Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Integration numerique

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 8 : Integration numerique Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 8 : Intégration numérique
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Année 20082009 wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis à jour le 6 juillet 2009
Motivation et objectifs
R b Géométriquement, l’intégralef(x)dx a d’une fonction continuef: [a, b]R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf.
a
b
Motivation et objectifs
R b Géométriquement, l’intégralef(x)dx a d’une fonction continuef: [a, b]R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf. L’intégration est aussi l’opération«inverse» à la dérivation. SiF: [a, b]Rveiér R b F=f, alorsf(x)dx=F(b)F(a). a
a
b
Sommaire
1
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4
L’intégrale de Riemann : construction et propriétés
Méthodes numériques basiques
Méthodes de NewtonCotes
La méthode de Romberg
Sommaire
1
2
3
4
L’intégrale de Riemann : construction et propriétés Construction de l’intégrale de Riemann Propriétés principales de l’intégrale Différentiation et intégration
Méthodes numériques basiques
Méthodes de NewtonCotes
La méthode de Romberg
Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:RReta < bun nombre réelfppel,aé a l’intégrale defsur[a, b], vérifiant quelques exigences naturelles :
Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:RReta < bun nombre réelfppa,éle a l’intégrale defsur[a, b], vérifiant quelques exigences naturelles : R b Constantes :λ= (ba)λpour toutλR a R R R c b c Subdivision :f=f+fpour touta < b < c a a b R R b b Monotonie :fgsif(x)g(x)poura < x < b a a De ces axiomes découlent toutes les propriétés de l’intégrale !
Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:RReta < bun nombre réelféleppa, a l’intégrale defsur[a, b], vérifiant quelques exigences naturelles : R b Constantes :λ= (ba)λpour toutλR a R R R c b c Subdivision :f=f+fpour touta < b < c a a b R R b b Monotonie :fgsif(x)g(x)poura < x < b a a De ces axiomes découlent toutes les propriétés de l’intégrale ! Tout d’abord, ils définissent l’intégrale pour toute fonction en escalier :
a
b
a
b
Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:RReta < bun nombre réelf,peapél a l’intégrale defsur[a, b], vérifiant quelques exigences naturelles : R b Constantes :λ= (ba)λpour toutλR a R R R c b c Subdivision :f=f+fpour touta < b < c a a b R R b b Monotonie :fgsif(x)g(x)poura < x < b a a De ces axiomes découlent toutes les propriétés de l’intégrale ! Tout d’abord, ils définissent l’intégrale pour toute fonction en escalier :
a
b
a
b
a
b
Puis tout s’étend aux autres fonctions intégrables par encadrement.
Construction de l’intégrale : fonctions en escaliers
Unesubdivisionde[a, b]ennsousintervalles est une famille s={s0< s1<∙ ∙ ∙< sn1< sn}telle ques0=aetsn=b.
Construction de l’intégrale : fonctions en escaliers
Unesubdivisionde[a, b]ennsousintervalles est une famille s={s0< s1<∙ ∙ ∙< sn1< sn}telle ques0=aetsn=b. Pour toute fonction bornéef: [a, b]Ron définit P n I(f, s) := (sks) inff, k=1k1 [sk1,sk] P n I(f, s) := (sksk1) supf. k=1 [sk1,sk]
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