PSI Brizeux Ch DF4 Fluides réels viscosité

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PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 46 CHAPITRE DF4 FLUIDES RÉELS : VISCOSITÉ Dans ce chapitre des écoulements de fluides incompressibles réels et examinerons l'influence de leur viscosité sur ces écoulements. 1. EQUATION DE NAVIER-STOKES Il s'agit tout simplement de l'équation d'Euler dans laquelle on a rajouté la force volumique (ou massique) de viscosité. Cette équation prend alors la forme : ?[ ? ? r v ?t + ? ( r v .grad) r v ] = ? r f v - ? gradP + ? ? r ? r v ? ? r v ?t + ? ( r v .grad) r v = ? r f m - ? gradP ? + ? ? r ? r v Equation de Navier -Stokes Pour mieux comprendre cette équation, revenons sur la signification physique de la viscosité : 2. INTERPRETATION DE LA VISCOSITE 2.1. Transport de quantité de mouvement par convection et par diffusion Il est clair que, par son mouvement même, un fluide transporte de la quantité de mouvement : ce type de transport dû au mouvement est appelé transport convectif.

  • viscosité

  • intérieur du tube

  • force proportionnelle

  • fluide réel

  • r2 dans r2

  • pression

  • ecoulement

  • sphère en translation uniforme


Publié le : lundi 18 juin 2012
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PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 46
C H A PIT R E D F4FLUIDES RÉELS : VISCOSITÉ Dans ce chapitre des écoulements de fluides incompressibles réels et examinerons linfluence de leur viscosité sur ces écoulements.
1.
EQUATION DE NAVIER-STOKES
Il sagit tout simplement de léquation dEuler dans laquelle on a rajouté la force volumique (ou massique) de viscosité. Cette équation prend alors la forme :
2.
ρ[
+
]=
-
P +η
+
=
-
 +ν
Equation de Navier -Stokes Pour mieux comprendre cette équation, revenons sur la signification physique de la viscosité :
2.1.
INTERPRETATION DE LA VISCOSITE
Transport de quantité de mouvement par convection et par diffusion
Il est clair que, par son mouvement même, un fluide transporte de la quantité de mouvement : ce type de transport dû au mouvement est appelétransport convectif. Ainsi, à un fluide en translation de vitesse = v dans un référentiel R, il est possible dassocier la quantité de mouvement volumique ρ.La quantité de mouvement élémentaireorthogonale à= dS traversant une surface 2 lécoulement pendant le tempsδt sécrit alors=ρδt. =ρvδLa force associée ent . quelque sorte au mouvement du fluide est :
=
2 =ρv
2 qui fait apparaître la notion de pression dynamiqueρv . Considérons alors lexemple dun cylindre rempli de fluide et mis en rotation à vitesse angulaireΩ0autour de son axe; nous observons alors la mise en mouvement progressive du fluide à partir de la paroi du cylindre. Au bout dun certain temps, si les effets de bord (dus à la longueur finie du cylindre) sont négligés, lensemble du fluide tourne à la vitesse angulaireΩ0.
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A partir de létat de repos, le fluide est donc mis en mouvement des bords du cylindre vers son centre, cest-à-dire radialement. Cependant, la vitesse du fluide est en tout point et à tout instant orthoradiale : le transport de quantité de mouvement permettant la mise en mouvement du fluide ne peut être convectif. Il sagit ici duntransport diffusif, de nature microscopique, en tout point analogue à un transfert thermique par exemple : nous assistons, par diffusion de quantité de mouvement, à une propagation radiale de proche en proche de la mise en mouvement du fluide. Cest la viscosité du fluide qui assure en fait, par lintermédiaire de la force de friction qui sexerce entre les différentes couches concentriques du fluide, le transport diffusif de la quantité de mouvement : La viscosité peut sinterpréter comme une diffusion de quantité de mouvement . Le rôle du coefficient de viscosité cinématiqueνen fait tout à fait analogue à celui des est
coefficients D et
des lois de Fick et Fourier. Pour mieux nous en convaincre, écrivons léquation de
Navier-Stokes pour un écoulement dont le champ des vitesses est de la forme : = v(y, t) . Cet écoulement est structurellement laminaire et laccélération convective est nulle. La force massique de viscosité sécrit :
=ν
Si on suppose de plus que la pression ne varie pas dans le sens de lécoulement, léquation de N-S en projection sur x sécrit :
-ν
= 0
λ formellement identique à des équations du type : -D = 0et -0 dans des = ρc milieux unidimensionnels selon la direction y.... Cette équation devient bien alors une équation de diffusion. On comprend bien alors quun écoulement visqueux est essentiellement dissipatif et irréversible.
PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 48 2.2.Application : perte en charge
Un exemple classique découlement est celui de lécoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique. Dans ce tube de section constante S et de longueur L sécoule un fluide sous laction dun gradient de pression uniforme établi entre les deux extrémités du tube :( K est appelé coefficient de perte de charge). La vitesse, en régime stationnaire est cherchée sous la formeoù r représente la distance à laxe du tube. Nous admettrons alors que la force de viscosité sexprime en coordonnées cylindriques sous la forme :
Léquation de mouvement du fluide sécrit donc : 0 = + K +η
dont lintégration aboutit à : v(r) = -
2 r + A Lnr + B
La vitesse restant finie à lintérieur du tube , on a nécessairement A = 0. La valeur de B est imposée 2 2 par la nullité de v en r = R ( rayon du tube ) . Doù v(r) = (R - r ), soit :
v(r) = V0( 1 -
)V avec 0=
Le profil de vitesses dans le tube est donc de la forme :
Il est intéressant de calculer le débit volumique associé : R Dv=v(r) 2πr dr = 0 Ce résultat constitue la loi de Poiseuille : le débit volumique est proportionnel à la puissance quatrième du rayon du tube pour un fluide réel (et non au carré du rayon pour un fluide parfait)... Remarquons enfin que viscosité et gradient de pression dans le tube sont intimement liés : les forces de viscosité expliquent la perte de charge du tube, cest à dire la diminution de pression au long du tube, attestée par des prises de pression latérales.
PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 49 La répartition de pression dans les tubes est hydrostatique. Il y a à la fois, en A et B, continuité de la pression et de la vitesse, grâce au caractère réel du fluide. Doù : PA- PB=ρgh = - KL
3.
3.1.
LE NOMBRE DE REYNOLDS
Étude expérimentale de la force de traînée dune sphère en translation uniforme dans un fluide réel
Considérons une sphère de rayon R, immergée dans un fluide de masse volumiqueρet de viscosité η, et se déplaçant en translation de vitesse uniforme U dans le fluide. Une étude expérimentale de la force subie par la sphère de la part du fluide, encore appelée force de traînée, conduit aux résultats suivants : - à faible vitesse, la force de traînée est proportionnelle à la vitesse, au rayon de la sphère et à la viscosité. Elle obéit à la formule de Stokes : = - 6π ηR formule de Stokes - à forte vitesse, elle devient proportionnelle aux carrés de la vitesse et du rayon :
= -
2 2 πRρU
si on désigne par x laxe de translation de la sphère. Comment expliquer cette différence ? Nous avons vu lexistence de transports convectifs et diffusifs de quantité de mouvement dans le fluide. Sur lexemple du cylindre en rotation nous avons même pu séparer les deux effets par orthogonalité entre leur propagation. Dans cet exemple en revanche les deux effets entrent en compétition :
PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 50 A forte vitesse, leffet convectif lemporte. Nous avons vu quil conduit à lidée dune pression 2 dynamique associée au fluide. Ici cette pression vautρsapplique à la projection de la surfaceU et
2 de la sphère sur un plan orthogonal à la vitesse :πR , doù lexpression de la force.
A faible vitesse en revanche, leffet diffusif, associé à la viscosité lemporte. Lanalyse dimensionnelle et les valeurs typiques des grandeurs de lécoulement montrent que la force volumique
de viscosité est de lordre deη
, ce qui donne bien finalement une force proportionnelle au produit
ηUR. Cette évolution de la force de traînée va nous permettre de mieux caractériser limportance relative des phénomènes convectif et diffusif en introduisant un nombre caractéristique de lécoulement : le nombre de Reynolds.
3.2.
Le nombre de Reynolds
3.2.1.Définition par la comparaison des expressions de la force de traînée
Lexemple précédent nous montre que pour un obstacle de dimension caractéristique transversale L, placé dans un écoulement de vitesse U, les phénomènes diffusifs entraînent une force proportionnelle à 2 2 ηUL, et les phénomènes convectifs une force proportionnelle àρU L . Par définition nous appellerons nombre de Reynolds la grandeur sans dimensions égale au rapport de ces deux grandeurs :
2 2 force caractéristique convectiveρU L UL Re = = = force caractéristique diffusiveηULν Rq. On définit également le coefficient de traînée Cd comme le rapport de la forceréellepar subie 2 lobstacle sur la valeurρSU , où S est la surface projetée orthogonalement à lécoulement . Ce
coefficient de traînée peut être calculé expérimentalement pour différentes valeurs de la vitesse U. On peut alors construire la courbe expérimentale Cxf(Re). Dans le cas de la sphère en translation, on = trouve :
PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 51
Ainsi, à faible vitesse, : Cd=
=
A forte vitesse en revanche ce coefficient tend vers une constante. Remarquedéfinition du nombre de Reynolds par comparaison de forces macroscopiques de: Cette traînée est en fait déjà contenue dans léquation de N-S . Le terme caractéristique de la diffusion estν
de lordre deν
. Le terme caractéristique de la convection est
On retrouve alors :
Re =
=
de lordre de
.
3.2.2.Définition par la comparaison des temps caractéristiques de diffusion et de convection Une autre définition possible du même nombre de Reynolds peut être donnée à partir de la comparaison des temps caractéristiques associés aux deux phénomènes. Ces temps seront eux-mêmes évalués à partir des grandeurs caractéristiques U et L précédemment introduites :
- le tempsτCcaractéristique de la convection se réduit simplement au quotient
- le tempsτD:de la diffusion peut être déduit de léquation  caractéristique
 -ν
 = 0. Dun
point de vue dimensionnel en effet elle introduit le tempsτDsoit la définition de Re par := , temps caractéristique de diffusionτDUL Re = = = ν temps caractéristique de convectionτC Nous aboutissons bien à la même expression...
PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 52 3.3.Classification des écoulements
Lintérêt du nombre de Reynolds est quil permet de classer les différents écoulements. Rien quen observant lécoulement deau issu dun robinet, nous pouvons constater de grandes différences suivant le débit imposé : pour des faibles débits, le jet deau est stable alors quaux forts débits il devient instable avec émission de gouttelettes. La nature du fluide intervient également : la stabilité est beaucoup plus grande pour un jet dhuile issu de la vidange dun carter par exemple. Revenons alors au nombre de Reynolds associé à lécoulement dun fluide : Pour des nombres de Reynolds faibles (typiquement petits devant lunité ), la viscosité joue un rôle prépondérant. Les écoulements seront très stables et bien définis (on parle découlements rampants). Ce type découlements est associé aux fluides très visqueux (ηélevé), aux faibles vitesses, pour des systèmes de petites taille... Remarquons dailleurs quà ces faibles nombres le terme convectif ende léquation de N-S est négligeable. Cest la  disparition » de ce terme non linéaire qui confère alors à ces écoulements leur grande stabilité. Pour des nombres de Reynolds élevés, la convection joue un rôle prépondérant et les écoulements deviennent instables etturbulents : on rencontre ce type découlements pour des fluides peu visqueux, aux fortes vitesses, pour des systèmes de grande taille. Ces turbulences existent lorsque la vitesse est supérieure à une limite au-delà de laquelle la viscosité ne suffit plus à régulariser les mouvements. La encore la prépondérance du terme de convection non linéaire est à lorigine des phénomènes de turbulence Cependant, pour ces nombres élevés, il est possible de rencontres des configurations géométriques maintenant des écoulements stables dont la configuration reste la même que pour un nombre faible : ce sera évidemment le cas des écoulements laminaires pour lesquels, structurellement, le terme convectif de léquation de N-S est nul Pour un écoulement laminaire, le calcul du nombre de Reynolds semble donc a priori inutile puisque le terme convectif nintervient pas. En fait ce calcul devient pertinent pour discuter de la possibilité même dune structure laminaire de lécoulement, ou plus exactement de sa stabilité. Laugmentation de la vitesse par exemple dans un écoulement laminaire pourra créer des instabilités faisant évoluer lécoulement vers un régime turbulent . Des études dordre purement expérimental permettent alors de définir une valeur limite numérique du nombre de Reynolds séparant les deux types de régime. Cette valeur dépend évidemment de chaque écoulement, mais on peut retenir une valeur usuelle de lordre de 2000
3.4.
Notion de couche limite
Dans un écoulement laminaire à grand nombre de Reynolds, loin de tout obstacle, le fluide peut être considéré comme parfait : les forces de viscosité sont alors négligeables. En revanche, lorsquon introduit un obstacle, au voisinage de ce dernier les phénomènes de diffusion (viscosité) et de convection doivent être pris en compte simultanément. Il existe ainsi une zone où la vitesse du fluide évolue rapidement de sa valeur en labsence dobstacle jusquà zéro si lobstacle est
PSI Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 53 immobile : cette zone est appelée couche limite. Lécoulement dans la couche limite peut lui-même être laminaire ou turbulent. La couche limite est la zone de fluide de faible épaisseur (dautant plus faible que Re est grand) située au voisinage dun obstacle et dans laquelle le fluide ne peut plus être considéré comme parfait. Cest dans cette zone que le gradient des vitesses est important et où la force de viscosité a un effet notable puisquelle est capable de freiner le fluide jusquà larrêter au niveau de lobstacle. En dehors de cette zone, toute la dynamique des fluides parfaits précédemment étudiée reste valable. Notons enfin que la forme de lobstacle joue un grand rôle sur celle de la couche limite. Ainsi, pour des obstacles  mal profilés », se produit lephénomène de décollement de couche limite. Celui-ci engendre la création dun grande zone de turbulence dans le sillage de lobstacle. Ce type de phénomène doit par exemple être contrôlé et évité au mieux dans le calcul des profils aérodynamiques, comme ceux des ailes davion...
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