Notions du chapitre Integrales de Riemann et de Lebesgue sur R

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Notions du chapitre Integrales de Riemann et de Lebesgue sur R Interets de l'integrale de Lebesgue Integrable abstraite Integrale de Lebesgue

  • fonctions en escalier fonctions

  • subdivision de l'intervalle

  • interets de l'integrale de lebesgue integrable abstraite

  • riemann

  • construction de l'integrale de lebesgue

  • intervalle compact


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 27
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NotionsduchapiterdRemaieetnnLedesgbeuseunIRrre´tsteˆint´delledeegragseueLebgearnI´ttrbseablteai
Int´egrales
de
Lebesgue
Inte´grale
tionsducNoe´tnlargipahIertneaneLtddeesemRitne´ruIRugsebese´egrintsdelrˆettnIeugsebeLedelaitrastableabgr´ee
Constructiondelint´egraledeLebesguesurA µ), un espace ´ mesure.
Comparaison Riemann/Lebesgue pourΩRintervalle etµ=λ1.
Notions du chapitre
´enteItrpihaucsdnoitoNurRIguesebestdeLnaeniRmeseedrglagr´enteIstableabmoCetiarnosiaraprˆetnt´eintsdelladee´rgseugLebeurnsinunrvtelealleuqqnocnIeuge´tsurunintervallecmoaptcoCpmraiaosenuR]ba[:fsnore.´ernboontincfonnuseiamdsRearelid´eConsb]r[a<1+nta=0t<1t<praph´oc*=bstfeisnoedlS*buidivle[ab]:intervallacsenes:sreiesrlpaeeontincfo
n fnj=Xcij1[titi+1[ i=0
avecci1=[intif+1[fetci2= supf ti[titi+1[
a
b
Int´surRsgueLebe´tgelnistedreeˆInuesgbeLedeleraiartsbaelbarge´ttooisnudNt´InraegapchreitnnamedtedseleiReuqeclnoetoCpmraiaossnruunintervallecompCtcaapmosiarusnoniruerntllvaueeq
De´nition Lafonctionborn´eef: [ab]Riselbarge´tinn-anemRitediste b (ti)i∈TRZabfn1(x)dx=(tii)infTZafn2(x)dx:=RZabf(x)dx supR
Linte´graledeRiemanndelafonctionenescaliersfnjest Zbj(x)dx =i=nX0cij(ti+1ti)Rfn a
ouT=ensemble des subdivisions finies de [ab]. ` Silafonctionborne´efRisteinn-anemeurcavalssusi-dearlb´tgesrl,aeol estlint´egraledefsur [ab].
qeeuclnouqeonsurunintervall
*
Partition de [ab] Fonctions en escalier Int´egralenot´eeRZbaf(x)dx SifPn=0ci1[titi+1[, il est clair que =i RZbaf(x)dx=i=Xn0ci(ti+1ti) =Z[abf]dλ1
Lebesgue : 1902
Riemann : 1854
b
a
Partition de f([ab]) Foncti´etage´es ons ralenote´eZ[ab] Int´egf dλ1
a
b
tiernI´tsnudhcpaNotiocompactComparaissnrununietvrlaelaitrCotearmpsoainIeuge´tlbarsbaeralet´egbesgdeLereeˆnI´tlnistedbeLedeetrRsuuesgdselargennameiRe
Exemple :
fcontinue ou continue par morceaux (´elienne).bor
Th´`eme eor Soit(ab)R2tel que a<lafob.Sionbonctifenre´: [ab]Rest Riemann-int´egrable,alorsfestLebesgue-int´egrablesur[ab]et Z[ab]f dλ1=RZbxf(x)d a
Remarque :festL([abarlbemus]-)inonriorisape,ma.enn´robeile
Riemann-inte´grableLebesgue-integrable ´
fmonotone.
soaiarmpCoctpaomcellavretninurusisonparaeComraitbatsbaele´rgIetnuequelconqetvrlaelsnrununiipahcudse´tnIertontiNorge´delabeLeugse´entetrˆelsdntidtLebeseugseruIRgralesdeRiemanne
tiNomocetcappmoCiaranssounurteinalrveluqleocqneuesebeLedalgr´entbaelbarge´tnIeugraisompaiteCstraavlltnreurinnoustrpinteIsdonhauciRednamerge´selaesguesurnetdeLebtedsleiIRtne´ˆr
Cecid´ecouleaise´mentdelacaract´erisationsuivantedesfonctions born´eesRiemann-inte´grables.
Proposition Unefonctionborne´ef: [ab]Regt´inn-siesblraenameiRtslneesbmel desespointsdediscontinuit´eestne´gligeablepourlamesuredeLebesgue.
Lebesgue-int´egrable6⇒nameiRge´tni-neblra
Reciproque fausse ´ f= 1Q[01]iemanr[o0nRnlte´seungnr-aib.leabgrtne´eui-ebgssieL1]ma
festellestuesIeitniselemegt´inn-uresblraemelacolnameiRtnrgbaelusnni-tne´Riema
ou pourfn´esuiedllavnoneinurretn´e.born
* estRiemann-int´egrablesurtoutintervallecompact[ab]I.
å
å
pourfonborn´enratie´)(eisgnlu
.
Inte´grationsurunintervallequelconque
SoitIRun intervalle etf:IRune fonction. *festlgbea´rtrnuis-ennamIeiRsi et seulement si RZ|f(x)|dx<+(absolue convergence)I
surIelbarge´tni-nnamietRenemalocLrIqnoceutcoCpmraiaossnruunintervallequelledelbiarge´tninsseauleanemRide´Gnelisa´eraposstionnCemoaparsinousurnintervallecompadelabeLeugsetnIegr´eleabstabitraugsebesetne´ruIRsdelrˆet´egrintIertipahlarge´tnemRideeseLtdneanitnodscuoN
fusrbaele´rg-intsgueLebeI⇐⇒fRuselr´entabgrmaie-innI.
De plus, sifseru´tgearlbtiveouinestposiI(au sens de Lebesgue ou Riemann), RZIf(x)dx=ZIf dλ1
Exemple :fcontinue ou continue par morceaux.
Inte´grationsurunintervallequelconque
Th´eor`eme Supposonsfruselbarge´nt-innmaietRenemlocalI. Alors,
ecllvaerCoctpaomnosiaraptninurusalletervconqqueliaospmranunisnrueuahipdscuitnooNdeesalgr´enteItrsebeLedtennameiRnt´erˆetguesurRIe´rgladedsleitnnteIgr´eebeLguestiarmoCeelbatsba
uelclleqervanintusursinoaparCtmoacmpcolealrvteinnurusnosiarapmoCbstraiteegrableagseunI´teledeLebt´inraegtsˆeldenIRrre´tgsebuseuate´tueprilbebeLsdenone,gues´tgearibil´taesuPourjustierlinquoneInreitapleraegt´ameiRedseLedtennNtoudhcoisn
)lesbliaarevtdenemgnahc´erag´enadreourc.pp4cyahprlov(io
,esrppatiartargsnoiie´tn
elsquives´elppoleve´d(stnela),est´militsenemO(g), les dominations parfonctionRiemann-inte´grable, calcul deRRI|f(x)|dx.
* coıncident.Doncnepasoublierlestechniquesvuespourlinte´gralede ¨ Riemann :
Ne pas oublie ue l’on sait ! r ce q
* lint´egrabilite´ausensdeRiemann.Doncsontutilesparexemple:
ecd´mples,ementssinonee´´lmoopisit  
annanslDssmiseacl,selpseraegt´inenussalesebeLedsmeiR/eug
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