MÉMOIRE Marguerite ZANI Principes de grandes déviations ...

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MEMOIRE presente pour obtenir le diplome d'Habilitation a Diriger les Recherches de l'Universite Paris-Est Specialite : Mathematiques Marguerite ZANI Principes de grandes deviations Classification de diffusions et polynomes orthogonaux Etude de complexite pour des champs additifs Soutenu le vendredi 5 novembre 2010 devant le jury compose de Amine Asselah Professeur, Universite Paris-Est Creteil Bernard Bercu Professeur, Universite Bordeaux 1 Dominique Bakry Professeur, Universite Paul Sabatier, Toulouse 3 Nicolas Fournier Professeur, Universite Paris-Est Creteil Alain Rouault Professeur, Universite de Versailles Zhan Shi Professeur, Universite Pierre et Marie Curie, Paris 6 Henryk Wozniakowski Professeur, Columbia University & University of Warsaw Rapporteurs Wlodzimierz Bryc Professeur, University
  • carres de bessel
  • montre des resultats de convergence pour les estimateurs du maximum de vraisemblance
  • estimation de la densite spectrale
  • processus de bessel d'indice ν
  • changement de temps convenable
  • beaux resultats
  • volatilite stochastique dans le modele de prix
  • processus
  • travaux
  • travail
Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Source : perso-math.univ-mlv.fr
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MEMOIRE
presente pour obtenir
le dipl^ ome d’Habilitation a Diriger les Recherches
de l’Universite Paris-Est
Specialite : Mathematiques
Marguerite ZANI
Principes de grandes deviations
Classi cation de di usions et polyn^ omes orthogonaux
Etude de complexite pour des champs additifs
Soutenu le vendredi 5 novembre 2010 devant le jury compose de
Amine Asselah Professeur, Universite Paris-Est Creteil
Bernard Bercu Universite Bordeaux 1
Dominique Bakry Professeur, Universite Paul Sabatier, Toulouse 3
Nicolas Fournier Universite Paris-Est Creteil
Alain Rouault Professeur, Universite de Versailles
Zhan Shi Universite Pierre et Marie Curie, Paris 6
Henryk Wozniakowski Professeur, Columbia University & University of Warsaw
Rapporteurs
Wlodzimierz Bryc Professeur, University of Cincinnati
Zhan Shi Universite Pierre et Marie Curie, Paris 6
Henryk Wozniakowski Professeur, Columbia University & University of Warsawa mon pere, Mathieu
et a celle que l’on attendRemerciements:
Je voudrais en premier lieu remercier chaleureusement Wlodzimierz Bryc, Zhan Shi
et Henryk Wozniakowski d’avoir spontanement et gentiment accepte d’^etre rapporteurs
de ce memoire. Leur travaux m’ont accompagnee et m’accompagnent encore dans mes
recherches.
Je remercie egalement les autres membres du jury d’^etre al pour cette soutenance :
merci a Bernard Bercu et Alain Rouault pour leur attention toujours bienveillante envers
mon travail, merci a Amine Asselah et Nicolas Fournier de leur aide et de leur amitie au
sein du laboratoire de Creteil, merci en n a Dominique Bakry dont la presence me fait
tres plaisir et a qui je dois un des plus beaux resultats de ces pages.
Ce memoire resume en quelques chapitres les travaux de quelques annees de recherche.
Il est le re et d’un certain parcours qui n’aurait pu aboutir sans des rencontres et des
circonstances determinantes pour moi. C’est pourquoi je tiens a evoquer ici mes co-
auteurs, Dominique, Jean-Marie, Mikhail et Nizar: chacun a sa fa con m’a aidee a avancer,
a construire, en me montrant que si les mathematiques accompagnent notre vie, elles se
doivent de le faire avec enthousiasme, honn^etete et humanisme.
Je remercie egalement tous mes collegues et amis du laboratoire de mathematiques de
Creteil , que je ne citerai pas, de peur d’en oublier, mais qui se reconnaissent, membres
passes et presents. Leur presence a ete indispensable pour moi, dans les moments di ciles
comme dans les moments plus heureux. Je tiens a remercier aussi tous les membres du
laboratoire de mathematiques de Lille qui m’ont fait con ance et m’ont accueillie pour
mes premiers pas de Ma^ tre de Conferences.
J’ai une pensee pour ma famille, ceux de mon ^ le, si proches malgre la distance, et mes
amis chercheurs, danseurs ou militants (rarement les trois a la fois...)
Last but not least, merci a Nicolas qui accepte de vivre avec une mathematicienne, ce
qui ne doit pas ^etre evident tous les jours, et merci a mon petit Mathieu pour ^etreal tout
simplement....Introduction
Ce memoire presente une synthese de mes travaux de recherche. Il est compose de cinq
parties. Pour garder la coherence de l’ensemble, j’ai choisi d’y presenter les articles issus
de ma these ([Art1], [Art3], [Art4]). L’ordre adopte n’a pas ete l’ordre chronologique mais
une certaine forme de chronologie scienti que. Par ailleurs, j’y decris les articles en cours
qui sont dans une phase de redaction su samment avancee pour pouvoir ^etre presentes
([Art13], [Art14], [Art15]).
M^eme s’il n’en constitue pas une description exhaustive, on peut considerer que le
theme principal de mes travaux a ete l’etude de phenomenes de grandes deviations via le
calcul de la transformee de Laplace des variables aleatoires ou mesures aleatoires etudiees,
dans l’esprit des travaux de G artner et Ellis. Pour plus de details sur la theorie generale
des grandes deviations, voir les livres de Dembo et Zeitouni [37], Deuschel et Strook [38],
Dupuis et Ellis [41], et Ellis [42]. Nous calculons la log{Laplace normalisee ou fonction
generatrice des cumulants normalisee:
1 n Z n () = logE(e )n
n
associee a une famille de v.a. (Z ) . Nous notons ici de fa con generique n la vitesse.n n0
n (g)nLorsqu’il s’agit de mesures aleatoires , nous calculons E(e ), ou g est une fonctionn
dans le dual de l’espace des mesures etudie.
Le premier sujet presente dans la Section 1 est l’etude de formes quadratiques de pro-
cessus gaussiens. A la suite des travaux de Bryc et Smolenski [24], Bryc et Dembo [23], et
principalement Bercu, Gamboa et Rouault [15] ainsi que Bercu Gamboa et Lavielle [14], je
me suis interessee a des grandes deviations pour des statistiques de processus Gaussiens.
Ces statistiques de test ou estimateurs (periodogrammes, estimateurs en ondelettes, rap-
port de vraisemblance) sont des formes quadratiques de ces processus. Elles peuvent donc
se representer comme des sommes de variables aleatoires identiquement distribuees, de loi
2 (1), et ponderees par une suite de reelsf g. Cette suite de reels correspond au spec-k;n
tre associe a ces formes quadratiques. Ce sont les valeurs propres de produits de matrices
de Toeplitz (operateurs de Wiener{Hopf dans le cas continu). On peut alors calculer la
log{Laplace normalisee:
8 nX1>< log(1 2 ); si 2 k;n n
2n () = (1)n k=1>:
+1 sinon
avec
=f ;8k = 1; ;n; 2 < 1g (2)n k;n
Pn1Ainsi une etude precise de la distribution empirique des valeurs propres nousn k=1 k;n
permet de decrire le comportement asymptotique de . Cette etude est du ressort de lan
theorie des operateurs de Toeplitz, largement developpee depuis les travaux fondamentaux
de Grenander et Szeg o [46].
1Dans [Art3] je considere des processus gaussiens localement stationnaires au sens de
Dahlhaus. Il y a de nombreuses fa cons de voir la non stationnarite, la plus naturelle
etant de choisir un spectre dependant du temps et des frequences. Cependant, sans
plus d’hypotheses, on ne peut pas faire d’estimation de la densite spectrale. Dahlhaus
[29, 30, 31] a suppose une certaine forme de continuite en temps , pour pouvoir estimer la
densite localisee en temps ou integree en temps. Les matrices associees sont des matrices
de Toeplitz generalisees, le terme (j;k) dependant dej etk (voir les travaux de Grenander
et Szeg o [46], Kac, Murdoch et Szeg o [53]).
Dans [Art12], nous considerons les processus gaussiens a temps continu, les operateurs de
covariance etant alors des operateurs de Wiener{Hopf. Dans le cas que nous etudions ce
sont des operateurs a trace, et les theoremes de Szeg o ont leur analogue, dus a Widom
[98] et Basor [9]. Dans le cas du rapport de vraisemblance, les operateurs sont de Hilbert{
Schmidt et nous utilisons alors un resultat de Pinsker [80] pour trouver l’asymptotique de
la log{Laplace normalisee.
Il y a dans les deux etudes ci-dessus (localement stationnaire et continu) les m^emes
problemes que dans le cas stationnaire discret: presence de mauvaises valeurs propres
et question de l’escarpement de la log{Laplace normalisee limite. Ce probleme de butee
et de restriction de domaine du^ au fait que les variables n’ont pas tous leurs moments
exponentiels (condition de Cramer faible) est un aspect recurrent de nos travaux.
La n de la Section 1 concerne des grandes deviations pour des mesures aleatoires n
construites a partir de processus Gaussiens. Pour toute fonctiong continue, elles s’ecrivent
nX1
(g) = Z (3)n k;n k;nn
k=1
2ou les v.a. fZ g sont i.i.d. de loi (1) et les reelsf g sont les valeurs propres duk;n k;n
produit de la matrice de covariance du processus (matrice de Toeplitz pour les articles
[Art1],[Art10]) mutlipliee par une matrice diagonale ou par une fonction de cette matrice
de Toeplitz. Nous calculons alors la transformee de Laplace normalisee:
nX1
(g) = log(1 2 ): (4)n k;n
2n
k=1
De fa con generale, nous ne pouvons decrire la limite ( g) de cette transformee de Laplace
normalisee pour toutes les fonctionsg continues bornees. Cependant nous pouvons determiner
( g) pour g dans un sous{ensemble dense de points exposes de la fonction duale , et
cela est su sant pour conclure (voir Dembo et Zeitouni [37]).
Dans [Art7], nous etudions les variations quadratiques de processus gaussiens (voir les
travaux de Guyon et Leon [47]). Nous appliquons la methode ci{dessus pour trouver un
principe de grandes deviations pour la deformation en temps d’un processus stationnaire
de covariance connue:
Z =( ( t)): (5)t
ou est le processus stationnaire et est la deformation en temps a estimer.
2La deuxieme partie de mes travaux, presentee en Section 2, concerne l’ etude de grandes
deviations pour certains processus de di usions. Ce sont des processus bien particuliers:
carres de Bessel, (carres) d’Ornstein{Uhlenbeck et processus de Jacobi. Ils apparaissent
comme les uniques di usions associees a une famille de polyn^ omes orthogonaux dans R.
Nous detaillerons par la suite cette caracterisation, car elle est a l’origine de la troisieme
partie de ce memoire.
Les carres de Bessel, ou plus generalement carres d’Ornstein{Uhlenbeck radial sont les
solutions fortes de l’equation di erentielle stochastique suivante: pour > 0 et b2R
( p
dX = ( + 2bX )dt + 2 X dBt t t t
(6)
X = 0:0
b On note Q la loi de (X ;t 0) dans l’espace canonique ( ; (F ) ;F) avec
l’espacet t t0
+des fonctions continues a valeurs dansR . La propriete suivante d’additivite { due^ a Shiga
0 0et Watanabe [89] { est cruciale pour toute notre etude: soient ;;; 0
0 0b b b +Q Q = Q ; (7)0 0 +
et est l’operateur de convolution. Les solutions de l’equation (7) sont connues comme
les processus de branchement a espace d’etats continus (voir [57], [69]). C’est a dire qu’ils
apparaissent comme les di usions limites de processus de branchement a espaces d’etats
discrets, avec immigration (voir Athreya et Ney [2]). Ici l’intensite de l’immigration est ,
et l’intensite de branchement b. Par analogie avec le cas discret, on peut distinguer trois
cas:
a) le cas supercritique b > 0, le processus "explose" exponentiellement avec exposant
2b
b) le cas sous-critique b < 0, sans immigration ( = 0), le processus s’eteint presque
suremen^ t et avec immigration > 0, le processus est ergodique.
c) le cas critique b = 0, le processus s’eteint si = 0, et cro^ t lineairement si > 0.
Les solutions de (6) sont egalement connues en nance: dans le cas b< 0, c’est le celebre
modele de Cox{Ingersoll{Ross (CIR). En e et Cox et al. [27] ont propose cette E.D.S.
pour decrire la volatilite stochastique dans le modele de prix d’actifs de Black et Scholes.
Overbeck [76, 77] a montre des resultats de convergence pour les estimateurs du maximum
^ ^de vraisemblance (EMV) ( ;b ) des parametres (;b) obtenus par l’observation d’unet t
trajectoire (X ; s) ous
Z u
1 = inffu 0; X ds =1g:s
0
^ ^On montre dans [Art4] un principe de grandes deviations sur les EMV et b . Pourt t
calculer les transformees de Laplace, nous utilisons la methode de reduction (voir Yor
[100]). Les fonctions de taux obtenues sont non convexes. En e et les phenomenes de
grandes deviations observes sont non standard, cela est du^ au fait que la log{Laplace
3limite n’est pas escarpee: son domaine est limite par celui de la log{Laplace au temps t.
Nous montrons alors un theoreme de type G artner{Ellis generalise, et cette butee introduit
une partie lineaire dans la fonction de taux.
Les techniques precedentes s’appliquent de fa con naturelle a l’horloge de Bessel: on con-
sidere (

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