PSI Brizeux Ch E2 Régimes stationnaires

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PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires 15 CHAPITRE E2 RÉGIMES STATIONNAIRES Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre des régimes stationnaires, c'est-à-dire indépendants du temps. Aucune des grandeurs considérées ici ne peut donc dépendre du temps, toute dérivée du type ∂∂t est donc identiquement nulle. En particulier les distributions de charges seront telles que ∂?∂t = 0. En ce qui concerne l'étude du champ électrique, le cadre des régimes stationnaires contient bien évidemment celui des régimes statiques associés à des charges immobiles dans le référentiel d'étude. Il est cependant plus large puisqu'on peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant à la condition énoncée plus haut : imaginons par exemple le cas d'un cylindre infini chargé uniformément et se déplaçant parallèlement à son axe à vitesse constante. 1. LOI DE CONSERVATION DE LA CHARGE 1.1. Loi des nœuds L'équation de conservation de la charge implique qu'en régime stationnaire, une distribution de courants est nécessairement telle que ? divj ? = 0 . En régime stationnaire, ? j est à flux conservatif. Ceci revient à dire que le flux de ? j est le même à travers toute section d'un tube de courant : en régime stationnaire, pour des circuits filiformes, l'intensité est la même en tout point du circuit. Elle est de plus évidemment indépendante du temps (on parle souvent de courant continu).

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires15   
   
 
 
C H A PIT R E E 2  RÉGIMES STATIONNAIRES 
Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre desrégimes stationnaires, c’est-à-dire indépendants du tempsdes grandeurs considérées ici ne peut donc dépendre du temps, toute. Aucune dérivée du type donc identiquement nulle.t est En particulier les distributions de charges seront telles quetρ = 0. En ce qui concerne l’étude du champ électrique, le cadre des régimes stationnaires contient bien évidemment celui des régimes statiques à des charges immobiles dans le référentiel  associésd’étude. Il est cependant plus large puisqu’on peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant à la condition énoncée plus haut : imaginons par exemple le cas d’un cylindre infini chargé uniformément et se déplaçant parallèlement à son axe à vitesse constante.   1. LOI DE CONSERVATION DE LA CHARGE
1.1. Loi des nœuds  L’équation de conservation de la charge implique qu’en régime stationnaire, une distribution de courants est nécessairement telle que.  En régime stationnaire, est à flux conservatif.  Ceci revient à dire que le flux de est le même à travers toute section d’un tube de courant :en régime stationnaire, pour des circuits filiformes, l’intensité est la même en tout point du circuit. Elle est de plus évidemment indépendante du temps (on parle souvent de courant continu).  La loi des noeuds =est une autre conséquence de div 0. Sur la figure ci-dessous, un courant I se répartit dans deux branches en I1et I2 nul à travers la surface fermée est. Si l’on écrit que le flux de  Σ, on obtient, compte tenu des changements d’orientation de surface au passage surface ouverte - surface fermée :   
dont on déduit la loi des nœuds : I = I1+I2.
I BrizeuPS                           x                                                                                                           Ch. E2  Rgémises atitnoan6  1esir 
  
 
n
 
S1
 
 
I1 n
I2 n S2  1.2. Courant dans les conducteurs ohmiques - Loi d’Ohm intégrale Résistance électrique – Loi de Joule  1.2.1. Loi d’Ohm intégrale – Résistance. Le modèle de conduction des conducteurs dits ohmiques nous a permis dans le chapitre précédent de relier la densité volumique de courant électrique au champ électrique créant ce courant par la loi d’Ohm locale : =γ Nous allons montrer que cette relation de proportionnalité va entraîner . celle de l’intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique avec la différence de potentiel que l’on applique à ses bornes.  Si le champ électrique est permanent, on peut écrire : ou encore .  Considérons alors une portion de circuit limitée par deux surfaces équipotentielles S1 et S2 respectivement aux potentiels V1et V2. L'intensité I du courant est donnée par le flux de à travers S1(ou S2).  De même, en faisant circuler le champ de 1 à 2, on obtient :  En outre, en utilisant la relation =γ  , on remarque que si on multiplie par un réel quelconqueλ champ en tout point, on le multiplie par le même réel I et la différence de potentiel ...   Il existe donc une relation de proportionnalité entre ces deux grandeurs, et l'on peut écrire :  
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires17    La grandeur R est une caractéristique de la portion du conducteur considérée,dépendant de sa constitution et de sa géométrie. Ce terme est appelérésistancede la portion considérée.   1 Rq. La résistance s'exprime en ohms (Ω), la conductivité enΩ-1.m-1et on pose souventρ=γ  résistivité enΩ.m  . Comme nous l'avons précédemment remarqué, il n'existe ni conducteurs parfaits (γinfinie), ni isolants parfaits (γ nulle). La conductivité est une des grandeurs physiques qui a le plus grand domaine de variation. Elle peut varier, par exemple, de 6.107Ω-1.m-1pour un bon conducteur comme le cuivre , à 10--22 Ω-1.m-1pour un bon isolant.   Finalement la forme intégrale de la loi d'Ohm est :  V1- V2= RI  le sens algébrique positif du courant étant pris de 1 vers 2.On retrouve là une relation bien connue.  1.2.2. Résistance d’un conducteur filiforme  Pour un conducteur filiforme de section constante S et de longueur L, j est uniforme et I = jS. En outre, E est également uniforme (puisque =γ) et V1- V2= EL. D’où : j I  V1- V2=γ L =γS L = RI L = RγS   1.2.3. Loi de Joule intégrale  Si l'on prend l'exemple simple d'un conducteur filiforme, assimilé à un tube de courant de section s, entre deux sections aux potentiels V1et V2, la puissance totale dissipée est :  P =∫∫∫τ γ Is22 dτ= I2  γ1     IRdsl  2 =  On retrouve l'expression classique                P = RI2     
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires18  2. CHAMP ELECTRIQUE STATIONNAIRE     
    
  
 
2.1. Rappel des propriétés intégrales
2.1.1. Champ et potentiel créés par une distribution de charges
Considérons une distribution volumique de chargesρ(P) à l’intérieur d’un volumeτ. Le champ stationnaire créé en tout point M de l’espace est donné par :     Cette expression est applicable pour toute distribution, même d'extension infinie. Elle est connue sous le nom de loi de Coulomb.  Pour des distributions d’extension finie, le potentiel V associé est calculable par :  V(M) =∫∫∫τ 4π1ε0  ρ(  d)P rτ  Rq.1 Ces expressions s'étendent aux distributions limites surfaciques, linéiques et ponctuelles en remplaçant l'intégrale volumique en intégrale surfacique, curviligne ou simple somme.  Rq.2vers 0 quand on s'éloigne à l'infini L’expression du potentiel montre notamment qu’il tend de la distribution. C'est un choix qui rend unique la solution prise pour le potentiel.  2.1.2. Flux : théorème de Gauss Le champ électrique stationnaire possède des propriétés remarquables qui s’expriment sous forme d’intégrales portant sur un domaine quelconque de l’espace. Ainsi le flux de à travers toute surface fermée s’écrit :   la le flux de à travers toute surface fermée est égal au quotient parε0de charge totale contenue dans le volume délimité par cette surface :   
 
Q  =tni      .  =  oéèr uhtsna evon:   uss e Game dRe
 
L’intégration de la circulation d’un champ sur un contour fermé fini est reliée, par le théorème de Stokes, au flux de son rotationnel à travers la surface délimitée par le contour :
 
2.2.1. Flux et divergence
ρdτ ε0∫∫∫τ  ε0   Par application du théorème d'Ostrogradski, nous pouvons écrire : .=∫∫∫τ  div dτ D’où : ∫∫∫τ  ρε0 dτ=∫∫∫τ d divτ   ∀τ  Nous pouvons en déduire l’égalité des fonctions sous le signe intégrale : diρ v= ε0     Cette équation, connue sous le nom deMaxwell-Gauss, représente la forme locale du théorème de Gauss : elle montre notammentque le champ électrique diverge à partir des charges qui sont ses sources.  2.2.2. Circulation et rotationnel
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires19  A ce stade, l’intérêt du théorème de Gauss est surtout pratique : il permet en effet, par un choix de surfaces judicieux, de calculer plus facilement que par la loi de Coulomb, dans des problèmes à forte symétrie où la direction du champ est connue à priori.  Ainsi,pour des distributions à symétrie sphérique, le champ à l’extérieur de la distribution est le même que si la charge était rassemblée en son centre.        
2.2. Équations locales
En outre, tout champ électrique stationnaire est à circulation conservative : sa circulation le long d'un contour fermé est toujours nulle.
2.1.3. Circulation et potentiel
 C’est d’ailleurs cette propriété importante qui permet d’associer un potentiel scalaire V au champ .  Nous allons à présent traduire localement ces propriétés intégrales, comme nous l’avions fait pour l’équation de conservation de la charge.  
. = 0 : tout champ stationnaire est à circulation conservative
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires20  . =∫∫S .  Revenons alors au champ électrique stationnaire : le fait qu’il soit à circulation conservative implique donc : ∫∫S .=S =>=  Il existe enfin une identité (voir annexe) qui affirme G =G : tout champ vectoriel à rotationnel identiquement nul dérive d’un gradient. C’est pourquoi nous pouvons associer au champ un scalaire V,défini à une constante additive près.  L’usage veut qu’on ait en fait posé :   = V  D’un point de vue topographique, nous pouvons dire, de façon un peu imagée, que le champ électrique stationnaire ne « tourne  pas. Plus concrètement,les lignes de champ, qui ne peuvent se refermer, sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et dirigées vers les potentiels décroissants.  2.2.3. Équation de Poisson  Combinons enfin div= ερ0   et = - Nous obtenons (voir annexe) : V. div (- V)= ερ0    =>ΔV +ερ0   = 0  Cette équation, appeléeéquation de Poisson, en fait une équation locale relative au constitue potentiel V, équation qui le relie à ses sources. C’est l’intégration de cette équation sur une distribution de charges d’extension finie, avec le choix d’un potentiel nul à l’infini, qui aboutit à la loi de Coulomb du potentiel :  V(M)∫∫∫τ 1ρ(P) dτ  =   4πε0 r  2.3. Synthèse  Nous pouvons résumer tous les résultats précédents en exprimant les propriétés fondamentales d’un champ électrique stationnaire, sous leurs formes équivalentes locales ou intégrales :  div= ρε0 Équation de Maxwell-Gauss <=> . = Qεi0nt      = 0 <=> . = 0 <=>  V =V tel que    Équation de Poisson  
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires21  Notons que les deux équations locales de permettent de « reconstruire  totalement le champ électrique stationnaire, elles contiennent notamment la loi de Coulomb. Nous pouvons à présent prendre ces 2 équations comme postulats...  2.4. Analogie champ électrostatique – champ gravitationnel  2.4.1. Force d’interaction gravitationnelle  La force d’interaction gravitationnelle qui s’exerce entre deux masses ponctuelles m1et m2 a pour expression : , force qu’exerce la masse m1sur la masses m2 Greprésente la constante de gravitation universelle  G= 6,67.10-11N.m2.kg-2.     Cette expression est analogue à celle de l’interaction électrostatique : . Les différences fondamentales entre ces deux forces proviennent d’une part du fait que l’interaction gravitationnelle est forcément attractive alors que l’interaction électrostatique peut être répulsive, et d’autre part du fait que la gravitation joue un rôle négligeable à l’échelle atomique face à l’interaction électrostatique alors que c’est le contraire à l’échelle macroscopique (la matière est globalement neutre).  2.4.2. Champ gravitationnel On peut donc considérer que la masse m1tout l’espace un champ gravitationnel que peutcrée dans ressentir toute masse m2placée en son voisinage : . Pour une distribution volumique de masse, nous aurons donc :   Cette expression est applicable pour toute distribution, même d'extension infinie.µ(P) représente la masse volumique au point P. 2.4.3. Théorème de Gauss pour les champs gravitationnels L’analogie entre formelle entre ces deux types d’interaction dites Newtonienne est la suivante :  
     
 
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires22   
  
 
Electrostatique Gravitation q m   -G  Le théorème de Gauss de l’interaction gravitationnel est donc :   qui permet de déterminer le champ gravitationnel crée par une distribution de masse. Dans cette expression, Mintreprésente la masse comprise dans le volume délimité par la surface fermée S.     Nous allons à présent étudier plus particulièrement deux exemples de distributions de charges et les champs et potentiels correspondants :  - le condensateur plan idéal  - les distributions dipolaires   2.5. Le condensateur plan idéal
2.5.1. Champ et potentiel Nous modélisons un condensateur plan idéal par deux plans conducteurs infinis parallèles, distants de e, et portant des densités superficielles uniformesσet -σsur leurs faces en regard :  
 
 
C+  
 
E+
 
E+
E
 
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires23  En réalité, un condensateur réel, de taille finie, est caractérisé pardes effets de bord qui le différencient du modèle idéal. Cependant, quand les dimensions des faces du condensateur sont grandes devant l’épaisseur e, le condensateur se rapproche du modèle idéal, ce qui justifie son intérêt.  La symétrie du système montre que le champ est de la forme = E(z) .  En appliquant le théorème de Gauss à un cylindre d’axe z, interne au condensateur, et donc vide de charges, on voit que est uniforme. En appelant enfin U la différence de potentiel entre les plaques, nous obtenons, en faisant circuler le champ d’une plaque à l’autre : U = Ee.  Nous aurions pu aussi calculer directement le potentiel entre les plaques à partir de l’équation de Poisson : par symétrie, le potentiel ne dépend que de z (les surfaces équipotentielles sont des plans d2V horizontaux). L’équation de Poisson entre les plaques devientΔ dzV = 0, soit2 = 0. D’où V = az + b. U dV U -Soit encore V = e z + b et enfin = - V = - dz = e .  Nous pouvons enfin calculer le champ en fonction deσ.  Par superposition, est la somme des champs créés par chacun des plans : σ σ Le planσ crée le champ+ = - 2ε0 pour z < e, et 2ε0 pour z > e ( il suffit d’appliquer Gauss à un cylindre du type C+).  σ σ De même le plan -σcrée- 2 =+ ε0pour   - te2 < z  ,0 ε0 z > 0. pour  σ Le champ est donc nul à l’extérieur des plaques et vaut -ε0 les plans. entre  Rq. la traversée d’une àNous remarquons une discontinuité de la composante normale du champ σ surface chargéeσ, égale àε0Ce point sera examiné au chapitre suivant..  2.5.2. Capacité d’un condensateur plan
 
 
Pour un condensateur réel, dont les plaques ont une surface S, la charge portée par la plaque U chargéeσest q =σS ( l’autre plaque porte alors la charge - q ). D’où q =ε0ES =ε0 Cette charge e S. est donc proportionnelle à la différence de potentiel entre les plaques : le facteur de proportionnalité est lacapacitédu condensateur, grandeurpositive en expriméefarads. Tout condensateur possède une capacité C telle q = CU. Pour le condensateur plan :  
     
q = CU C capacité d’un condensateur S condensateur plan C =ε0e
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires24  2.5.3. Aspect énergétique  Nous savons qu’un condensateur possédant une charge q a également une énergie qui s’exprime par  EE q2  1 =C2   Nous pouvons exprimer différemment cette énergie en faisant intervenir le champ créé entre les plaques du condensateur. En raisonnant sur l’exemple du condensateur plan :  1 q21σ2S2 12 eεE2  2 1= e Sε0E2τ EE 2 C == 2ε0S =0  Cette dernière expression fait apparaître l’énergie comme distribuée dans le volumeτ=Se du 1 condensateur avec la densité volumique d’énergie (ici uniforme) wE= 2   ε0E2.  Nous verrons dans le prochain chapitre que ce résultat est tout à fait général :  A toute distribution de charges créant, à priori dans tout l’espace, un champ , est associée une énergie répartie également dans tout l’espace, avec la densité volumique wE21    =ε0E2  Cette énergie représente en fait l’énergie nécessaire pour constituer la distribution de charges (charges qui sont en interaction) et par la même pour établir le champ .   2.6. Distribution dipolaire  2.6.1. Potentiel créé à grande distance par une distribution de charges quelconque  Parmi toutes les distributions de charges, les distributions dipolaires constituent un groupe particulièrement intéressant : considérons en effet une distribution volumique caractérisée parρ en tout point d'un volume finiτ déterminons le potentiel créé età grande distance cette par distribution. Il s'agit en fait de calculer V en M tel que, si on a choisi une origine quelconque O au voisinage de la distribution, la distance OM = r est grande devant les dimensions de la distribution elle-même.  D'où PM2 = + ( )2= r2+ OP2- 2 . . Soit, au premier ordre :  1 PM =       
PSI Brizeux Ch. E2 Régimes stationnaires25  Le potentiel en M se développe alors en :  1 V(M) = 4πε0r∫∫∫τ  ρ(P) dτ+ ∫∫∫τ dτ+ ∫∫∫τ 4πρ(εP0)  o(r13) dτ  La première intégrale représente simplement la charge totale de la distribution : on retrouve qu'à 1 grande distance, au premier ordre en r , le potentiel créé en M est celui d'une charge ponctuelle ; la distribution est dite alorsmonopolaire.  
  
       
2.6.2. Distribution dipolaire : moment dipolaire
V(M) = + o(r13) 
Par contre, si cette charge totale est nulle, on doit s'intéresser au deuxième terme qu'on peut écrire :  4π1ε0   [∫∫∫τ  ρ(P) dτ] en posant soit. , =∫∫∫τ  ρ(P) dτ,   Le vecteur est appelémoment dipolaire électriquede la distribution, elle-même dipolaire (si 1 1  est non nul !) : le potentiel créé à grande distance n'est plus en  r   mais en r2 . Si est nul, on doit calculer le terme suivant du développement, la distribution devenant au moins quadrupolaire...  Revenons sur l'expression de , qui n'a d'intérêt que si la charge totale est nulle. On peut alors décomposer cette dernière en charges positivesρ+ de barycentre A+, et charges négativesρ-, de barycentre A-, avec les expressions :  ∫∫∫τ  ρ+(P) dτ= ∫∫∫τ  ρ(P) dτ=q  ∫∫∫τ  ρ+(P) dτ  et= q∫∫∫τ  ρ(P) dτ = - q  D'où = q - q = q   On retrouve l'équivalence de la distribution à deux charges ponctuelles - q et q, placées en A-et A+. Ce résultat montre en outre que indépendant du choix de l'origine O, c'est une grandeurest intrinsèque, caractéristique de la distribution.
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