Physique en Sciences de la Terre

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Physique en Sciences de la Terre Module PHY233 / ParcoursL2-TUE Eric Quirico () Universite Joseph Fourier - Grenoble I ; Annee Universitaire 2005-06
  • etablir des relations entre les angles
  • lames cristallines
  • axe des ordonnees
  • notions sur les reseaux periodiques
  • polarisation de la lumiere
  • structure de l'onde electromagnetisme
  • −−→ ab
  • module
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Publié le : lundi 26 mars 2012
Lecture(s) : 38
Source : ipag-3.obs.ujf-grenoble.fr
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Physique en Sciences de la Terre
Module PHY233 / ParcoursL2-TUE
Eric Quirico (eric.quirico@obs.ujf-grenoble.fr)
Universit´e Joseph Fourier - Grenoble I ; Ann´ee Universitaire 2005-062Pr´eambule
Ce document est un outil de travail relatif au cours de physique PHY233
destin´e aux sciences de la Terre. A quoi sert-il?
Il ne se substitue pas au cours. Le cours magistral ne reproduira pas
son contenu `a l’identique et se permettra mˆeme d’ˆetre oublieux, brouillon et
d´estructur´e! Afin de favoriser l’assimilation des notions et d’encourager la
participation en s´eance, il vous est demand´e de pr´eparer`a l’avance chaque
cours magistral avec ce document.
L’objectifprincipaldePHY233estdedispenserunsavoirfairetechnique
de manipulation de l’outil math´ematique et une bonne maˆıtrise de concepts
de physique fondamentaux en sciences de la Terre, permettant d’aborder
avecconfortl’ann´eeL3etnotammentdesMagist`eresdeSciencesdelaTerre
dehautniveau.Cemoduledoitˆetretenucommecompl´ementairedumodule
TUE232, ou` de multiples applications g´eophysiques vous seront pr´esent´ees.
Cemoduleintroduit´egalement`al’utilisationdumicroscopep´etrographique,
tr`es important en g´eologie (TUE 233).
Le cours comprends plusieurs parties :
– des rappels et de nouvelles notions de math´ematiques. Le premier
contrˆole continu est centr´e essentiellement sur ces aspects math´emati-
ques.
– uneintroduction`alaphysiquedesondes,m´ecaniques(cordevibrante)
et ´electromagn´etiques, avec une br`eve introduction `a l’optique. Ces
notions sont essentielles en sismique, bilan d’´energie au niveau externe
et interne, en microscopie p´etrographique, t´el´ed´etection etc...
– uneintroduction`alacristallographieg´eom´etrique,suiviededeuxtech-
niques physiques permettant la description de la composition et de la
structure des min´eraux : la fluorescence X et la diffraction des rayons
X.
La difficult´e de ce cours est variable selon les aspects abord´es, mais il
est globalement difficile et demande une quantit´e importante de travail,
et surtout un travail r´egulier. L’exp´erience des ann´ees pr´ec´edentes montre
quebeaucoupd’´etudiantsSTUpr´esententunblocagesurlamanipulationde
l’outilmath´ematique...maisqu’unentraˆınementr´egulierpermet`alaplupart
d’entre eux d’aboutir a` une comp´etence satisfaisante.
Pour r´eussir au mieux ce module, il est important de l’aborder ”sans
34
complexes”, de profiter au maximum des s´eances de cours et de travaux
dirig´esenparticipant,etbiensuˆrdefourniruntravailcons´equentetr´egulier.
Je vous souhaite bonne r´eussite.Table des mati`eres
1 Points essentiels de math´ematiques 7
1.1 Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Cercle trigonom´etrique, fonctions trigonom´etriques . . 7
1.1.2 Relations dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Plan complexe et notation d’Euler . . . . . . . . . . . 10
1.2 G´eom´etrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Syst`emes de coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Equation de droites et de plans dans l’espace . . . . . 15
1.2.6 Angle solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Champs et op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Champs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Flux d’un champ de vecteur et op´erateur divergence . 20
1.4.3 Gradient et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.4 Gradient, champ et potentiel . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Notions de physique ondulatoire 27
2.1 Notions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Onde et d´eplacement vibratoire . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Ondes transverses et longitudinales . . . . . . . . . . . 28
2.2 Etude de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Equation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Solutions g´en´erales de l’´equation de d’Alembert . . . . 32
2.2.3 Onde harmonique - Notation complexe . . . . . . . . . 34
2.2.4 Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.5 Puissance propag´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.6 Changement de milieu - Dioptre . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Ondes dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Surface d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5`6 TABLE DES MATIERES
2.3.2 Onde plane homog`ene OPH . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.3 Onde sph´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Ondes ´electromagn´etiques et Optique 41
3.1 Structure de l’onde ´electromagn´etisme . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Intensit´e lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Polarisation de la lumi`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Propagation dans un milieu di´electrique . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 R´eflexion/r´efraction sur un dioptre . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.1 Loi de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.2 Coefficients de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.7 Lames cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7.1 Milieux anisotropes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7.2 Lame cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.3 Observation en lumi`ere monochromatique . . . . . . . 55
3.7.4 Observations en lumi`ere blanche . . . . . . . . . . . . 58
4 Cristallographie 63
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Forme des cristaux - Loi de constance des angles . . . . . . . 64
4.3 Hypoth`ese d’Hauy – Loi des indices rationnels. . . . . . . . . 66
4.4 Notions sur les r´eseaux p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1 Les r´eseaux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.2 Les r´eseaux tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.3 R´eseau r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5.1 Les 6 op´erateurs de sym´etrie d’orientation . . . . . . . 75
4.5.2 Projection st´er´eographique . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.3 Combinaisons d’op´erateurs : les 32 groupes de sym´etrie 78
4.6 Les 7 syst`emes cristallins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7 Les 14 r´eseaux de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8 Sym´etrie cristalline et propri´et´es optiques . . . . . . . . . . . 82
5 Fluorescence et diffraction des rayons X 85
5.1 Dualit´e onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Diffraction des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Chapitre 1
Points essentiels de
math´ematiques
Ce chapitre r´esume diff´erents points de math´ematiques qui doivent ˆetre
assimil´es pour suivre ce cours. Ils seront abord´ees de fa¸con plus ou moins
d´etaill´ees au cours des premi`eres s´eances. Il appartient cependant `a chacun
de suppl´eer `a ses lacunes ´eventuelles.
1.1 Trigonom´etrie
1.1.1 Cercle trigonom´etrique, fonctions trigonom´etriques
Le cercle trigonom´etrique est un cercle de rayonR´egal `a l’unit´e. Soit un
pointM situ´e sur ce cercle, etx l’angle orient´e form´e par les rayons vecteurs
−−→ −→
OM et OA. On appelle fonction cosinus de x cosx la projection du point
M sur l’axe des abscisses, et sinus de x sinx la projection du point M sur
l’axe des ordonn´ees (Fig. 1.1).
Lesfonctionscosinusetsinussontp´eriodiquesdep´eriode2π.Lafonction
sinus est une fonction impaire, la fonction cosinus est une fonction paire :
cos(x+2π) =cosx (1.1)
sin(x+2π) =sinx (1.2)
sin(−x) =−sinx (1.3)
cos(−x) =cosx (1.4)
En se reportant au cercle trigonom´etrique, on obtient facilement :
cos(x+π) =−cosx (1.5)
sin(x+π) =−sinx (1.6)
7´8 CHAPITRE 1. POINTS ESSENTIELS DE MATHEMATIQUES
Fig. 1.1 – Le cercle trigonom´etrique.
cos(π−x) =−cosx (1.7)
sin(π−x) =sinx (1.8)
Ainsi que :
cos(x+π/2) =−sinx (1.9)
sin(x+π/2) =cosx (1.10)
cos(x−π/2) =sinx (1.11)
sin(x−π/2) =−cosx (1.12)
Une simple application du th´eor`eme de pythagore fournit une formule
indispensable :
2 2cos x+sin x = 1 (1.13)
Les formules suivantes permettent d’exprimer les cosinus et sinus d’une
somme :
cos(a+b) =cosa.cosb−sina.sinb (1.14)
sin(a+b) =sina.cosb+sinb.cosa (1.15)
Ces deux formules permettent de lin´eariser des expressions :
1−cos2x2sin x = (1.16)
2
1+cos2x2cos x = (1.17)
2
On d´efinit ´egalement la fonction tangente par l’expression :´1.1. TRIGONOMETRIE 9
sinx
tanx = (1.18)
cosx
La fonction tangente est une fonction impaire, p´eriodique de p´eriode π.
1.1.2 Relations dans un triangle
Les fonctions trigonom´etriques permettent d’´etablir des relations entre
les angles et les longueurs des cˆot´es d’un triangle. Dans le cas d’un triangle
rectangle (Fig. 1.2) on a :
BC
cosα = (1.19)
AC
AB
sinα = (1.20)
AC
AB
tanα = (1.21)
BC
Fig. 1.2 – Triangle rectangle. Les longueurs des diff´erents cˆot´es sont reli´es
`a l’angle α.
Dans le cas d’un triangle quelconque (Fig. 1.3) on a :
2 2 2a =b +c −2b.c.cosα (1.22)
2 2 2b =a +c −2a.c.cosβ (1.23)
2 2 2c =a +b −2a.b.cosγ (1.24)
♣Exercice :D´emontrercesformulesenpartantdelarelationdeChasles:
−→ −→ −→
AB =AB+CB.´10 CHAPITRE 1. POINTS ESSENTIELS DE MATHEMATIQUES
Fig. 1.3 – Triangle quelconque. Les longueurs des cˆot´es sont reli´ees entre
elles et `a l’angle oppos´e.
1.1.3 Plan complexe et notation d’Euler
Les notions pr´ec´edentes peuvent ˆetre d´ecrites dans le plan complexe. Si
onconsid`erel’axedesabscissesducercletrigonom´etriquecomme´etantl’axe
r´eel du plan complexe, et l’axe des ordonn´ees comme l’axe imaginaire, alors
tout point M situ´e sur ce cercle peut ˆetre d´ecrit par le nombre complexe z
(Fig. 1.4) :
Fig. 1.4 – Notation d’Euler : tout point M du cercle trigonom´etrique est
repr´esent´e par le complexe cosθ+i.sinθ.
iθz =cosθ+isinθ =e (1.25)
On peut d´ecrire, en utilisant cette notation dite d’Euler, un nombre
complexe quelconque z par son argument θ et son module ρ (Fig. 1.5) :

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