MATHEMATIQUES DEBASE: FONCTIONS

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  • cours - matière potentielle : presente aux etudiants de l' unite
MATHEMATIQUES DE BASE: FONCTIONS G. VALENT septembre 2007 Abstract Ce polycopie donne un resume des resultats d'analyse qui constituent le cours presente aux etudiants de l'unite “Fonctions” (L1). Contents 1 PRE-REQUIS 3 1.1 Identites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  • tanx
  • tan y1− tanx
  • expression par tangentes sin2
  • sinx
  • x→
  • definition
  • lim x→0
  • sin
  • ∀x ∈
  • relation
  • relations
Publié le : lundi 26 mars 2012
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Source : lumimath.univ-mrs.fr
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MATHEMATIQUES
DE BASE:
G. VALENT
septembre 2007
Abstract
FONCTIONS
Cepolycopi´edonneunr´esume´desre´sultatsdanalysequiconstituentlecourspr´esent´e ´tudiantsdelunite´Fonctions(L1). e
aux
Contents ´ 1 PRE-REQUIS 1.1Identit´esremarquables...................................... 1.2 Brefs rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonctions exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5D´erivation............................................. 1.6 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Fonctions circulaires et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ ´ 2 QUELQUES PROPRIETES DES REELS 2.1 Rappels sur les notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4Ouverts,ferm´es.......................................... 2.5Partieentie`redunr´l.......................... ee . . . . . . . . . . . . 2.6 Valeur absolue, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3 FONCTIONS, LIMITE, CONTINUITE 3.1 Quelques rappels sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3Prolongementparcontinuit´e................................... ´ ` 3.4 LES THEOREMES FONDAMENTAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Injection, surjection, bijection, foncti ´ciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on re ´ 4 DERIVATION 4.1D´riv´ee:d´enition........................... e . . . . . . . . . . . . . 4.2De´riv´ee:interpre´tationge´om´etrique............................... 4.3D´eriv´ee:interpre´tationme´canique............................... 4.4D´eri´:iterpre´tationchimique................................ vee n 4.5Continuit´eetD´erivabilite´.................................... 4.6Calculdesd´eriv´ees........................................ 4.7D´erive´esdesfonctionsr´eciproques............................... 4.8Die´rentielle........................................... 4.9D´eriv´eepremie`reetvariations.................................. 4.10D´eriv´eesecondeetconvexit´e................................... ´ ` 4.11 LES THEOREMES FONDAMENTAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3 3 4 5 6 6 7 7
8 8 8 8 10 10 11
11 12 13 16 16 16
18 18 19 19 19 19 19 20 20 21 21 22
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FORMULE DE TAYLOR ET D.L. 5.1 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Notationso Oet. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Pratique des D.L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 D. L. de la primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.5D.L.decal´es........................................... 5.6 Quelques D.L. utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ PRIMITIVES ET INTEGRALES 6.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Table des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3Inte´grale.............................................. 6.4Interpre´tationg´eom´etrique................................... ´ ´ 6.5 PROPRIETES FONDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6Int´egralefonctiondesabornesupe´rieure............................ 6.7 Pratique du calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 6.8 Quelques exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9Fonctionssp´eciales........................................
´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES 7.1Equationsline´airesdupremierordre.............................. 7.2Equationslin´eairesdusecondordre`acoecientsconstants.................
23 23 23 24 25 25 26
27 27 27 27 27 27 28 28 29 31
31 31 32
´ ´ ´ 8 DERIVEES PARTIELLES, DIFFERENTIELLE 33 8.1De´riv´eespartiellesetdie´rentielle................................34
2
1
´ PRE-REQUIS
1.1Identit´esremarquables
Factorisation: a2b2= (a+b)(ab) a3b3= (ab)(a2+ab+b2)
etdefac¸onplusge´ne´rale:
(bb)a3+b3= (a+b)(a2ab+b2)
n1 anbn= (ab)(an1+an2b+  +abn2+bn1) = (ab)Xakbn1k k=0
FormuledubinoˆmedeNewton: Ellepermetdede´velopperlespuissancesdunesomme: (a+b)2=a2+ 2ab+b2 (a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3 Defac¸onplusg´en´eraleonde´nitlescoecientsbinomiauxnkpar (a+b)n=kX=n0nkakbnk nNaveckn=n(n1)  k!(nk =+ 1)k!(nn!k)!Dans certains ouvrages on utilise la notation (nk) =CknEn anglais (kn`aencef´ers)tilechnseoopak´err soninterpre´tationcombinatoire:(nkaisonsdedecombinep)rerbmoneletnese´rkobjets choisis parmin. Lasym´etrieabatelarelniotine´desopminoitalednoidralenk=nnker.´erif`evacali Silonmultiplielarelationded´enitionpar(a+budontiuctrnscolaetidentit´equipermo)ontbeitnl triangle de Pascal:
nk=kn1+nk11
Suitearithme´tiqueetsasomme: Cette suiteun nNsedte´neiapr
Sa somme est
1 2 1 1kn1=1 3 3 1 1 4 6 4 1
un+1=un+a aR−→
un=u0+na
XNun=N u0+N(N21)+a⇐⇒NXn= 1 + 2 + 3 +  +N=N(N2+1) n=1n=1 Suitege´ome´triqueetsasomme Cette suiteun nNestd´eniepar un+1=a un aR−→un=anu0
Sa somme est XNun=u0(1 +a+a2+  +aN) =u011aNa+1n=0 et poura= 1 cette somme vautN u0.
3
a6= 1
1.2 Brefs rappels sur les nombres complexes Un nombre complexez=x+iyCseedxu´reesld´sterlpaniex=zRety=zRaveci2=1. Sonoppose´estd´eniparz= (x) + (y)i=xiy a. OnR={z|y= 0}ainsi queR={zi|x= 0}. Egalit´ e: On dit quez=x+iyetz=x+iyxuss(iisostne´agatsenoni)seetemulx=xety=y. Ope´rations: 1. addition:z+z= (x+x) + (y+y)ia,serpevlc´et´opries: loi interne:z zC z+zC associative:z z z′′C(z+z) +z′′=z+ (z+z′′) eutneneml´´e0+0=0:ertiC e:pos´ntop´emele´zC∃ −z=xiy=C Cette loi est commutative:z zC z+z=z+z 2. produit:zz= (xxyy) + (xy+yx)i. Cette + 0 loi est interne et associative, elle admet 1 = 1i commee´le´mentneutreetelleestcommutative.CommesurRexnseernvtienem´le´listequepourz6= 0. 3.distributivite´duproduitparrapporta`lasomme:z z z′′C z(z+z′′) =zz+zz′′
Anoterque,contrairementa`R, il n’y a pas de relation d’ordre surC. Complexeconjugu´e: Lecomplexeconjugu´edezCestz=xiy´tseire´rppooprujnocaL.eaexplomncsoaiug z=z z+z=z+z zz=zz1z= 1zsiz6= 0
On peut alors exprimer
x=z=12(z+z) y=z=21i(zz) Module: Le module d’un nombre complexe|z|estdipar´en|z|=zz=px2+y2. C’est une norme surC, avec les propri´ete´s:
positive|z| ≥enied´et0|z|= 0z= 0 • |zz|=|z| |z|
alit´etrin´egergnaiialu|z+z| ≤ |z|+|z| Interpr´etationg´eom´etriquedansR2 SoitMR2ennes(see´nnodise´tracoinpuorcodentx y). Le pointMestl’imagedu nombre complexe z=x+iyetzestl’affixedu pointM. SiOest l’origine deR2, le module|z|senepe´rrueurlongtelaOM=r. On noteθ[02πl]ntie´engaorle ~ ~ (Ox OMnOeptula.)reors´ecri
x=rcosθ y=rsinθ r0 θ[02π]
On en tire ensuite
z=x+iy=r(cosθ+isinθ) =r ez=r(cosθisinθ) =r e⇒ |z|=r
et les importantes relations d’Euler e±= cosθ±icosθ⇐⇒cosθ(12=e+e)sinθ12=i(ee)Pourθ=πil viente=tilare1ulEquonarimdareocuaebtirellupcalangem´esnat3eocofdntnse-a mentalesdesmathe´matiquesi πetedans une seule relation.
4
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