POINTS DE HAUTEUR BORNÉE ET GÉOMÉTRIE DES VARIÉTÉS [D'APRÈS Y. MANIN ET AL.]? E. Peyre Résumé. — Si V est une variété algébrique ayant une infinité de points rationnels sur un corps de nombres, il est naturel de munir V d'une hauteur et d'étudier de manière asymptotique les points rationnels de hauteur bornée sur V . Les conjectures énoncées par Manin vers 1989 pro- posent une interprétation géométrique de ce comportement asymptotique où le fibré anticanonique et le cône engendré par les diviseurs effectifs dans le groupe de Néron-Severi jouent un rôle crucial. Le but de cet exposé est un survol des travaux suscités par ces conjectures. Si V est une variété algébrique projective sur Q et ? : V ? PNQ un plongement, on dispose d'une hauteur exponentielle H : V (Q) ? R définie comme la composée HPNQ ? ? où HPNQ est la hauteur usuelle sur P N Q , donnée par HPNQ ((x0 : . . . : xN )) = sup06i6N (|xi|) si les xi sont des entiers et pgcd06i6N (xi) = 1. Il est alors naturel de vouloir étudier de manière asymptotique les points rationnels de V dont la hauteur est bornée. De manière plus générale, si V est une variété algébrique sur un corps de nombres K , tout morphisme ? : V ? PNK induit une hauteur H : V (K) ? R et, pour tout ouvert de Zariski U de V et tout nombre réel strictement positif B, on pose NU,H(B) = _{
- famille de métriques
- fibre du fibré en droites associé
- points de hauteur bornée
- hauteur usuelle sur l'espace projectif
- système linéaire sans point
- variété algébrique