Notes sur les ensembles et applications

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Notes sur les ensembles et applications 2 septembre 2010 I Ensembles 1. Qu'est-ce qu'un ensemble ? Exemples « Dieu crea les entiers naturels, le reste est l'oeuvre de l'Homme. » Leopold Kronecker Nous ne definirons pas ce qu'est un ensemble : c'est une brique de base. Il est plus important de connaıtre les « regles » a employer pour manipuler des ensembles. Malgre cette mise-en-garde de principe, une «definition intuitive » d'un ensemble est la suivante. Definition 1 Un ensemble E est une collection d'objets (de preference) mathema- tiques. • Un objet x est un element d'un ensemble E si x appartient a E. Autrement dit : x figure dans la collection E. • Si x est un element de E, on note x ? E. Ce qui se lit « x appartient a E ». • Si x n'est pas un element de E, on note x 6? E. Ce qui se lit « x n'appartient pas a E ». Principe d'extension Ce principe est fondamental. Le principe d'extension est le suivant : Un ensemble E est entierement decrit par ses elements. De fac¸on imagee, on pourrait paraphraser ce principe en disant : Dites-moi ce qu'est le contenu, je vous dirai ce qu'est le contenant.

  • garde de principe

  • principe d'extension

  • memes elements

  • principe

  • souvenirs d'arithmetique

  • propriete de distributivite

  • notations correspondantes

  • f1 ?

  • derniere propriete


Publié le : mercredi 1 septembre 2010
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Notes sur les ensembles et applications
2 septembre 2010
I Ensembles
1. Qu’est-ce qu’un ensemble ? Exemples « Dieucre´alesentiersnaturels,leresteestloeuvredelHomme. »
Leopold Kronecker Nousnede´nironspascequestunensemble:cestunebriquedebase.Ilestplusimportantdeconnaˆıtreles « r`egles » `aemployerpourmanipulerdesensembles.Malgre´cettemise-en-gardedeprincipe,une « de´nition intuitive » d’un ensemble est la suivante. De´nition1 Un ensemble E estunecollectiondobjets(depr´ef´erence)mathe´ma-tiques. Un objet x est un ´ele´ment d’un ensemble E si x appartient`a E. Autrement dit : x figure dans la collection E. Si x estune´le´mentde E, on note x E. Ce qui se lit « x appartient`a E » . Si x nestpasune´le´mentde E , on note x 6∈ E. Ce qui se lit « x nappartientpasa` E » .
Principe d’extension Ce principe est fondamental. Le principe d’extension est le suivant : Un ensemble E estenti`erementd´ecritparsese´l´ements. De ¸ agee, on pourrait paraphraser ce principe en disant : facon im ´ Dites-moi ce qu’est le contenu, je vous dirai ce qu’est le contenant. Remarque : Lorsquelonpeutenumererlese´le´mentsdunensemble E, onde´criralensembleenextension. ´ ´ Par exemple, 1. E = { 1 , 2 , 3 } de´signelensembledontles´el´ementssontlesentiers 1 , 2 et 3 . 2. L’ensemble A constitu´edeslettresdelalphabetse´crit: A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } .
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PCSI B
Math´ematiquesLyc´eeBrizeux-anne´e2010-2011
Remarque : Ilfautavoirenteˆtequelordredanslequelles´ele´mentsdelensemblesont´enum´ere´simporte peu;quun´el´ementr´epe´t´plusieursfoisnecomptequunefois!Ainsi: e 1. { 1 , 2 , 3 } et { 2 , 1 , 3 } de´criventlemˆemeensemble; 2. { 1 , 1 , 2 } et { 1 , 2 } de´criventlemˆemeensemble.
Egalit´edensembles Leprincipedextensionapourconse´quencele´galite´densembles. Soient E et F des ensembles. On dit que les ensembles E et F sont ´egaux silsposs`edentlesmˆemesel´ements. ´ On note E = F si les ensembles E et F sont´egaux; E 6 = F silsnesontpas´egaux. Remarque : Le´galit´eentredeuxensemblespeutseformulerainsi: E = F si et seulement si ( x E x F ) . Poursefamiliariseraveclanotiond´egalite´densembles,voicideuxexemples. Exemple : 1. { 1 , 2 , 3 } = { 2 , 1 , 3 } ; 2. Soient E = { 1 , 2 , 3 } et F = { 0 , 1 , 3 } . Les ensembles E et F nesontpase´gaux.Eneet 2 E, mais 2 6∈ E ; 3. Soient E = { n N | ( m N , n = 15 m ) } et F = { n N | ( k N , n = 5 k ) et ( ` N , n = 3 ` ) } . Lesensemblesconsid´ere´ssontde´critsen compr´ehension (voir plus loin). On a E = F : ceci est admis pourlemoment(ilfautavoirdessouvenirsdarithme´tique).
Exemplesdensembledusagef´equent r • ∅ :d´esignelensemblevide(lensemblequinaaucune´le´ment); N :de´signelensembledesentiersnaturels; Z :de´signelensembledesentiersrelatifs; Q :de´signelensembledesnombresrationnels; R :d´esignelensembledesnombresre´els; C :de´signelensembledesnombrescomplexes. Bienentendu,dautresensemblesinterviendronttoutaulongdelann´eeetlesnotationscorrespondantes pourlesd´esignerapparaitrontlecas´eche´ant.
Descriptionencompr´ehension Onavudeuxexemplessanspourautantdirecequestpre´cis´ementcette description. Un ensemble F estd´ecritencompr´ehensionsilestd´ecritcommelensembledese´le´mentsdun ensemble E ayantunecertainepropri´ete´ P ( x ) . One´critalors: F = { x E | P ( x ) } . Par exemple, l’ensemble 2 N desentierspairspeuteˆtrede´critencompr´ehensionainsi 2 N = { n N | ( k N , n = 2 k ) } , lapropri´et´e P ( n )e´tantici( k N , n = 2 k ) . Remarque : 1.Onnoublierapasd´ecrire x E (onpre´cisedansquelensemblechoisir x ). Mettre simplement x n’a pas desens,etpire,peutconduirea`dese´rieuxparadoxes. 2.Onparlee´galementdedescriptionens´election:onse´lectionneles´ele´mentsquiontla « bonne » proprie´te´.
Inclusion Soient E et F des ensembles. On dit que E est inclus dans F sitouslese´l´ementsde E sont des ´el´ementsde F. On note E F si E est inclus dans F ; E 6⊂ F si E n’est pas inclus dans F. Remarque : L’inclusion d’un ensemble E dans un ensemble F peut se formuler ainsi :
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Mathe´matiquesLyceeBrizeux-ann´ee2010-2011 ´
E F si et seulement si ( x E x F ) .
E F si et seulement si ( x E, x F ) .
ou ainsi : Remarque : 1.Poure´tablir E F, on se fixe x E arbitraireeton´etablitquece x arbitraireappartienta` F ; 2.Pour´etabliraucontraireque E 6⊂ F, on exhibe un x E tel que x 6∈ F. Lespropri´et´essuivantessontfre´quemmentutilis´ees:
Proprie´t´e1 Soient E, F et H des ensembles. 1. ∅ ⊂ E ; 2. E E ; 3. Si E F et F G, alors E G ; 4. E = F ( E F et F E ) .
Remarque : Lapropri´ete´1ci-dessusestloindeˆtree´vidente.Pour´etablirunepropri´ete´ou`intervientlen-semblevide,ilestfre´quentdefaireun raisonnement par l’absurde. Nous renvoyons aux notes sur les di´erentsraisonnementsetleurbonusagepourlad´emonstrationdecetteproprie´te´1. ` A retenir : • ∅ est inclus dans n’importe quel ensemble ; Poure´tablirquedeuxensembles E et F sonte´gaux,onproce´derapar double-inclusion : On´etablitque E F ; puis que F E. Exemple : 1. N Z Q R C ; 2. Soient F = { n N | ( k N , n = 5 k ) et ( ` N , n = 3 ` ) } et E = { n N | ( m N , n = 15 m ) } . On a F E. En effet : soit n F. Dapr`eslade´nition, n s´ecritdedeuxmanie`res: – il existe k N tel que n = 3 k ; – il existe ` N tel que n = 5 `. Cesdeux´ecrituresde n permettent de dire que 3 et 5 gurentdanslad´ecompositionenfacteurspremiers de n. Parconse´quent n est un multiple de 15 = 3 × 5 . Il existe donc m N tel que n = 15 m : n appartient donca` E. Ceci´etablitque F E. ´ Exercices. Etablir que E F. En d´duire E = F. e 2. Parties d’un ensemble. Operations sur les parties ´ Un ensemble F contenu dans E estappele´une partie de E (synonyme : sous-ensemble).
L’ensemble des parties d’un ensemble E estnote´ P ( E ) .
Remarque : On a F E F ∈ P ( E ) . Exemple : 1. et E sont des parties de E. On peut d ´crire : ∅ ∈ P ( E ) ; E ∈ P ( E ) . onc e 2. { 1 , 2 } est une partie de { 1 , 2 , 3 } . 3. Soit E = { 1 , 2 } . On a P ( E ) = {∅ , { 1 } , { 2 } , { 1 , 2 }} . Exercices.
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