Noyaux adaptes aux varietes CR et estimations pour l'operateur de Cauchy Riemann tangentiel

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Noyaux adaptes aux varietes CR et estimations pour l'operateur de Cauchy-Riemann tangentiel Christine LAURENT-THIEBAUT Prepublication de l'Institut Fourier n? 704 (2007) http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/prepublications.html Resume Il s'agit d'un article de synthese sur l'existence de solutions fondamentales pour l'operateur de Cauchy-Riemann tangentiel dans les varietes CR et les estimations Ck et Lp associees. Mots-cles : varietes CR, equation de Cauchy-Riemann tangentielle, representation integrale, q-convexite. Abstract This is a survey paper on the existence of fundamental solutions for the tangential Cauchy-Riemann operator and the associated Ck and Lp estimates. Keywords: CR manifolds, tangential Cauchy-Riemann equation, integral represen- tation, q-convexity. 2000 Mathematics Subject Classification : 32V20, 32F10.

  • solution fondamentale

  • resolubilite locale de l'equation de cauchy-riemann tangentielle

  • uz0

  • varietes cr

  • estimation


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Noyauxadapt´esauxvarie´t´esCRetestimationspour lop´erateurdeCauchy-Riemanntangentiel ´ Christine LAURENT-THIEBAUT
Pre´publicationdelInstitutFouriern 704 (2007) http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/prepublications.html
R´ ´ esume Ilsagitdunarticledesynthe`sesurlexistencedesolutionsfondamentalespour lop´erateurdeCauchy-Riemanntangentieldanslesvarie´t´esCRetlesestimations C k et L p associe´es. Mots-cle´s :varie´te´sCR,e´quationdeCauchy-Riemanntangentielle,repr´esentation inte´grale, q -convexit´e.
Abstract This is a survey paper on the existence of fundamental solutions for the tangential Cauchy-Riemann operator and the associated C k and L p estimates. Keywords : CR manifolds, tangential Cauchy-Riemann equation, integral represen-tation, q -convexity.
2000 Mathematics Subject Classification : 32V20, 32F10.
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C.Laurent-Thie´baut
Danscetarticleonsinte´ressea`lexistenceeta`laconstructiondesolutionsfondamen-talespourlop´erateurdeCauchy-Riemanntangentieldanslessous-varie´t´esCRg´ene´riques de C n ainsiqu`alar´esolubilit´elocaledele´quationdeCauchy-Riemanntangentielleavec estimations C k et L p . Soit M unesous-varie´t´eCRge´n´erique,decodimensionre´elle k de C n et z 0 un point de M . On dira qu’un noyau K M estunesolutionfondamentalepourlope´rateurdeCauchy-Riemanntangentielendegr´e r , 1 r 0 r r 1 n k , dans un voisinage U z 0 de z 0 dans M si K M estuneformedi´erentiellededegr´e2 n k 1 continue sur U z 0 × U z 0 \ Δ( U z 0 ), o`uΔ( U z 0 ) = { ( z, ζ ) U z 0 × U z 0 | z = ζ } d´esigneladiagonalede U z 0 × U z 0 ,quiv´erieau sens des courants b,z [ K M ] p,r 1 + b,ζ [ K M ] p,r = [Δ( U z 0 )] , [ K M ] p,r e´tantlacomposantedebidegr´e( p, r ) en z de K M , 0 p n et 1 r 0 r r 1 n k et [Δ( U z 0 )]lecourantdinte´grationsurladiagonalede U z 0 × U z 0 . Lexistencedunesolutionfondamentaleendegr´e r au voisinage d’un point de M impliquelavalidit´eduLemmedePoincare´pourle b endegr´e r au voisinage de ce point. Si M est une hypersurface, on sait par les travaux de Kohn, qu’une condition suffisante pourlavalidite´duLemmedePoincare´pourle b endegr´e r au voisinage d’un point est que M satisfasse la condition Y ( r )encepoint.Danslecaso`u M est une sous-vari´et´CRg´ene´riquedecodimensionre´elle k , k 1,Henkin[11]aprouv´eque,si M est e min( n k r + 1 , r + 1)-concave en un point de M ,leLemmedePoincare´pourle b est valideendegr´e r .Onselimiteradoncdanscetarticleaucasdevari´ete´sCRg´en´eriques q -concavesoudhypersurfacesv´eriantlacondition Y ( q ). Lespremi`eressolutionsfondamentalespourlope´rateurdeCauchy-Riemanntangentiel ont´ete´d´eniesvers1975,danslecasou` M est le bord d’un domaine strictement stric-tement pseudoconvexe de C n , dans des travaux de Romanov [17], Henkin [10] et Skoda [22]. Des estimations L p eth¨olderiennesysonte´galementprouve´es.Lesnoyauxconstruits ind´ependammentparHenkinetSkodaont´et´ereprisparBoggessdanssonlivre[5]enuti-lisant le formalisme de Harvey et Polking ; il prouve des estimations C l pourlesop´erateurs inte´grauxassocie´s`acesnoyaux.EnsuiteHarveyetPolkingontconside´r´edans[9]lecas deshypersurfacesfaiblementpseudoconvexesposse´dantunefonctionsupportbir´eguli`ere. Lorsque M estunehypersurfaceve´riantlacondition Y ( q )deKohn,lespremie`res solutionsfondamentalesonte´te´donneesparBoggessetShaw[6]en1985.En1992,Fi-´ scheretLeiterer[8]ontprouv´euneformuledeBochner-Martinelli-Koppelman(cequiest ´equivalent`alexistencedunesolutionfondamentale)pourleshypersurfacesdeclasse C 2 dontlaformedeLeviposse`de q pairesdevaleurspropresdesignesoppose´s,ainsique desestimationsuniformes.Dans[3],Barkatouaam´eliore´leursr´esultatsenprouvantdes estimations C 21 ε , ε > 0,pourlesmˆemesnoyaux.FinalementFischer[7]aconstruitde nouveaux noyaux permettant d’obtenir les estimations optimales C l + 21 dans ce cadre. No-to´galementletravail[20]deShawqui´etendlesr´esultatsdeHenkinauxhypersurfaces ns e satisfaisant la condition Y ( q )etconstruitunesolutionfondamentalepourlop´erateurde Cauchy-Riemann tangentiel sur M . Lespremiersre´sultatssurlar´esolutiondel´equationdeCauchy-Riemanntangentielle danslesvarie´te´sCR q -concavessontannonc´esparHenkindans[11],puisd´evelopp´esdans [1].Danssathe`se[2],Barkatouae´tendulesr´esultatsdesonarticle[3]aucasdesvari´etes ´
Noyauxadapt´esauxvari´et´esCRetestimations 3
CR q -concaves, obtenant ainsi une solution fondamentale avec des estimations C 21 ε sur M .Cettesolutionfondamentaleestconstruiteparit´erationdelare´solutiondu dans des domainesa`coins q -convexeattach´esa`lavari´ete´ M . Finalement une solution fondamentale donnant les estimations C k optimalesestexhib´eedans[4]. Lesnotationsetlasituationge´ome´triquessontpr´ecise´esdanslasection1decetarticle. Danslasection2,nouspre´sentons,ensuivantlesid´eesde[4],uneme´thodeabstraitede constructiondesolutionsfondamentalespourlope´rateurdeCauchy-Riemanntangentiel danslessous-varie´te´sCRg´en´eriquesde C n .Nousconcre´tisonscetteconstructiondansla section3pourlesvari´t´concavesetleshypersurfacesre´ellesquiv´erientlacondition e es q -Y ( q ) et nous donnons des estimations C k et L p pourlesop´erateursint´egrauxassoci´es.La section4estconsacre´ea`lare´solubilite´localedel´equationdeCauchy-Riemanntangentielle avec des estimations L p eth¨olreriennesjusquaubord. 1Situationge´ome´triqueetnotations Soit M unesous-varie´t´edie´rentiabledeclasse C 2 de C n decodimensionre´elle k , 1 k n ,d´eniepar M = { z ω | ρ b 1 ( z ) = ∙ ∙ ∙ = ρ b k ( z ) = 0 } , ou` ω est un ouvert de C n et ρ b 1 , . . . , ρ b k des fonctions de classe C 2 `lsre´elles sur ω a va eur quiv´erient b 1 ( z ) ∧ ∙ ∙ ∙ ∧ b k ( z ) 6 = 0 pour tout z M . On note T z C M lespacetangentcomplexe`a M au point z M . On a T z C M = { ξ C n | n X ρz b νj ( z ) ξ j = 0 , ν = 1 , . . . , k } . j =1 On suppose que M est Cauchy-Riemann(CR)ge´n´erique ,cet`a-di s - re que dim C T z C M = n k pour tout z M ,cequi´equivauta` ∂ρ b 1 ( z ) ∧ ∙ ∙ ∙ ∧ ∂ρ b k ( z ) 6 = 0 pout tout z M . Onsupposee´galementque M n’est pas totalement reelle, i.e. k < n , et que M satisfait ´ lesconditionssusantesintroduitesparKohnetHenkinpourlar´esolubilite´localede le´quationdeCauchy-Riemanntangentielle,cest-`a-direlacondition Y ( q ) pour les hyper-surfaces et la q -concavite´encodimensionquelconque. D´enition1.1. Unevarie´te´CRge´ne´rique M decodimensionre´elle k 1 est q -concave sur un voisinage U z 0 de z 0 M , 1 q n 2 k , si pour tout z U z 0 et tout x R k \ { 0 } b la forme hermitienne sur T z C M , P α,βzα 2 ρz xβ ξ α ξ β ,o`u ρ b x = x 1 ρ b 1 + ∙ ∙ ∙ + x k ρ b k ,posse`deau moins q valeurs propres strictement ´ tives. nega
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