mettent en fait que l'affichage d'une suite dis crète de points voir figure

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APPLICATIONS PÉDAGOGIQUES 35 D e s o u tils p o u r le s m a th é m a tiq u e s mettent en fait que l'affichage d'une suite dis- crète de points (voir figure 5) ; – la dérivabilité ou le lissage : les outils « Trace » et « Lieu » font apparaître, pour une fonction non affine, un tracé plus élaboré que la ligne brisée souvent représentée par les élèves à partir de quelques points calculés (voir figure 6). L'association, soigneusement organisée par l'enseignant, de l'informatique et de la vidéo- projection avec une activité sur papier des élèves, toujours indispensable, favorise le sens de la recherche et le dialogue au sein de la classe. L'importance donnée aux scénarios d'utilisation rend aux questions pédagogiques leur rôle essentiel et renforce la pertinence de l'informa- tique dans le cours de mathématiques. Les maté- riels disponibles sont nombreux, leur coût tend à diminuer, ce qui les rend de plus en plus acces- sibles pour un établissement scolaire. De telles pratiques pédagogiques pourraient se dévelop- per par la conception de modules de formation proposant un accompagnement continu des pro- fesseurs dans la durée, comme l'IREM de Mont- pellier l'a mis en place entre 2000 et 2005 à tra- vers un suivi de formation à distance pour les enseignants de mathématiques (SFoDEM4).

  • géoplan

  • exploitation des logiciels de géométrie dyna-mique

  • per par la conception de modules de formation

  • logiciel

  • recherche manuelle de l'expression


Publié le : mardi 19 juin 2012
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4. Constructions géométriques avec Géoplan
Une approche du travail en classe
de seconde centrée sur
l’imbrication permanente entre
questionnements et analyse des
résultats.
Philippe Jonin
PROFESSEUR CERTIFIÉ DE MATHÉMATIQUES
LYCÉE D’ESTOURNELLES-DE-CONSTANT, VILLE DE LA FLÈCHE (72)
L
exploitation des logiciels de géométrie dyna-
mique s’est progressivement généralisée
dans nos classes. Leur usage le plus courant
se fait selon un scénario en deux temps : d’abord
une appropriation de la situation (qui fait appa-
raître de façon dynamique plusieurs configura-
tions) puis une démonstration manuelle des
conjectures obtenues.
Une approche un peu différente consiste à
rechercher une plus grande imbrication de ces
deux démarches.
La situation et les objectifs
Cette situation est proposée à des élèves qui ont
une maîtrise satisfaisante du logiciel, dans le
cadre du chapitre sur les fonctions de référence :
ABCD est un rectangle tel que AB = 1 et
AD = 2 (figure 1).
M est un point qui parcourt la demi-droite
]BU). (On placera U tel que
).
La droite (CM) coupe la droite (AD) en N.
On se propose d’étudier les aires des triangles
CBM (notée f
1
) et DCN (notée f
2
).
AU
AB
=
3
Si on appelle
x
la distance BM, on obtient rapi-
dement : f
1
(
x
)
=
x
(travail algébrique simple) et
(Théorème de Thalès, par exemple.)
Cette situation vise les objectifs suivants :
– lors de la construction de la figure, s’appro-
prier la situation, identifier les points libres, les
points liés (différencier les notions de points
mobiles et de points libres) ;
– changer de perspective : faire se côtoyer les
aspects géométriques, fonctionnels, numériques,
algébriques et graphiques ;
– choisir, pour répondre aux questions, entre
la figure, les données numériques ou la repré-
sentation graphique des fonctions ;
1.
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– reconnaître des situations clés (fonction
inverse) ;
– réfléchir à la nature et à la validité d’une
réponse donnée par l’ordinateur (peut-elle être
considérée comme une preuve ?).
Le scénario
La construction de la figure géométrique
La construction ne pose pas de difficulté pour
des élèves qui ont acquis la notion de point libre.
En revanche, la liaison avec l’aspect fonctionnel
se doit d’être plus finement guidée.
Le logiciel Géoplan permet de définir une fonc-
tion f de multiples façons. On pourra schémati-
quement retenir deux approches :
Étude de l’aire de CBM
I. Construire la figure sous Géoplan.
II. Étude de l’aire du triangle CBM.
1. On appelle
x
la distance BM.
a. À quel intervalle appartient
x
?
b. Afficher
x
à l’écran.
2. « Créer », puis afficher, l’aire du triangle CBM.
3. On appelle f
1
la fonction qui à
x
associe l’aire de
CBM. Déterminer à la main l’expression de f
1
(x).
4. Représenter graphiquement la fonction f
1
(on utili-
sera un point P et le mode « Trace »).
Étude de l’aire de DCN
1.
a.
« Créer », puis afficher l’aire du triangle DCN.
On appelle f
2
la fonction qui à
x
associe l’aire de DCN.
b.
Existe-t-il une valeur de
x
telle que f
2
(x) = 0?
c.
Existe-t-il une valeur de
x
telle que f
2
(x) = 50?
d.
Existe-t-il une valeur de
x
telle que f
2
(x) = 1000?
e.
Représenter graphiquement la fonction f (on utilise-
ra un point Q et le mode « trace »).
f.
À quelle fonction de référence fait penser cette fonc-
tion f
2
? Imprimer la figure (avec les deux fonctions tra-
cées).
2. Déterminer à la main l’expression de f
2
(x).
2. M tend
vers l’infini.
– algébrique : on définit f par son expression.
Par exemple :
– géométrique : on construit une figure dyna-
mique et l’on calcule avec le logiciel une aire (ou
une distance ou un angle, éventuellement avec
quelques traitements algébriques : addition de
deux aires, multiplication de deux distances…).
On affiche ensuite cette aire pour différentes
positions de la figure. On n’oubliera pas de défi-
nir parallèlement une variable, si l’on souhaite
construire une fonction.
Ces potentialités doivent être bien identifiées
si l’on ne veut pas manquer ses objectifs et induire
des contrats implicites souvent trompeurs.
On choisit ici de définir explicitement la
variable
x
. Un autre choix pour
x
, par exemple la
distance AM, modifie radicalement les fonctions.
On délègue de plus le calcul de l’aire des triangles
(et leur affichage) au logiciel: le travail algébrique
sera donc réalisé à la main (voir ci-contre
l’« Étude de l'aire de CBM »).
L’affichage de l’aire (deuxième question) per-
met de conjecturer immédiatement son expres-
sion algébrique. Quelques élèves pensent dans
un premier temps avoir commis une erreur : le
fait que l’aire est égale à
x
les surprend. On
confirme la nature de f
1
en la représentant graphi-
quement dans la question n° 4 par le biais d’un
ensemble de points et du mode « Trace ».
L’étude de l’aire de DCN
Le calcul de l’aire de DCN est plus délicat mais
plus riche. On se propose ici de réfléchir à la
nature des réponses numériques du logiciel.
L’« Étude de l'aire de DCN » (ci-contre) présente
le scénario de cette activité.
De la même façon que pour CBM, on délègue
dans un premier temps le calcul de l’aire au logi-
ciel. Cependant, on exploite cette fois les données
numériques pour l’étude de f
2
.
La question n° 1.
b.
demande une attention
particulière pour l’enseignant. En effet, l’élève
ne prend pas spontanément pour critère la lar-
geur de son écran. Il n’obtient donc pas une valeur
de
x
supérieur à 10 et donc une valeur pour l’aire
inférieure à 0,1. Il va falloir, par un jeu de ques-
tions, l’amener à produire une preuve géomé-
trique (puisque le numérique vient d’échouer et
que l’aspect fonctionnel n’est pas encore
construit) de l’impossibilité pour cette aire d’être
nulle.
On peut, par exemple, l’inciter à sortir de
l’écran en prenant de très grandes valeurs pour
x
(de l’ordre de 2 000 000… il faut alors jouer sur
le pas de déplacement). Le logiciel affiche dans
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ce cas une aire nulle (la précision de l’affichage
a été choisie à 6 décimales), comme le montre la
figure 2.
Beaucoup d’élèves sont alors tentés de
répondre par l’affirmative en donnant la valeur de
x
affichée par le logiciel. Mais quelle serait alors
la nature du triangle DCN ? Ils arrivent assez rapi-
dement à la conclusion d’un nécessaire parallé-
lisme entre la droite (CM) et la droite (DC), ce qui
est en contradiction avec les hypothèses sur nos
points. Il n’existe donc pas de valeur de
x
pour
laquelle l’aire est nulle, et le zéro affiché n’ex-
prime qu’un dépassement de capacité du codage
des nombres par le logiciel.
Nous venons donc de répondre négativement
à la question, alors que le logiciel pouvait laisser
penser le contraire.
La question n° 1.
c.
est tout aussi délicate. Il
faut avoir en tête que, lors de la construction,
l’élève a défini le point M comme un point libre et
qu’ensuite seulement il a défini
x
comme la dis-
tance BM. Lorsqu’il modifie sa figure, il pilote
donc M qui modifie indirectement
x
. Cela semble
équivalent mathématiquement… mais cette étape
intermédiaire empêche un pilotage simple de
x
:
la position initiale de M est souvent arbitraire et
son pas de déplacement (réglable dans le logi-
ciel) dépend du repère utilisé : un déplacement
de 0,1 de M n’implique pas une incrémentation
de 0,1 de
x
!
Ainsi, dans un premier temps, le pas de
déplacement est trop grossier et l’aire
passe d’une valeur d’à peu près 20 à une
impossibilité (symbolisée par une étoile
dans le logiciel). Il est important de deman-
der alors la cause de cette impossibilité et
d’inciter une nouvelle fois à la production d’un
argument géométrique (les droites (AD) et
(CM) sont parallèles et le point N n’existe plus).
Dans un second temps, on diminue le pas de
déplacement de M de façon à présenter une aire
supérieure ou égale à 50. Les élèves passent alors
un temps conséquent à affiner la recherche d’une
valeur de
x
donnant exactement une aire de 50.
Il faut noter à ce sujet que pour
x
= 0,02 le logi-
ciel n’affiche pas nécessairement 50. L’idée est,
ici, de faire comprendre la notion de continuité de
la situation (alors que le logiciel travaille sur un
modèle numérique discret). Assez rapidement
les élèves sont convaincus que 50 est bien atteint
même si subsiste un doute sur la valeur corres-
pondante de
x
.
Nous venons donc de répondre affirmative-
ment à la question, alors que le logiciel incitait à
une réponse négative.
La réponse n° 1.
c.
porte sur la même notion et
n’appelle pas de commentaire. La question n° 1.
e.
vise à construire un lien avec la représentation
géométrique de f
2
en passant par l’intermédiaire
du point Q de coordonnées (
x
,
f
2
(
x
)) et l’utilisa-
tion du mode « Trace ».
Comme on peut le constater, on a choisi de tra-
cer la représentation graphique de la fonction
sur le même graphique que la construction géo-
métrique, ce qui peut poser des problèmes d’in-
terprétation (le repère est décalé) mais est un
bon compromis entre simplicité et effica-
cité, car séparer l’écran en deux figures est
un peu long à mettre en place avec les
élèves mais donne un bien meilleur résul-
tat.
On conclut cette partie en demandant
une recherche manuelle de l’expression de
f
2
. Cette recherche peut s’avérer longue et
devra être terminée pour le cours suivant.
On peut enfin envisager, pour des élèves per-
formants, une troisième étape où l’on comparera
les deux aires et où l’on étudiera la fonction défi-
nie comme la somme des deux aires :
qui constituera une ouverture vers la classe de
première.
Déjouer les modèles numériques
Le logiciel a été pris en défaut deux fois au cours
de cette activité : le modèle numérique et discret
qu’il utilise pour manipuler les objets géomé-
triques crée en effet des obstacles qu’il convient
de prévoir et d’exploiter pour ne pas manquer
nos objectifs pédagogiques.
Cette mise en défaut est évidemment voulue et
constitue un moyen de réinvestir et de dévelop-
per nos compétences mathématiques.
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1
3. Liaison avec la représentation graphique.
De manière voulue,
le logiciel a été pris
en défaut deux fois
au cours de cette
activité.
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