poura < x < b
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Decesaxiomesd´ecoulenttouteslespropri´ete´sdelint´egrale!
Toutdabord,ilsd´enissentlint´egralepourtoutefonctionenescalier:
Puistouts´etendauxautresfonctionsint´egrablesparencadrement.
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§.1
Constructiondelint´egrale:fonctionsenescaliers Unesubdivisionde[a, b]ennsous-intervalles est une famille s={s0< s1<∙ ∙ ∙< sn1< sn}telle ques0=aetsn=b. Pourtoutefonctionborn´eef: [a, b]Ro d ´ finit n e I(f, s) :=Pnk=1(sksk1) inf[sk1,sk]f, I(f, s) :=Pnk=1(sksk1) sup[sk1,sk]f.
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Ces deux formules explicitent notre heuristique :
I(f, s)
I(f, s)
Observation :Sis0sest une subdivision plus fine de[a, b], alors
I(f, s)I(f, s0)I(f, s0)I(f, s).
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Constructiondelint´egrale:passagea`lalimite On passe alors a` des subdivisions de plus en plus fines : I(f) := sup{I(f, s)|sune subdivision de[a, b]} I(f) := inf{I(f, s)|sune subdivision de[a, b]} Si jamais l’inte´ grale def e parexiste, elle est encadre´I(f)etI(f). On a toujoursI(f)I(f)inteetsct´liga´eiam,e!peueˆtteertsirtc Danscecasonnarrivepasa`d´enirlint´egralecherche´e. SiI(f) =I(f) pour l’inte´, alors on n’a qu’une seule possibilite´ grale ! Cecasfavorableme´riteuned´enitiondignedesonimportance: D´enition(inte´graledeRiemann) On dit quef: [a, b]Rest´egrintablesiI(f) =I(f). Dans ce cas soninte´ graleestRabf(x)dx:=I(f) =I(f). §1.1 6/47
Caracte´ risation des fonctions inte´ grables Proposition Une fonctionf: [a, b]Rest inte´ si et seulement si pour tout grable ε >0il existe une subdivisionstelle queI(f, s)I(f, s)ε. D´emonstration.Supposonsfinte´ grable et notonsI:=Rbaf(x)dx. Alors pourε >0il existe des subdivisionssetsde[a, b]telles que I(f, s)I+ε/2etI(f, s)Iε/2. Pour la subdivisions=sson obtient ainsi I(f, s)I(f, s)II(f, s)I(f, s). Re´ ciproquement,I(f, s)I(f, s)εet I(f, s)I(f)I(f)I(f, s), entraˆınent0I(f)I(f)εuotruopeiarvtseet´liga´einteetic.St ε >0, alorsI(f)I(f) = 0, et on conclut quefest inte´ grable. §1.2 7/47
§1.
Fonctions monotones, fonctions continues Th´ore` e me Toute fonction monotonef: [a, b]Rnt´eestiel.rgba
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De´ monstration.Supposons quefest croissante. Soitsk=a+kh lasubdivision´equidistanteo`uh=bnaetk= 0, . . . , n. I(f, s)I(f, s) =Pkn=1(sksk1)f(sk)f(sk1)=h[f(b)f(a)]0pourn→ ∞.
Onconclutenfaisantappel`alacaracte´risationpre´ce´dente.
Th´eor`eme Toute fonction continuef: [a, b]Ret´egstine.rabl
De´ monstration.Puisque[a, b]est compact, la fonctionfest uniform´ementcontinue,`cdaopruottuε >0il existeδ >0tel que |xx0| ≤δimplique|f(x)f(x0)| ≤ε. Pour un pashδon obtient I(f, s)I(f, s) =Pnk=1(sksk1)ε(ba)ε. Onconclutenfaisantappel`alacaracte´risationpr´ec´edente.
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§.12
C Exemples de fonctions discontinues Exemple(tropsauvagepourˆetreRiemann-int´egrable)
La fonction de Dirichletf: [0,1]Rse´etdienrpa f(x) =(10issixx/QQ,.
On trouveI(f) = 0etI(f) = 1, doncf grable.n’est pas inte´
Exemple(encoresauvagemaisRiemann-int´egrable)
Conside´ ronsg: [0,1]Rniepard´eg(x) =(0b1isisx/x=Qba.`oua, bZ,b >0,pgcd(a, b) = 1,
On trouveI(g) = 0etI(g) = 0, doncgeinsteetarlb´tgeR01gdx= 0. ` A noter quegn’est continue sur aucun intervalle[a, b]o`ua < b. Surprenant mais vrai :gest continue en toutx[0,1]\Q.
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Propri´ete´sdelint´egrale Th´eor`eme(proprie´te´scaracte´risantes) SoitRabl’ensemble des fonctions inte´ grablesf: [a, b]R. Sif(x) =λ, alorsfRabetRbaf dx=λ(ba). Poura < b < con afRac⇐⇒f|[a,b]Rbaf|[b,c]Rbc. Dans ce casRacf dx=Rabf dx+Rcbf dx. Sif, gRbaetfgsur]a, b[, alorsRbaf dxRbagdx. Autrementdit,lint´egraledeRiemannsatisfaitauxexigences naturelles formule´ es au de´ but. On re´ colte bien plus encore : Th´eor`eme(lin´earit´eetmonotonie) SifRetλR, alorsλfRetRbaλf dx=λRbaf dx. Sif, gR, alorsf+gRetRba(f+g)dx=Rbaf dx+Rabgdx. Sif, gR, alorsf gR.lnE´gnee´arRbaf gdx6=Rabf dxRabgdx! SifR, alors|f| ∈RetRbaf dxRab|f|dx. §1.2 10/47
Diff´erentiationetinte´gration The´ oreme ` Supposons quef: [a, b]Rnitset´egrable.Sif=F0pour une fonctiond´erivableF: [a, b]R, alorsRabf(x)dx=F(b)F(a). D´emonstration.Pour toute partitions={s0< s1<∙ ∙ ∙< sn1< sn} de[a, b]il existes0< t1< s1<∙ ∙ ∙< sn1< tn< sntels que F(sk)F(sk1) = (sksk1)f(tk), parleth´eore`medesaccroissementsnis.Ainsi n n F(b)F(a) =XF(sk)F(sk1) =X(sksk1)f(tk). k=1k=1 On en d ´ duit queI(f, s)F(b)F(a)I(f, s). e PuisI(f)F(b)F(a)I(f)par passage aux limites. Sife´tnitsea,elbargalonrsloitaleg´e´F(b)F(a) =Rbaf(x)dx. §1.3 11/47
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