PSI Brizeux Ch E4: Commandes d'un système linéaire Les oscillateurs boucle de réaction

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PSI Brizeux Ch. E4: Commandes d'un système linéaire - Les oscillateurs à boucle de réaction 43 43 CHAPITRE E4 Commande d'un système linéaire. Les oscillateurs à boucle de réaction On peut classer les systèmes en deux catégories : ? ceux dits en « boucle ouverte » ou en chaîne directe qui fonctionnent en ignorant les effets de leurs actions ; ? ceux dits en « boucle fermée » pour lesquels la grandeur de sortie est contrôlée dans un but d'asservissement et/ou de régulation. 1. ASSERVISSEMENT D'UN SYSTEME 1.1. Limites de la commande directe (syst. en boucle ouverte) 1.1.1. Description générale Un système commandé est constitué de différents organes ayant une fonction bien déterminée, jouant un rôle type que l'on retrouve dans tous ces systèmes. commande sortie capteur actionneur système Exemples : Un premier exemple est celui où le système est un four, la commande une énergie électrique, l'actionneur une résistance chauffante, le capteur un thermomètre et la sortie la température. Un second exemple est celui où le système est un arbre de moteur, la commande une tension électrique, l'actionneur un amplificateur de puissance et un moteur, le capteur un capteur de vitesse et la sortie la vitesse de rotation de l'arbre. Remarque : un capteur de façon générale transforme une grandeur physique en une autre, d'un autre type. 1.1.2.

  • tension ur appelée

  • tension de consigne

  • capteur de vitesse

  • capteur de façon générale

  • signal retour

  • diviseur de tension

  • correcteur


Publié le : lundi 18 juin 2012
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PSI Brizeux Ch. E4: Commandes d’un système linéaire - Les oscillateurs à boucle de réaction 43   
C H A PIT R E E 4   Commande d’un système linéaire. Les oscillateurs à boucle de réaction
On peut classer les systèmes en deux catégories : ceux dits en « boucle ouverte  ou en chaîne directe qui fonctionnent en ignorant les effets de leurs actions ;  ceux dits en « boucle fermée  pour lesquels la grandeur de sortie est contrôlée dans un but d’asservissement et/ou de régulation.  1.  ASSERVISSEMENT D’UN SYSTEME  
 
1.1.  Limites de la commande directe (syst. en boucle ouverte)   1.1.1.  Description générale  Un système commandé est constitué de différents organes ayant une fonction bien déterminée, jouant un rôle type que l’on retrouve dans tous ces systèmes.   
 
 Exemples :  Un premier exemple est celui où le système est un four, la commande une énergie électrique, l’actionneur une résistance chauffante, le capteur un thermomètre et la sortie la température.  Un second exemple est celui où le système est un arbre de moteur, la commande une tension électrique, l’actionneur un amplificateur de puissance et un moteur, le capteur un capteur de vitesse et la sortie la vitesse de rotation de l’arbre.  Remarque : un capteur de façon générale transforme une grandeur physique en une autre, d’un autre type. 1.1.2.  Inconvénients de la commande directe  Prenons le second exemple : si on imagine un « cahier des charges  (i.e. l’ensemble des contraintes imposées par l’utilisateur) donnant une tolérance de 1% sur la vitesse de rotation de l’arbre moteur autour d’une vitesse nominale Ω 0 , il faudra, dans le cas de la commande directe, calculer exactement (à
 
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1.2.  Système asservi et/ou régulé (syst. en boucle fermée). Exemples  On raisonne sur l’exemple du moteur : afin de permettre au système de commande de réagir lorsque la vitesse de rotation Ω  varie, on installe un capteur de vitesse sur l’arbre qui fournit une tension u r  appelée tension de retour, image de Ω . Un comparateur effectue la différence entre u r et u c (tension de consigne). ε = u c - u r  est appelé signal d’erreur. On agit sur l’actionneur (amplificateur + moteur dans cet exemple) en fonction de ε .   La structure générale d’un système bouclé est donc la suivante (en l’absence de perturbation) :   
 
 Le signal de retour est l’image de la sortie par un capteur. ε est observé en permanence et le signal de commande de l’actionneur, u, est ajusté en permanence par le correcteur de façon à agir sur l’actionneur et corriger l’erreur. Il existe différents types de lois de commande u f( ε ) : =  = la loi de commande la plus simple est du type « tout ou rien  : si ε > 0, u U max et si ε < 0, u = 0. Ce type de loi de commande est très employé dans les systèmes « rustiques  possédant une forte inertie telles que les commandes thermostatiques de chauffage ;  
 
PSI Brizeux Ch. E4: Commandes d’un système linéaire - Les oscillateurs à boucle de réaction 45   la loi de commande proportionnelle :  u = Κε (le correcteur est donc un simple amplificateur). Elle permet d’envoyer le maximum de puissance quand la sortie a une valeur très éloignée de la consigne, et de réduire cette puissance lorsqu’elle s’en approche.   la loi de commande proportionnelle intégrale : la loi de commande proportionnelle laisse en général subsister une erreur résiduelle : en effet, si elle était nulle, la commande u = K ε le serait aussi et l’actionneur ne serait plus alimenté. Si l’on souhaite un signal d’erreur faible, cela se fera au prix d’un gain élevé. Cela entraîne un autre désavantage : celui d’une réaction disproportionnée en cas de changement de consigne par exemple et pouvant même entraîner la saturation des composants. Une loi de commande de type intégral permet d’assurer une commande plus progressive.
 
 
On choisit donc où T i est la constante de temps d’intégration. T i devra être choisi ni trop grand (réaction trop « molle ) ni trop faible (réaction trop « brutale ) par rapport aux constantes de temps caractéristiques du système à commander.  La commande intégrale permet de réagir « calmement  aux variations brutales de l’erreur et d’assurer ainsi un rattrapage progressif de la consigne. Le signal d’erreur peut s’annuler sans que u ne s’annule.  La commande intégrale est une commande progressive et persévérante.    la loi de commande dérivée : elle permet de prendre en compte l’état de l’évolution de ε  . En effet, si ε (t) est en train d’augmenter, il faudra que le système réagisse plus énergiquement que si ε (t) est en train de diminuer. On choisit donc une loi de commande . La commande dérivée assure une plus grande rapidité et une meilleure stabilité du système régulé.  Exemple 1 : on peut illustrer ceci avec l’exemple de la régulation et/ou asservissement d’un four :  
  La température du four est commandée par l’énergie électrique alimentant des résistances chauffantes (actionneur).  Les facteurs de perturbation, plus ou moins bien connus, sont modélisés par un signal N qui constitue une entrée non maîtrisée.
 
PSI Brizeux Ch. E4: Commandes d’un système linéaire - Les oscillateurs à boucle de réaction 46   Un opérateur pourrait agir manuellement sur w pour maintenir θ r  conforme à la température de consigne θ c , mais cela serait fastidieux et justifie l’emploi de système à boucle de réaction intégrée. On remplace donc l’action d’un opérateur extérieur par l’organe correcteur, qui après détection de l’erreur ε  règle w « de façon appropriée  . Pour un four il s’agit généralement d’une commande de type « tout ou rien .   Exemple 2 : commande de vitesse d’un moteur :   
 
 
 
  On fait ici intervenir a priori des frottements intervenant au niveau du moteur et modélisés par un couple résistant.  L’arbre moteur tourne à la vitesse angulaire Ω et pourra éventuellement être raccordé à une charge mécanique exerçant lui aussi un couple résistant sur l’arbre.  Le capteur de vitesse est une génératrice tachymétrique, dont on verra dans un autre cours le principe de fonctionnement, mais dont on peut retenir ici qu’elle délivre en sortie une tension u r  proportionnelle à la vitesse de rotation Ω .    Fonction asservissement : on pose dans cette étude que les entrées secondaires (couple résistant ici) sont à 0. On suppose qu’à t = 0, le système est au repos avec toutes les grandeurs nulles. A t = 0 + , on impose u e = u c (tension de consigne). Le moteur étant au repos Ω = 0 et donc u r = 0, d’où ε (0 + ) = u c , valeur maximale du signal d’erreur. Donc l’accélération du moteur est aussi maximale : Ω augmente donc, u r aussi et ε diminue jusqu’à son annulation. Le moteur n’est alors plus alimenté et, en l’absence de frottement, l’arbre moteur aura été lancé à la valeur Ω 0 désirée.  On arrive plus rapidement et plus sûrement à la valeur Ω 0 que sans boucle de retour.   Fonction régulation : on suppose le système en régime établi. Si un couple résistant parasite fait chuter Ω , alors u r  diminue, ε  augmente, u aussi et le moteur est accéléré, permettant à l’arbre de retrouver la valeur de vitesse de rotation désirée.  Un système régulé garde des caractéristiques de sortie stables, même en présence de perturbations.    
 
  avec A = gain de lA.O. et B = R 1 R+ 1 R 2     L’A.O. joue donc le rôle de l’ensemble {comparateur + correcteur + actionneur}.  Le quadripôle de rétroaction est le diviseur de tension formé des résistances R 1 et R 2 .   Remarque  : on peut d’ores et déjà constater sur cet exemple que l’actionneur est ici un élément pouvant présenter de fortes fluctuations ( ω , T ..), alors que le quadripôle de rétroaction possède des caractéristiques beaucoup plus stables.    1.3.  Schémas fonctionnels d’un système bouclé. Fonction de transfert  1.3.1.  Schéma fonctionnel asservissement  Lorsqu’on ne considère que la fonction asservissement (en l’absence de perturbation, donc), le schéma fonctionnel d’un système bouclé est le suivant :   
On y distingue :   La chaîne directe , ou chaîne d’action de transmittance G(p).  Elle contient le correcteur et l’actionneur.  La chaîne de retour  ou de rétroaction (ou de  précision) de transmittance F(p).   La fonction de transfert est alors : H(p) = ES((pp)) . Or G(p) = S ε ((pp))  , F(p) = SR((pp))  et ε (p) = E(p) - R(p). D’où S(p) = G(p) (E(p) - R(p) )= G(p) [E(p) - F(p)S(p)] d’où  S H(p) = E((pp))  = 1+GG((pp))F(p)  
s(t) = A ε  avec ε = (v + - v -) v + = e et v - = R 1 R+ 1 R 2 s = Bs.   On peut représenter ce montage par le schéma fonctionnel suivant :  
 
        tionréacmelp  xE74      telailsc oes L - ed elcuob à srueur   plamicif3 e l: ni nsrevuetaon r                ISPirB xuez         E4: Ch.                e èmstsyreainélidnammoC  nud se
PSI Brizeux Ch. E4: Commandes d’un système linéaire - Les oscillateurs à boucle de réaction 48   La fonction de transfert en boucle ouverte  est définie par T R(p)On a donc : (p)  = ε (p) . T(p) = F(p)G(p) d’où aussi : H(p)  = 1+G(Tp()p)    1.3.2.  Schéma fonctionnel régulation   Lorsque les perturbations ne sont pas négligées, le schéma fonctionnel devient :   En fait il est très difficile d’estimer E p (p) ainsi que son point d’application  Si on ne s’intéresse qu’à la partie régulation du système bouclé, alors on fait E(p) = 0 et le schéma fonctionnel simplifié est alors appelé schéma fonctionnel régulation :   schéma dans lequel ε (p) = - R p (p) a été changé en ε (p) = R p (p) et l’additionneur, placé au point d’entrée de la perturbation, a donc été changé en comparateur.
 
 
  H p (p) = ES p ((pp))  = 1+GG( 2 p()p)F(p) , avec G(p) = G 1 (p)G 2 (p) = transmittance de la chaîne d’action.   1.4.  Cas d’une chaîne directe à fort gain  Pour les pulsations telles que F( ω )G( ω ) >> 1, c'est à dire dans la gamme de pulsations telles que le S(j ω ) G(j ω ) 1 gain en boucle ouverte est très grand face à 1, on a : H = E(j ω ) = 1+T(j ω ) F(j ω ) . Le système bouclé se comporte alors comme un système dont la fonction de transfert ne dépend que de sa chaîne de rétroaction. Les caractéristiques de celle-ci peuvent alors être fixées avec précision, ce qui n’est pas forcément le cas de la chaîne directe dont les caractéristiques sont souvent sensibles à des facteurs tels que la température ou ω . Les défauts de la chaîne d’action (dérive, décalage ..) n’affectent donc pas dans ce cas le comportement du système bouclé. C’est ce que nous avions déjà fait remarquer dans l’exemple de l’amplificateur non inverseur (le gain en boucle ouverte d’un A.O. est de l’ordre de 10 5 )   
 
 
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1.5.  Qualités d’un asservissement  Il y en a au moins 3, celles que nous allons évoquer ici :  1.5.1.  Stabilité  Imaginons une loi de commande proportionnelle u = K ε = K(y c -y) . Si K>>1, un petit ε entraîne une commande u disproportionnée, à tel point que y peut dépasser y c entraînant une riposte dans l’autre sens, tout aussi disproportionnée. Le système pourrait ainsi osciller autour d’un équilibre difficile à trouver.  Si le système est lent à répondre aux ordres, il peut également devenir instable.   Si on procède à un mauvais branchement de la boucle de retour (entraînant y + y c  au lieu de y c - y) on arrive également à l’instabilité : en effet, dans ce cas, si y augmente, alors ε  = y + y c augmente également et ainsi de suite jusqu’à saturation.  1.5.2.  Précision  ε = y c - y mesure la précision du système asservi. Si la loi de commande est du type u = K ε , on voit que pour avoir ε faible, il faut choisir K très grand (en effet, il faut qu’au moindre écart ε 0, le système réagisse efficacement), mais le système risque alors de devenir instable (cf 1.5.1.) .  Stabilité et précision sont deux exigences contradictoires  Ce résultat est général à tout type de commande.  1.5.3.  Rapidité  Nous verrons sur des exemples l’influence de la boucle de rétroaction sur le temps de réponse d’un système. Nous retiendrons simplement ici que :   la rétroaction permet un accroissement sensible de la rapidité d’un système.
 
PSI Brizeux Ch. E4: Commandes d’un système linéaire - Les oscillateurs à boucle de réaction 50   2.  PROPRIETES STATIQUES D’UN SYSTEME BOUCLE  
 
Nous nous limiterons au cas d’un signal de commande tel que : s = G ε , avec ε = e - r et r = Fs.  Étudiant les propriétés statiques d’un système bouclé, les opérateurs de la chaîne directe et de la chaîne de retour sont dans ce cadre du régime permanent de simples opérateurs multiplication par une constante.  Le schéma fonctionnel de ce système est donc :  
schéma dans lequel rappelons-le, représente une fonction comparateur donnant la grandeur d’erreur par soustraction de la consigne e et de la grandeur ramenée r. G  On a, pour un tel système : s = 1+FG e.  1 On peut remarquer que ε = 1+FG e 0 en régime permanent pour le modèle de commande choisie.   2.1.  Sensibilité du système vis à vis des variations de G  C’est souvent la chaîne directe comprenant amplificateur, actionneur et système physique lui-même qui est la plus sujette à des variations non contrôlables de ses caractéristiques. On examine donc ici l’influence d’une variation du gain G, F et e restant constants.  Prenons la différentielle logarithmique de l’expression de s :  dsdGd(1+FG)= dG (1G  - 1+FF)= dGG .1+1FG  . s = G - 1+FG G  En assimilant différentielles logarithmiques et variations relatives (en restant dans le cadre de petites variations de G) on obtient : Δ s Δ G 1  s  = G .1+FG   Le choix d’une valeur élevée de G permet donc de diminuer l’influence d’une variation de G sur s.  Mais connaissant l’influence d’une trop grande valeur de G sur la stabilité d’un tel système, il faudra comme ça l’a été dit au précédent paragraphe, trouver un compromis entre précision et stabilité.       
 
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2.2.  Sensibilité du système vis-à-vis des variations de F
ds 1+FG GdF dF FG On suppose ici e et G constants. On a donc : s  = - d(1+FG)  = - 1+FG . = - F .1+FG . Doù  Δ s Δ F FG   s = F .1+FG  Δ s Δ F On a donc, pour G ou pour FG >> 1 : s  F .  On constate qu’un fort gain de la chaîne directe ne permet pas de négliger les incertitudes sur la grandeur de sortie.  Il est donc indispensable dans tout système bouclé de « soigner  la chaîne de retour, c’est à dire d’y insérer si possible des composants aux caractéristiques les plus stables qui soient.  C’est ainsi que dans le montage amplificateur non inverseur à A.O , la chaîne de retour est constituée de résistances (R 1  et R 2 ) dont on sait que ce sont des composants stables, contrairement à l’A.O. par exemple.
2.3.  Sensibilité aux perturbations extérieures  Comme nous l’avons déjà signalé des facteurs parasites peuvent rentrer en ligne de compte : présence d’un dispositif voisin (« charge ), frottements (moteur), fuites thermiques (four), tension de décalage(AO)... . On est souvent amené à modéliser la perturbation dans le schéma fonctionnel de la façon suivante. On a : s = G ε + p ε = e - Fs doù s = 1+GFG e + 1+pFG  
 Si FG >> 1 : s  Fe  + 1+pFG , expression dans laquelle le second terme est négligeable face au premier.  La perturbation est fortement atténuée par la structure en chaîne bouclée.  Remarque  : si p intervenait dans la chaîne de retour, cela aurait des conséquences beaucoup plus graves sur la grandeur de sortie, puisque le système réagirait par rapport à une valeur erronée de la grandeur de sortie.  Exemple : amplificateur non inverseur possédant une tension de décalage V d .  R 1 On a donc : V s = A ε + V d . Si R 1 = 1 k Ω et R 2  = 100 k Ω , alors F = R 1 + 1 R 2  = 101 . Pour G = 10 5 on a V donc 1+1FG  =  10100 . Linfluence de V d  sur le signal de sortie est donc : 100 d 0 et est donc très atténué par rapport à sa valeur du système non asservi (AO non bouclé).
 
PSI Brizeux Ch. E4: Commandes d’un système linéaire - Les oscillateurs à boucle de réaction 52   3.  PROPRIETES DYNAMIQUES  Dans le paragraphe précédent, les signaux étaient permanents et les opérateurs de simples opérateurs multiplication par une constante. L’aspect dynamique développé ici permet de traiter le cas de signaux variables. On rappelle que la fonction de transfert d’un dispositif dont le gain de la chaîne directe est G(p) et G celui de la chaîne de retour F(p) est H(p)=1+F(p()p)G(p) .    3.1.  Stabilité
  
 
 
3.1.1.  Condition de stabilité
On rappelle quun système de fonction de transfert H(p) = DN((pp))  est stable si :    - le degré du polynôme N(p) est inférieur à celui de D(p)  - les pôles de H(p) (i.e. les 0 de D(p)) sont à partie réelle strictement négative.   3.1.2.  Cas d’un système du 1 er ordre
Comme on a intérêt à choisir une chaîne de retour dont les caractéristiques varient peu avec les conditions d’utilisation ( ω notamment), on s’efforce généralement de choisir F(p) = cte = F (réel). Envisageant le cas d’une chaîne directe du 1 er ordre du type G(p) = G 0 btient d le  p , on o onc pour 1+ ω 0  système bouclé : H(p) = G 0 . On peu sa forme 1+ ω p 0 +G 0 F t encore écrire cette fonction de transfert sous canonique : H(p) = 1+GG 00 F (1+1 ω p ) = H 0  (1p ) qui fait clairement apparaître H(p) comme une c 1+ ω c  fonction de transfert d’un système du 1 er ordre. G H 0  = 1+G 00 F est le gain statique et ω c = ω 0 (1+G 0 F) la pulsation de coupure du système bouclé.  ds L’équation différentielle du régime libre de ce système est : dt + (1+G 0 F) ω 0 s = 0  On retrouve les conditions de stabilité obtenues à partir de la discussion sur les pôles de la fonction de transfert, à savoir :   - si (1+G 0 F) > 0 : alors le système est stable : on a évanescence du régime transitoire.  - si (1+G 0 F) < 0 : alors le système est instable : le régime transitoire diverge.  - si 1+G 0 F = 0 : la mise en équation est à revoir. En fait dans ce cas s(t) existe pour e(t) = 0 : on a un oscillateur, oscillateurs qui feront l’objet d’un prochain paragraphe.  
 
  s = µ ε = µ (V + -V -) et V - = R 1 R+ 1 R 2 s s = µ ε = µ (V + -V -) = µ (-e+ β s)  A 0 Or, pour l’A.O., µ  = 1+ ω p , donc 0  pour le cas (a), « 1+G 0 F  = 1+A 0 β  > 0 : (a) est stable : c’est le montage amplificateur non inverseur.  pour le cas (b), « 1+G 0 F  = 1-A 0 β < 0 : (b) est instable : c’est un montage comparateur dans lequel l’A.O. fonctionne en régime saturé.   3.2.  Bande passante pour un système du 1 er ordre  1 G Pour un t 0 . el système on a H(p) = H 1 p avec ω c = ω 0 (1+G 0 F) et H 0  = 1+G 00 F . + ω c  = On constate donc que H 0 ω c  G 0 ω 0  = cte ne dépendant que de la chaîne d’action (l’A.O. par exemple). Cette propriété, caractéristique des systèmes du 1 er ordre s’énonce :  Le produit {gain statique x bande passante} est une constante.  Cela se traduit dans les diagrammes de Bode de la façon suivante :
  Les schémas fonctionnels de ces montages sont les suivants ( µ = gain de l'AO et β  = R 1 R+ 1 R 2 ) :  
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