Objets fra tals

De
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Objets fra tals : illustration de quelques on epts et outils mathématiques Jean-Pierre Demailly Institut Fourier, Université de Grenoble I Conféren e donnée le jeudi 15 mai dans la adre du module du Collège Do toral UJF Du haos à la omplexité : vers l'émergen e d'une thématique pluridis iplinaire (Maison des S ien es de l'Homme, du mardi 13 mai au jeudi 15 mai 2008). (Version du 25 mai 2008)

  • ertaine transformation ontinue

  • ise de la dimension

  • dimension

  • triangle entral

  • dénition pré

  • dénition

  • borne inférieure des sommes ∑

  • aire du triangle de sierpinski


Publié le : jeudi 1 mai 2008
Lecture(s) : 42
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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mai
Ob
:
jets
UJF
fractals
(Maison
:
du
illustration
haos
de
d'une
quelques
l'Homme,

mai
et
Do
outils
Du
math?matiques
la
Je
ers
an-Pierr

e
Sciences
Demail
mardi
ly
jeudi
Institut
(V
F
mai
ourier,

Universit?

de

Gr
?
enoble

I
v

l'?mergence
donn?e
th?matique
le

jeudi
des
15
de
mai
du
dans
13
la
au

15
du
2008).
mo
ersion
dule
25
du
2008)
Coll?ge×3 1 ×3
13 = 3
1
×3 2 ×3
29 = 3
2
d 3
d3
−→
d'un
de
e

,
o
de
or
dimension
donn?

es


l'ob
p
tien
our
t,
rep
est
?rer
fractal
un
neige)
p
P
oin
la
t
ultipli?e
de
jet

l'ob

La
C'est
objet
donc
de
a
mesur
priori
est-il
un
de
nombr
(ou
e
it?ration
entier
(ensem
.
une
On
ort
v
(aire)
a
est
in

tro
,
duire
t
ici
9
une
initial.
notion

plus
En
g?n?rale,
our
qui
dimension

d'une
?
ort
des
multiplier
dimensions
p
non
.

ensem
t
Pr
en

ti?res.
Ko
Objet

de
ue
dimension
pro
1
ble
nombr

le
ar
t
homoth?tie
men
rapp

3,
est
mesure
P
de
ar
jet
une
m
homoth?tie
par
de

rapp
dimension
ort
l'ob
3,
r?sultan
la

mesure
t
(longueur)
fois
est
jet
m
La
ultipli?e
du
par
est
place)
.
se
g?n?ralisan
on
p
lequel
un
,
de
l'ob
dimension
jet
l'eet
r?sultan
homoth?tie
t
rapp

de
tien
de
t
la
3
e
fois
ar
l'ob
Le
jet
Qu'en
initial.
d'un
La
ble
dans
?
e
enons
l'exemple
segmen
la
t
ourb
est
de
ts

.
o
Objet
de
de
obten
dimension
par
2
du
oin

p
tre
de
dimension
d'un×3

3
4
ln4d3 = 4 =⇒ d = = 1.26185950714...
ln3
1 2
4/3
nn (4/3)

3/6 n
n4
−n n3 4√ √
−n 2 n −n3/12× (3 ) 3/12× 4 × 9
0 n→ +∞
1/2
1/3
3
gur?

triangles
t
que
en
qui
tre
le
iden
le
et
une
nature
p
!
v
Il
sur
est
tapis

dans
de
dimension
v
t
oir
donc
d'autre
la
part
partan
que
un
la
r?p
longueur
haque
de
ulle.
la
le

tral.
e
un
de
en
K
admettre
o
Il

taille
h
ers
est
A
innie
her
:
triangle
?
est

?quilat?ral,
haque
triangle
it?ration,
triangles
la
fois
longueur
t
est
obten
m
mon
ultipli?e
de
par
on
de
t
jet
9
ob
es,
,
que
donc
r?union
si
p
le
mais
segmen
pas
t
que
initial
,
est
totale
pris

p
de
our
l'ob
unit?,
bien
la
quand
longueur
mesure
de

la

un
?v
-i?me
du
it?ration
Sierpinski
est
Ce
t
u
devien
d'un
jet
en
l'ob
t
,
tral
ort
en
,
blables

ort
qui
.
tend
ensuite
v
pro
ers
les
l'inni.
?
D'autre
e.
part,

l'aire
du
est
est
n
mani?re
ulle.
le
En
Sierpinski
eet,

par
t

homoth?tiques
sur
ort
le
?
nom
mon
bre
aire
d'it?rations,
une
on
de
v

oit
etits
que
d'aire
la
tier,

un
e
n'est
de
la
K
ici
o
faut

soit
h
aire
est
nous
en
tique,
ti?remen
tenan
t
morceaux

m?me
ten
que
ue
,
dans
tend
le
v
triangle
jet
iso
initial,

de
a
.
y
titre
an
on
t
ourra
p
herc
our
?
base
aluer
le
dimension
segmen

t
de
initial

et

une
fractal
hauteur
obten
?gale
en
?
t
rapp
triangle
de
puis
homoth?tie
enle-
une
an
fois
le


base.
dans
Comme

la
4
ar
sem
-i?me
dans
it?ration
rapp

4
e
plus
dans
On
la
?te

ind?nimen
e
le
de

K
tous
o
triangles

us
h

?
?tap
P
On
innie,
trera
que
t
v
l'aire
nom
triangle

Sierpinski
en
n
an
De
le
analogue,


Dans

de
de
bre

en
partan
l'
d'un
onge
en
Sierpinski
divisan
est
en
ue

partir
dans

rapp
divis?
grande.
etits
est
et
ul.
enlev
est
t
homoth?tique

?
tral.
la


dimension
e
,
toute
?p
en
de
ti?re

dans
obten
le
?
rapp
d'un
ort
e

en
27
p
p

oser
priv
du
e

,


On
est
trera

son
ten
est
ue
tandis
parties
le
don
olume
t
n
la
taillep
(E,d) p
A E
X
pH (A) = limH (A), H (A) = inf (diamA )p p,ε p,ε i
ε→0 diamA ≤εi
i
P
pH (A) (diamA )p,ε iiS
A = A diamA ≤εi i
A A pi
p
Ai
Hp
S P
H ( A ) = H (A )p i p ii S P
H ( A )≤ H (A )p i p ii
nE =R p
p
p 1
(E,d) A E A
p0
H (A) = +∞ p<p H (A) = 0 p>pp 0 p 0
nR
≤n H (A) = 0 p>np
H n p > np
A
H (A)p0
des

elles
de
:
dimension
un
-dimensionnelles
oir
,
sous-
puis
de
on
t
am?liore
tuitiv
la
ec
pr?cision
d'un
en
ar
de-
p
mandan
D?nition.
t
p
que
?
le
?
diam?tre
(1868-1942)
des
d'une
mesures
ologie
des
par
tende
our
v
t
ers
rien
z?ro.
si
On
donner
mon
de
tre
in
que
m?trique
l'aide
,
?
de
d?nit
on
une
v

et
mesure
p
b
est
or?lienne
des
d?nom
toujours
brablemen
a
t
brables
additiv
p
e
la

est
,
,

?
dire
des
qu'elle
on
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er-cub
d?nie
de
sans
Ces
am
t
biguit?
d?nition
sur

tous

les

ouv
alue
erts,
ac
ferm?s
?v
et
de
leurs
dit
unions,
de
in
?
tersec-
tro
tions
duites
nies
par
ou
p
d?nom
harc
brables
t,
r?p
.
?t?es
elix
autan
.
t
de
de
dans
fois
la
que

l'on
dimension
v
que
eut,
la
a
p
v
tions
ec
p
la

propri?t?
trer
que
les
t
-cub
m?trique
ulle
g?n?ralisen
?tendue
se
utiliser
t
d?nom

d'un
pr?c?den
Si
qui
es.

en
on
p
Les
sur
d?nit
dimension
Hausdor
et
de
diam?tre
la
.
Mesures
mesures
nie
ermetten
innie.
de
de
une
parties
pr?cise
b
la
or?liennes
dimension
disjoin
Hausdor
tes
:

Si
sur
-mesure
les
la
parties
est
non
esp
b
e
or?li-
et
ennes,
une
on
artie
obtien
on
t
ont
seulemen
que
t
est
une
dimension

Hausdor
mesure
gale
ext?rieure
don

si
qui
a
v
parties
?rie
par
mesure
er
sommes
pa
des
our
inf?rieure
he
orne

b
on
la
emen
est
In
de
F
Hausdor
our
-dimension-
Hausdor
nelle

d'une
Il
partie

de
v
o?
que
.
l'un
Dans
,
yp
dimension
h
partie

est
par
de
p
fondateurs
tr?s
(c'est-?-dire
?tre
v
ulle,
de

top

mo
habituelle,
our

d?nom
des
)
,
on
v
ourra
our
our
t

en
mon
tier
que
a
parti-
v
-mesure
ec
toutes
la
e
mesure
n
d'aide
p

?
?taien
derne.
-dimensionnelle,
puis
?
la
un
additivit?

brable
de
l'aide
prop

ortionnalit?
de
pr?s
par
?gal

au
P
v
ailleurs,
olume
g?n?ral,
de
ne
la
eut
b
dire
oule
est
es
un


de
mesure


aleur
p
eut
a
bien
v
n
ec
sa
ou
p
ourf :X → X X
f x0
x = f(x )n+1 n
x0
[n] [n]f =f◦f◦◦f :X →X, x =f (x ).n 0
C
2P :C→C, P (z) =z +c cc c
[n]
z = P (z ) z ∈ Cn c 0 0
[2] [n]2 2P (z) = (z +c) +c 4 Pc c
n2
P Kc c
z (z ) J = ∂K0 n c c
Kc
n[n] 2c = 0 P (z) = z K00
|z| ≤ 1 J c = 00
J Kc c
c = 0,328075517+0,022051744i
Kc
′z z = z = P (z )0 1 c 00
′z ∈ K z = P (z )∈ K0 c c 0 c0
−1P (K ) =K P (K ) =K J Kc c c c c c cc
Pc
une
que
,
est

un
regarder
p
est

app
de
notera
degr?
t
notera
t,
;
et
de
et
mani?re
relation
g?n?rale,
?tan
On
it?ration
donn?.
t
t

oin
vue
p

est
les
un
de
p
image

our
de

degr?
suite
d'un
p
l'orbite
:
.

On
p
in

tro
a
duit
donc
par
seulemen
d?nition
simplemen
:
.
donc
que
.
un
de
des
Julia
t
de
t

fractal.
On
exemple
.
sous
On
elle
app
v
el

le

ensemble
par
de
regarde
Julia
t
r
donn?
empli
du
param?tre.
Autremen
un
si
l'ensemble
de
des
ts
p
olution
oints
puis
initiaux
on
est
m?me
o?
ec
tels

que
ue
la
si
suite
si
quadratique
de
transformation
il
la
t

ar
r
mon
este
D'un
b
syst?me
orn?
et
e,
jets
et
usuelles
ensemble
,
de
des
Julia
dynamiques
le
sous
b
transformation
or
V
d
par
plan
une
le
de
dans
de
regarder
l'orbite
?
p

la
de
aleur
l'ensemble
qu'on
de

Julia
,
r
de
empli
la

d?nie
de
la
.
on
Si
initial
L'une
oin
ossibles.
un
p
t
,
dit,
on
param?tre
a
t
simplemen
On
t
que
simples
on
plus
.
les
par
triviales
par
non
oin
situations
des
les
l'?v
ord
de
d'ab
,
?tudier
,
?
obtien
toujours
la
et
suite
on
v
v
simplemen
oit
un


que
d'un
he
tin
herc
transformation

et
en
t
le

disque

unit?
t
ferm?
s'agit

math?matique,
on
de
math?matiques,
oin
En
P
es




tre
os?es
p
est
.
le
dynamique


unit?).

P
de
our
fractal
tout
ob
autre
d'obtenir
v
plus
aleur
fa?ons

autremen6
dit
des
L'une
l'action
discrets
on
son
obtien
auto-similaires
t
l'action
un
la
ensem
Syst?mes
ble
Ensem
bleM c
K Pc c
Kc
c = 0
×
′Kc
M
M
...
′c c
′K K K cc c c

′K c Mc
M c z z = 0z n 00
M =M M0
donc
n?
fait
?
des
V

arso
donc
vie
d'?tre
en
gauc
1924).
On
Ensem
tandis
ble
Si
de
suite
Mandelbrot
p
C'est
et
l'ensemble
bles
par
Mandelbrot
des
l'ensem
valeurs
l'ensem

jets
omplexes
pas
us
en-
du
existe
p
p
ar
soit
am?tr
que
e
L'ensem
tel
et,
les
les
que
Julia
l'ensemble
(du
de
ble
Julia
oit
obten
est

est
asso
de

plus
?
pas
tous
des
t
t
soit
note

l'ensem
onnexe.
aleurs
notammen
que
-

fractals
t
jets
vien
ob
orn?e,
des
d?mon
g?n?rale
a
assez
pro
Mandelbrot,

de
une
violet),
L'ensem
?
ble
he,
de
ensem
Mandelbrot
de
est
asso

nom
en
et
le
de
domaine
.
in
v
t?rieur
que


de

la

partie
dans
droite
ble
de
Mandelbrot,
l'image
que
(a
fractals
v
n'est
ec

ses
ob
innies
n'est
ramications
dans
d'autosimilarit?
.
propri?t?
on
La
dan
t

t
ble
;
v

de
des
telles
qui
la
t
Il
r?pliques
de
Beno?t
oin
est
initial
ble
t
mais
qui
d'autres
b
son
on
dissem
eut
:
trer

l'on
et
en
math?maticien

du
le
(p
.
oin
ble
ts
Mandelbrot
rouge
ximativ
seulemen
de
partiellemen
).
auto-similaire
Sur
il

orte
partie
parties
droite
son
guren
des
t
appro
aussi
es
la
l'ensem
p

osition
aussi
de
qui
deux
t
v
blables
aleurs
M Jc
M
M
2
2
M = M0
910
N = 150
c
z z = 0 z = P (z ) n ≤ N = 150n 0 n+1 c 0
910 (z )n
c ∈ M
9n < N = 150 |z | ≤ 100 n
9n = n |z | > 10 n = n + 10 n 0
(z )n
n0
n0
−n [n]G (z,c) = 2 log |P (z)|n + c
[n]
log t = max(0,logt) Pc+
n2 G (z,c)n
[n]2G(z,c)≥ 0 Γ ={(z,c)∈C ; z ∈ K } P (z)cc
Γ G(z,c)
Δ G(z,c) = 0 z∈/ J z7!G(z,c)z c
K J = ∂Kc c c
...
Les
aleur
rapp

ypique
v
exemple
x?e
que
repr?sen
fonction
t?e
pas
par
?lectrostatique
un
maximale
pixel

de

l'?cran
des
d'ordinateur,
et
on
Comme

fonction
la
don
suite
tielles
une
de
donn?
Shishikura
telle
ositiv
que

t
el?
?tan
v
.
t
disons

et
de
grand,
?
assez
v
d'it?rations
our
bre
des
nom
aurait
un
b
et
son
suite,
mais
la
dimension
de
de
orn?
trer
,
Le
p
est
our
Du
b
est
non
eut

d?nom
le
erge
teste
t
qui
ulle
,
p
.
est
Si
suite
toutes
jour

ositiv
v
v
aleurs
mais
resten
tend
t
son
inf?rieures
que
?

disons
d?j?
grande,
Julia
assez
le
,

il

est
ord
probable

que
o
la
les
suite
ne
aleur
le
v
Hausdor
d'une
est
t
sem
est
fron
b
o?
orn?e,
pu
donc
jap
on


non
que
partie
vien
du

que
On
exemple
(ou
degr?
du
on
moins
trer
dans
que
son
p
appro

ximation
ers

etits.
par

l'ordinateur),
est
et
le
on
t
aecte
si
la
lo

qu'un

o?
he

au
est
pixel.
b
Sinon
t
il
en
existe
.
une
de
v
ne
aleur
la
suit.
la

ers

fonctions
pro
harmoniques,
on

d'ordinateur,
est
programme
sait
d'un
les
telle
t
que
.
l'aide

?
bles
de
terpr?te
l'image
oten
obtenir
par
our

P
forme
!).
,
p
le
our
plus
amateurs
de6
?lectriquemen
aux

vis
plus
a
d?limit?es
,
?quip
et
La
ulle,
on
n
plan),
bien
dans
est

mesure
de

de
que
Mandelbrot
t
ble
p
l'en-
our
ti?re
ensen
la
p
1992
erts
en
exp
d?mon
(les
a
non
onais
.
math?maticien
On
:
arr?te
t
alors
lo
ou


la
en
p
estiman
e
t
logarithme.
que
fait
la

suite
t
ulle
un
n
de
est
est
-dimensionnelle
,
v
p
a
d?mon
tendre
assez
v
t
ers
brable
l'inni,
eigne
et

on
app
aecte
v
au
v
pixel
une
une


p
(brun?tre
arbitrairemen
ou
oisinages
violette
qui
dans
n
les
sur
deux
graphe
images
admet
de
oin
la
tout
page

pr?c?den

te)
dit
qui

d?p
elons
end
(l?
de
la
la
;
v
t
aleur
lo
de
si
mesure
est
sa
orn?e),
:

sur
p
la
e
sc
dehors
h?ma


La
la
aleur

?
est
sait
d'autan
on
t
mesure
plus
vitesse
fonc?e
laquelle
que
suite
si
v
pas
l'inni.
est
les
plus
holomorphes
grand.
t

on
donne
?rie
les
t
zones


que
qui
par

On
en
images
touren
p
t
sur

apparen
l'ensem
est
ble
La
de
il
Mandelbrot.
,
En
de
r?alit?,
ensem
il
s'in
ne

s'agit
p
pas
tiel
d'un

simple
un
artice
m?tallique
de
qui
repr?sen
la
tation
de
graphique,
que

et
zones
t

b
on

t
eaucoup
une
est

serait
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t
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K z = Mc z
c
Γ
z∈C
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Γ M Jz c
...
t
les
p

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bles
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un
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Cte
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Julia


V
les
3
t
libres
don
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X/Windo
http://www.ultrafractal.

t
:

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php
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un
t
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ensem

,
:
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f X
2X = [0,1]

f(x,y) = 2x,(1+y)/2 x≤ 1/2, f(x,y) = 2x−1,(1−y)/2 x≥ 1/2.
256×256
ici
gur?e
de

une
est
La
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du
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La
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17

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dans

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sif
(X,d) f : X → X
( ) dn
[i] [i]d (x,y) = max{d(f (x),f (y)) : 0≤i<n}.n
N(n,ε) X
≥ε d fn

1
h (f) = lim limsup logN(n,ε) .top
ε→0 nn→∞
f n N(n,ε)0
n ≥ n h (f) = 0 f0 top
n +∞
f
∞f C X
h (f)≥ logρ(f )top ∗
ρ(f )∗
f :H (X,R)→H (X,R)∗ ∗ ∗
H (X,R)∗
f
X
h (f) = logρ(f ).top ∗
˜

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de
les
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On
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plus
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page
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Les
.

de
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v-Y
par
Si
P
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