Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Racines des polynomes reels et complexes

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynomes reels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/28

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre4:Racinesdespolynoˆmesr´eelsetcomplexes
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Documentmis`ajourle6juillet2009
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Objectifs de ce chapitre
Onsaitre´soudreles´equationspolynomialesdedegr´e2,3,4 avec les quatre ope´ rations+,,,/et les racines2et3. En degre´5ceci n’est plus possible.
Leth´or`emedeGaussdAlembertassureaumoinslexistencedes e racinesdanslecorpsdesnombrescomplexes.Cechapitrepr´esente desm´ethodespoureffectivementlocalisercesracines: L ` les de Descartes et de Budan–Fourier. es reg LamethodedeSturmpourlocaliserlesracinesr´eelles. ´ Lam´ethodedeCauchypourlocaliserlesracinescomplexes.
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Sommaire
1
2
´ Equations polynomiales et existence des racines ´ Equations polynomiales : degre´4rge´sved5 Racines rationnelles : recherche exhaustive Localisationgrossi`eredesracines:labornedeCauchy
Localisationeffectivedesracinesr´eellesetcomplexes Lesr`eglesdeDescartesetdeBudanFourier Racinesr´eelles:indicedeCauchyetsuitesdeSturm Racines complexes : localisation dans le plan complexe
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Pour toujours assurer l’existence des racines il faut passer aux nombres complexes. Par exemple, pourx2+ 1 = 0on trouvex=±i.
x2+px+q= 0 x2+p2p42+q= 0 x+p22=p42q x+p2 =±rp42q p p2 x=2±r4q
§41.1
nx)exelpmocuoelleer´e(alminolypo:1oPrge´0=eD+x0a+a11+1xn+anlopsmonyauqEnoit´qeauitnoduernu´eeutr´esoialesOnvevuortno0o0=ronteluvolaslruuqe´oitaa+xne2:Pourx2+px+q=0tuoixn=0aD.ge´r
§.1
La formule de Tartaglia–Cardano En degre´3 re´ soudreon cherche a`
1
x3+ax2+bx+c= 0.
D’abord on substituex=ya/3pour e´ le terme quadratique : liminer
y3+py+q= 0.
Apr`esunpetitcalculontrouvep=ba32etq=c+2a3279ab. Ensuite on remplacey=zp/3zaprel´touttionequamteitlueilpz3:
z6+qz3p37 = 0. 2 Cestune´equationquadratiqueenz3 que duit! On en de´ z3=q±rq42+p273. 2 Ceci permet de calculerz3puisz, puisy, et finalementx.
Programmer cette me´ thode sur ordinateur est un de´ fi non trivial : pour les diverses racines il faut choisir / de´ terminer les bons signes !
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Existence des racines Onveutr´esoudreunee´quationpolynomiale(re´elleoucomplexe) xn+an1xn1+∙ ∙ ∙+a1x+a0= 0 ´ Degre1: on trouvex=a0. Degre´2: on trouvex=a21±qa412a0. Degre´3 par Cardano (1545): formule de Tartaglia (1530), publie´ e Degre´4,)nu5104ra(ieFrrdanoeCareved´el`delemuor:f The´ ore` me (Ruffini 1799, Abel 1824, Galois 1832) Endegr´e5ts,epyneeixnaelfeodrecmeutleg´eanu´ceur construite`apartirdesop´erations+,,,/, et des radicauxk. On ne dispose donc pas de formule«magique» i ur.en degre´ ´ super e Peut-onn´eanmoinsˆetresuˆrquedessolutionsexistent?dansC? Th´eor`eme(deGaussdAlembert) Pour tout polynoˆ meF=Xn+an1Xn1+∙ ∙ ∙+a1X+a0dansC[X] il exister1, r2, . . . , rnCtels queF= (Xr1)(Xr2)∙ ∙ ∙(Xrn). §1.1 6/28
§1.
Racinesrationnellesdunpolynˆomerationnel Conside´ ronsP=ba00+ab11X+∙ ∙ ∙+bannXndansQ[X]. Quitte a` multiplier parppcm(b0, . . . , bn)on peut supposerPZ[X].
2
Proposition
Consid´eronsP=a0+a1X+∙ ∙ ∙+anXndansZ[X]. SiP(pq) = 0o`upgcd(p, q) = 1, alorsp|a0etq|an. Sia06= 0etan6= 0, il n’existe qu’un nombre fini de candidatspq.
D´emonstration.Nous a vons qnP(qp) =a0qn+a1qn1p1+∙ ∙ ∙+an1q1pn1+anpn. SiP(qp) = 0, alorsp|a0qnetq|a pn n. Puisquepgcd(p, q) = 1, on ap|a0etq|an.
Corollaire En testant tous les candidats, ceci permet de trouver toutes les racinesrationnellesdunpolynˆomerationneldonn´e.
Exercice De´ terminer les entiersnZetaZpour lesquelsnaest rationnel.
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Localisationgrossi`ere:labornedeCauchy De´ finition (borne de Cauchy) SoitF=Xn+cn1Xn1+∙ ∙ ∙+c1X+c0dansC[X]. On poseM:= max{ |c0|, . . . ,|cn1| }etρF:= 1 +M. The´ore`me(localisationgrossi`eredesracines) Pour toutzCtel que|z| ≥ρFon a|F(z)| ≥1 quent,. Par conse´ toute racine complexe deFest dansB(ρF) ={zC| |z|< ρF}. De´ monstration. vrai pour estL’e´ nonce´F=Xn: iciM= 0etρF= 1. Supposons doncM >0etρF>1. Pour|z| ≥ρFon trouve |F(z)zn|=|c0+∙ ∙ ∙+cn1zn1| ≤ |c0|+∙ ∙ ∙+|cn1||zn1| M+M|z|+∙ ∙ ∙+M|z|n1=M||zz||n11≤ |z|n1. Ainsi nous obtenons |zn|=|znF(z) +F(z)| ≤ |znF(z)|+|F(z)|,d’ ` ou |F(z)| ≥ |zn| − |F(z)zn| ≥ |z|n(|z|n1) = 1. Ceci prouve que|z| ≥ρFimplique|F(z)| ≥1. §1.3 8/28
Racinesre´ellesdunpolynˆomereel ´ Objectif :unnesdoCmmnedtoraj/merinrmte´eicarederbmonelre polynomer´eelPR[X]dans un intervalle donne´[a, b]? ˆ SiP(a)P(b)<0il y en a1ou3ou5. . . (compte´ es avec multiplicite´ ). SiP(a)P(b)>0il y en a0ou2ou4.t´e)lici´eptavesmueciplt...moc( Commentd´eterminercenombrepluspre´cis´ement? La re` gles de Budan–Fourier et la re` gle de Descartes donnent des majorations a` l’aide des de´ rive´ esP, P0, . . . , P(n)enaetb. Ces regles sont faciles `a appliquer mais restent approximatives. ` La me´ thode de Sturm calcule le nombre exact a` l’aide de lalgorithmedEuclide(divisionseuclidiennesite´r´ees). Cestunre´sultat´ele´mentaire,e´l´egant,et´epoustouant! §2.1 9/28
§2.
Variation de signes : definition ´
1
V(+,) =V(,+) = 1, V(+,+) =V(− −) =V(0,0) = 0, , V(+,0) =V(0,+) =V(,0) =V(0,) =21.
De´ finition (changements de signes, ze´ ros inclus)
Pour une suite(s0, . . . , sn)ntme´eelsansdd´Rnous posons V(s0, . . . , sn) :=Pnk=1V(sk1, sk) =Pnk2=11sign(sk1)sign(sk). Pour une suite(S0, . . . , Sn) mesde polynoˆ dansR[X]nous posons VaS0, . . . , Sn:=VS0(a), . . . , Sn(a).
Pourladiff´erenceena, bRsnousivon´ecrVab:=VaVb.
D´enition(changementsdesignes,ze´rosexclus)
On forme d’abord la suite re´ duitesˆen supprimant les e´ le´ ments nuls, ˆ ˆ ˆb ˆ= ˆ puis on de´ finitV(s) :=V(sˆ) me pour. De meˆVaetVaVaVb.
012/8
Les re` gles de Descartes et de Budan–Fourier Comment de´ terminer le nombre de racines dePR[X]dans[a, b]? Lar`egledeDescartesmajorelenombredesracinespositives: Th´eor`eme(re`gledeDescartes) Pour tout polynoˆ meP=c0+c1X+∙ ∙ ∙+cnXndansR[X]on a #xRP(x) = 0Vˆ(c0, c1, . . . , cn). mult>0Pour les racines ne´ gatives on passe deP(X)`aP(X). BudanetFourier´etendirentcettemajorationa`toutintervallere´el: The´oreme(r`egledeBudanFourier) ` Pour tout polynoˆ meP=c0+c1X+∙ ∙ ∙+cnXndansR[X]on a #x]a, b]P(x) = 0Vˆab(P, P0, . . . , P(n)). mult Onae´galit´epourtoutintervalle]a, b]RssiPanracines dansR. Avantage : Cette majoration est facile a` calculer. Inconve´ nient : Elle surestime souvent le nombre de racines. C´etaitl´etatdelartavantlade´couvertedeSturmen1829. §2.1 11/28
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