Module Mat242 Annee

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Module Mat242 Annee 2010–2011 C. Peters fevrier 2011

  • rappels sur les bornes sup

  • fonctions de periodicite quelconque

  • critere

  • serie

  • convergence uniforme

  • composition des series

  • series de fourier

  • rayon de convergence


Publié le : mardi 1 février 2011
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Module Mat242 Anne´e20102011
C.
Peters
fe´vrier
2011
Tabledesmatie`res
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Suitesetse´riesdefonctions 1.1Quelquesrappelssurless´eriesnum´eriques........... 1.2 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4Convergenceuniformeetcontinuit´e............... 1.5Convergenceuniformeetinte´gration.............. 1.6Convergenceuniformeetde´rivation...............
Se´riesentieres ` 2.1 Rappels sur les bornes sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3Sommes,produitsetcompositiondesse´ries........... 2.4D´erivation............................. 2.5 Les fonctions e z , log( z ), sin( z ) et cos( z ) . . . . . . . . . . . . .
Se´riesdeFourier 3.1Polynoˆmesetse´riestrigonom´etriques.............. 3.2Se´riesdeFourier......................... 3.3Fonctionsdepe´riodicite´quelconque..............
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2 2 3 4 5 6 6
8 8 9 10 11 12
15 15 16 20
Chapitre 1
Suitesets´eriesdefonctions
1.1Quelquesrappelssurless´eriesnume´riques Soit ( u 0 .u 1 , . . . )unes´erienum´erique.Onconside`releurssommespartielles s 0 = u 0 s 0 = u 0 + u 1 . s n = u 0 + ∙ ∙ ∙ + u n
La suite ( s 0 , s 1 , . . . ) des sommes partielles est las´erieassoci´ee `alasuite num´erique( u nn N ).L´ecritureformelleest: X u n . n =0 Danslecaso`ulim n →∞ s n existeeteste´galea` s , on dit que la somme P n =0 u n . este´gala` s eton´ecrit X u n = s. n =0 Silase´rieneconvergepas,onditquelle diverge .
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Exemples 1.1.1. 1) S´erieg´eom´etrique . Soit a R avec | a | < 1. Alors X a n =1 . 1 a n =0
Lase´riedivergesi | a | ≥ 1. 2)Lase´rie X n 1 α n =1 converge pour α > 1 mais elle diverge si α 1. Rappelons aussi la notion de convergence absolue . On dit que P n =0 u n converge absolument si P n =0 | u n | converge. Convergence absolue implique convergence,maispasreciproquement(las´erie X ( 1) n n 1convergemais ´ n =1 X n 1diverge). n =1 Voiciuncrite`repourtestersil´iec a ser onverge : Lemme 1.1.2. Si P n =0 u n converge, alors lim u n = 0 (mais l’assertion r´eciproquenestpasvrai). Pour les s´eries`atermespositives ,onaplusieursr´esultatsutiles: 1. Si 0 u n v n , alors : P v n converge = P u n converge. 2. Crit´eredAlembert : Supposons que les termes de la serie ( u n ) n N ´ sont toutes > 0 et que lim u n +1 = k existe. Alors : n →∞ u n k > 1 = divergence de P u n ; k < 1 = convergence de P u n . 3. Crit`eredeCauchy : Supposons que lim n u n = k existe. Alors : n →∞ k > 1 = divergence de P u n ; k < 1 = convergence de P u n .
1.2 Convergence simple Soit I R un intervalle et soient f n : I R , n = 0 , 1 , 2 , . . . des fonctions. Ellesde´nissentlasuite( f 0 , f 1 , f 2 , . . . ).
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De´nition1.2.1. 1. Soit f : I R . On dit que f n f converge sim-plement vers f , si pour tout x I la limite lim n →∞ f n ( x ) existe et vaut f ( x ). 2. Soit s : I R .Onditquelas´erie P n =1 f n converge simplement vers s si pour tout x I les sommes partielles P in =1 f i ( x ) convergent vers s ( x ). Probl`eme. Si f n estcontinue,resp.de´rivable,resp.int´egrable,quest-cequon peut dire sur la limite f . Exemples 1.2.2. 1. L’exemple f n ( x ) = x n montre que la limite n’est pas forc´ementcontinue. 2. L’exemple f n =si n nnx montre que f n 0 neconvergepasforc´ementvers f 0 . 3. L’exemple f n ( x ) = nx (1 x 2 ) n montre que R 01 f n ( x ) dx ne converge pas forcement vers R 01 f ( x ) dx . ´ 4.Le´tudedelas´erie P n =0 f n ( x ) x 2 qu’une ou` f n ( x ) = (1 + x 2 ) n montre se´riedefonctionscontinuenapasfor´tnesommecontinue. cemen u
1.3 Convergence uniforme Soit I R un intervalle f n : I R , n = 0 , 1 , . . . des fonctions. De´nition1.3.1. 1. Soit f : I R . On dit que f n f converge uni-forme´ment , si  > 0, N = N ( ) tel que si n N , | f n ( x ) f ( x ) | ≤ pour chaque point x I . 2. Soit s : I R .Onditquelas´erie P n =1 f n ( x ) converge uniforme´ment vers s ( x ) sur I si les sommes partielles P in =0 f i convergentuniforme´ment vers s . Dans l’exemple 2 du paragraphe precedent, f n = x n ne converge pas ´ ´ uniforme´mentverssalimitesur I = [0 , 1]. Ilyadeuxcrit`eresimportants: Crite`re1.3.2 (Cauchy) . 1. On a f n f uniforme´mentsur I si et seule-ment si  > 0 , N = N ( ) tel que si n, m N , et x I , | f n ( x ) f m ( x ) | ≤ .
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2. On a P n f n = s uniforme´mentsur I si et seulement si  > 0 , N = N ( ) tel que si n m N , et x I , | f m ( x ) + ∙ ∙ ∙ + f n ( x ) | ≤ . Crit`ere1.3.3 (Weierstraß) . Supposons que 1. Pour chaque x I , | f n ( x ) | ≤ M n , 2. P n +1 M n converge, alors P n =1 f n convergeuniforme´ment. Exemple 1.3.4. Las´erie X sin p nx convergeuniform´ementsur R si p > 1. n n =1 De´nition1.3.5. Sousleshypoth`esesde1.3.3onditquelas´erie P n f n converge normalement sur E . Donc : convergence normale = convergence uniforme.
1.4Convergenceuniformeetcontinuit´e Th´eor`eme1.4.1. Soit ( f n ) , n = 1 , 2 , . . . une suite de fonctions continues sur I R .Onsupposequecettesuiteconvergeuniform´ementversunefonc-tion f . Alors f est continue. Exemples 1.4.2. 1. La suite
nx f n = nx + 1 ne converg unif ´ t sur la demi-droite x 0 car la limite e pas ormemen n’est pas continue. Par contre, sur la demi-droite x δ avec δ > 0 la convergence est uniforme (avec limite 1). 2. La fonction zeta : ζ ( x ) = X n 1 x , x > 1 . n =1 La convergence est uniforme sur chaque intervalle x 1 + δ avec δ > 0 et donc ζ est une fonction continue sur la demi-droite x > 1. On a l x i m 1 ζ ( x ) = etdonclaconvergencenepeutpaseˆtreuniformesurlademi-droite x > 1.
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1.5Convergenceuniformeetinte´gration Th´eor`eme1.5.1. Soit f n , n = 1 , 2 , . . . une suite de fonctions continues sur un intervalle [ a, b ] quiestuniforme´mentconvergente.Alors Z abn li m f n ( x ) dx = n li m Z ab f n ( x ) dx. Remarque. Onpeutmˆememontrerquesiles f n sontinte´grablessur[ a, b ], la limiteuniformeestint´egrableetlaformuledutheor`eme1.5.1restevraie. ´ Corollaire 1.5.2. Soit f n , n = 1 , 2 , . . . une suite de fonctions continues sur un intervalle [ a, b ] tellequelasommeconvergeuniforme´ment,alors X f n Z abn =1 ( x ) dx = n = X 1 Z ab f n ( x ) dx. 1.6Convergenceuniformeetde´rivation Lexemple1.2.22montrequemeˆmesiunesuitedefonctionsd´erivables convergeuniforme´mentversunefonctiond´erivable,disons f n f , alors on napasforc´ement f n 0 f 0 . Th´eor`eme1.6.1. Soit ( f n ) n N unesuitedefonctionscontinuˆmentd´erivables sur un intervalle I telle que 1. f n ( x 0 ) y 0 , x 0 I 0 2. f n g (uniform´ement). Alors, si on pose x Z x 0 gdx, f ( x ) := y 0 + la fonction f estd´erivable,lasuite ( f n ) n N convergeuniform´ementvers f , et on a g ( x ) = lim ddfx n = ddx n li m f n = f 0 ( x ) . n →∞ Remarque. Aulieudelacontinuite´de f n 0 , il suffit de supposer que f n est de´rivable. Corollaire 1.6.2 (Versionfaibleduth´eor`eme) . Si f n f et f 0 n g uni-forme´mentsurunintervalle I , alors f estd´erivableet f 0 = g sur I .
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