Module Unités conversion homogénéité

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Module 1 : Unités/conversion/homogénéité 1 Unités du Système International (SI) Le système international (SI) est composé de sept unités fondamentales. Les autres unités sont des unités dérivées et se déduisent des précédentes. Unité SI Grandeur Dimension le mètre (m) Longueur L le kilogramme (kg) Masse M la seconde (s) Temps T l'ampère (A) Intensité électrique I le kelvin (K) Température ? la mole (mol) Quantité de matière N le candela (Cd) Intensité lumineuse J 2 Unités usuelles Unité Grandeur Exemples le degré Celsius (°C) Température température au coeur du soleil : 15.106°C le coulomb (C) Charge électrique charge d'une batterie de téléphone portable : 3000 C, charge d'un électron : e = 1, 6.10?19 C le farad (F ) Capacité d'un conden- sateur condensateurs utilisés en électronique : 1.10?12 à 1.10?3 F le henry (H) Inductance d'une bo- bine inductance d'un haut-parleur : 10 mH le hertz (Hz) Fréquence fréquence d'un La : 440 Hz, Téléphone sans fil : 2, 4 GHz le joule (J) Énergie énergie d'un litre d'essence : 40.106 J le newton (N) Force poussée de l'A380 : 1, 2.106 N l'ohm (?) Résistance électrique résistance usuelle en électronique : 1 à 106 ? le pascal (Pa) Pression pression sur Terre : 101325 Pa sur Mars 600 Pa

  • intensité du champ de pesanteur

  • dimension

  • masse

  • pression pression sur terre

  • température ?

  • energie

  • analyse dimensionnelle

  • i0 √

  • fréquence fréquence


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Module 1 : UnitÉs/conversion/homogÉnÉitÉ
1 Unitsdu SystÈme International (SI) Le systme international (SI) est compos de sept units fondamentales. Les autres units sont des units drives et se dduisent des prcdentes. Unit SIGrandeur Dimension le mtre (m)Longueur L le kilogramme (kg)Masse M la seconde (s)Temps T l’ampre (A)Intensit lectriqueI le kelvin (K)TempratureΘ la mole (mol)Quantit de matireN le candela (Cd)Intensit lumineuseJ
2 Unitsusuelles
Unit le degr Celsius (C) le coulomb (C)
le farad (F)
le henry (H)
le hertz (Hz)
le joule (J) le newton (N) l’ohm (Ω) le pascal (P a) le tesla (T)
le volt (V) le watt (W)
Grandeur Temprature Charge lectrique
Capacit d’un conden-sateur Inductance d’une bo-bine Frquence
Ènergie Force Rsistance lectrique Pression Intensit du champ magntique Tension lectrique Puissance
Exemples 6 temprature au coeur du soleil :15.10C charge d’une batterie de tlphone portable : 19 3000C, charge d’un lectron :e= 1,6.10C 12 condensateurs utiliss en lectronique :1.10 3 À1.10F inductance d’un haut-parleur :10mH
frquence d’un La :440Hz, Tlphone sans fil : 2,4GHz 6 nergie d’un litre d’essence :40.10J 6 pousse de l’A380 :1,2.10N 6 rsistance usuelle en lectronique :1À10 Ω pression sur Terre :101325P asur Mars600P a 5 champ magntique terrestre :5.10T, ITER : 21T 6 orage :10À20 10V 9 5 centrale nuclaire :1.10W, olienne :3.10W
3 Prfixesd’units du systÈme international n nn 10Prfixe Symbole10Prfixe Symbole10Prfixe Symbole 15129 10femtof10picop10nanon 63 3 10microµ10millim10kilok 6 912 10megaM10gigaG10teraT
4 Equationaux dimensions Il est ncessaire de faire la distinction entre la dimension d’une grandeur physique et son unit. Par exemple une distance a pour dimension une longueur, mais elle pourra s’exprimer dans diverses units (le mtre, le mile, l’angstrm...). La dimension d’une grandeur renseigne sur sa nature physique, c’est une caractristique beaucoup plus gnrale que son unit. La dimension d’une grandeur s’exprime en fonction des sept dimensions fondamentales (L, M, T, I,Θ, N et J). Si la dimension d’une grandeurkn’est pas connue, on la note entre crochets[k]. Par exemple si 1 Vest une vitesse, on note sa dimension[V] =L.T. Remarquons que : – Lesnombres sont des grandeurs sans dimension. – Lesangles ont une unit mais pas de dimension. – Lerapport de deux grandeurs de mme dimension est sans dimension. – Lesfonctions mathmatiques (cos, sin, tan, exp, ln ...) et leurs arguments sont sans dimen-sion. Par exemplecos(x)etxsont sans dimension. h i  2 [x] [x] dx dx =et2=2 dt Tdt T
5 Homognitd’une expression Une Équation est homogÈne si tous les termes de l’Équation ont la mme dimen-sion. Dans le cas contraire, l’Équation est forcÉment fausse. Par consquent : – Lestermes d’une somme ou d’une diffrence ont la mme dimension. – Lesdeux membres d’une galit ont la mme dimension. L’analyse de l’homognit constitue un puissant outil pour dtecter une erreur puisqu’une qua-tion non homogne est ncessairement fausse.
à la fin de tout calcul littÉral, il faut vÉrifier l’homogÉnÉitÉ de l’expression obtenue. .
6 Applications Conversion d’unitÉs Convertir : 11 15;en radian1500tr.minenHzet enrad.s; 11 3,12km.henm.s;4,2mol;en nombre de molcules 313 6,44Lendm;12mol.Lenmmol.cm; 13 25CenK;0,98g.Lenkg.m Equations aux dimensions En vous aidant d’quations physiques connues, exprimer les units usuelles de force, d’ner-gie et de puissance en fonction des units de base du systme international. Dterminer l’quation aux dimensions des grandeurs suivantes : – L’nergiecintiqueEc; – L’intensitdu champ de pesanteurg; – Lacharge lectriqueq; – Lapulsationω. Quelle est la dimension de : 1 – oÙLune inductance etC;une capacit d’un condensateur LC R – oÙR;est une rsistance L mgzmest une masse,gl’intensit du champ de pesanteur etzl’altitude ;
P VPest une pression etVun volume; q 8RT11 – oÙRest la constante des gaz parfait enJ.K .mol,Mla masse molaire etT πM la temprature.
αt On considreI=I02ecos(ωt+ϕ)I; quelle est laest l’intensit d’un courant dimension deI0,α,ω, etϕ?
HomogÉnÉitÉ Les expressions suivantes sont-elles homognes : 2 kl+mg=akest une constante de raideur,lune longueur,mest une masse etaune acclration ; q l T= 2πTest une priode,lest une longueur etgl’intensit du champ de pesanteur; g 1 2 x(t) =gt+v0t+ 3; 2 du1 +u=EEest une tension ettest un temps; dt τ 2 d q3R dq1E 2+ +q=qest la charge,Cla capacit,Ll’inductance,Rla rsistance et dt Ldt LCL E;une tension 2 d xm 2+x=F0cos(ωt+x)xest la position,tle temps,mla masse,kune constante de dt k raideur,F0une force, etωune pulsation; 2 0Dd0 f=f,D, etdsont des distances; 4D 1 E=Eest une nergie,hest la constante de Planck enJ.s,λenmetcenm.s. c
Application L’analyse dimensionnelle a permis À G. I. Taylor d’estimer en 1950 l’nergie dgage par l’explosion d’une bombe atomique, alors que cette information tait classe top secret. Il a observ sur un film d’explosion, que la dilatation du champignon atomique suivait la loi exprimentale de 2 proportionnalit :r(t)t. Taylor a ensuite suppos que ce phnomne dpend au minimum du 5 tempst, de l’nergieEdgage par l’explosion et de la masse volumique de l’airρ. Dterminer À partir d’une analyse dimensionnelle l’expression deren fonction deρ,Eettpuis en dduire l’expression deE.
Attention : Une expression homogÈne n’est pas nÉcessairement juste!
7 Chiffressignificatifs C’est le nombre de chiffres que l’on donne pour la valeur d’une grandeur sans compter les zro avant le premier chiffre non nul. Exemple: 0,16 et 0,016 sont donns avec deux chiffres significatifs. En revanche 0,160 et 100 le sont avec trois. Si, pour une application numrique, on dispose de donnes comportant un nombre diffrent de chiffres significatifs, l’application numrique finale comportera le nombre de chiffres significatifs le plus bas. Exemple:R1= 112 Ω;R2= 1,0kΩ,R1+R2= 1,1kΩ. On aurait pu tre tent d’crire R1+R2= 1112 Ω. . .
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