PSI Brizeux Ch PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide

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PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 33 CHAPITRE PO3 ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE 1. STRUCTURE DE L'ONDE PLANE ELECTROMAGNETIQUE DANS LE VIDE ILLIMITE 1.1. Transversalité et orthogonalité des champs Rappelons que les champs ? E et ? B obéissent tous deux dans le vide à une équation du type : ? ? ? E - ? 1 c 2 ? ? 2 E ? t 2 = ? 0 Le vide illimité est donc un milieu non dispersif où toutes les ondes électromagnétiques planes se propagent à la vitesse c. Prenant une forme d'onde progressive suivant la direction x, les champs auront la structure : ? E ( Ex( t - ? x c ), Ey( t - ? x c ), Ez( t - ? x c ) ) ? B ( Bx( t - xc ), By( t - xc ), Bz( t - xc ) ) En outre, ils doivent obéir aux équations de Maxwell qui vont alors imposer des relations sur ces composantes. Remarquons dès à présent que dans ce problème toute dérivation partielle par rapport à y ou z sera nulle et que, en appelant u la variable t - ? x c , nous aurons : ? ? ?x = - ? 1 c ? d du et ? ? ? t = ? d du Les équations de Maxwell imposent

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 33   
           
       
C H A PIT R E PO 3   ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
1.  STRUCTURE DE L’ONDE PLANE ELECTROMAGNETIQUE DANS LE VIDE ILLIMITE
1.1.  Transversalité et orthogonalité des champs
Rappelons que les champs et obéissent tous deux dans le vide à une équation du type :
        - =
Le vide illimité est donc un milieu non dispersif où toutes les ondes électromagnétiques planes se propagent à la vitesse c . Prenant une forme d'onde progressive suivant la direction x, les champs auront la structure :
 ( E x ( t - ), E y ( t - ), E z ( t - ) )  
( xx t -  xc  ) ) B x ( t - c ), B y ( t - c ), B z ( En outre, ils doivent obéir aux équations de Maxwell qui vont alors imposer des relations sur ces composantes. Remarquons dès à présent que dans ce problème toute dérivation partielle par rapport à y ou z sera nulle et que, en appelant u la variable t - , nous aurons :  = - et =       
Les équations de Maxwell imposent alors :
div = 0 =>   0 =  = - => 0 = - ; = - ; = -    
     
div = 0 => = 0
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 = => 0 = ; = ; - =                
Or on ne s'intéresse ici qu'à des champs variables tout champ statique obéissant évidemment aussi à l'équation de d'Alembert dont il est une solution triviale ne correspondant pas à une propagation). En ne retenant que la partie variable des champs, il vient :  E x = 0 B x = 0  E z = - c B y  E y = + c B z  
Le premier résultat fondamental est donc que les champs et d'une onde plane dans le vide sont transverses, c'est à dire tous deux orthogonaux à la direction de propagation.
En outre, et sont entre eux orthogonaux (ce qui peut être montré facilement en formant leur produit scalaire) et on a la relation E = cB .
Si on désigne par un vecteur unitaire de la direction de propagation, tous ces résultats peuvent être regroupés dans la formule :
     =
 Sous cette forme, le résultat apparaît indépendant du trièdre de référence et du sens de propagation.  Il est important de remarquer que cette structure impose à la direction de propagation et aux champs de former un trièdre direct : ( , , ). Cependant les directions de  et eux-mêmes ne sont pas fixées dans le plan orthogonal à la direction de propagation.  Quand ces directions varient rapidement aléatoirement (du fait du mécanisme d'émission par exemple) , on dit que l'onde électromagnétique n'est pas polarisée.  Ainsi la lumière qui nous vient du soleil est une onde électromagnétique localement plane non polarisée.
1.2.  L’impédance du vide
Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu’il est possible d’associer à une onde et au milieu de propagation une impédance caractéristique. Qu’en est-il des ondes électromagnétiques dans le vide ? C’est le couplage entre et imposé par les équations de Maxwell qui est à l’origine de la nature ondulatoire du champ électromagnétique. Il est cependant ici difficile de distinguer un effet et une cause comme dans le cas des précédents exemples. Comment alors définir l’impédance ?
PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 35  Nous pouvons nous appuyer sur une analyse dimensionnelle : le problème étant ici de nature électromagnétique, cette impédance devra avoir les dimensions d’une impédance électrique.  s’exprime en V.m -1 . Il faudrait donc le diviser par des A.m -1 pour obtenir la dimension souhaitée. Or un champ magnétique est toujours homogène à « µ 0  .A.m -1 . Le quotient a donc les dimensions souhaitées.  Nous définissons l’impédance associée au champ électromagnétique par :  
 
      
Z =
 E Dans le cas d’une onde électromagnétique plane B = c = E. D’où  
Z vide =
 Nous retrouvons l’idée que le couple c, Z vide définit aussi bien le vide que le couple µ 0 , ε 0 ...    1.3.  L'onde électromagnétique monochromatique  1.3.1.  États de polarisation  Supposons maintenant l'onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant dans la direction x. Les champs peuvent s'écrire : ( 0, E 0y cos ( ω t - kx), E 0z cos ( ω t - kx + φ ) )  1 -( 0, c E 0z cos ( ω t - kx + φ ), + E 0y cos ( ω t - kx) )
Dans un plan x = cste, les extrémités des vecteurs et décrivent des ellipses, l'ellipse décrite par l'extrémité de se déduisant de celle décrite par l'extrémité de par une similitude de rapport et d'angle .
E 0z u x  B  E   E 0y    Dans ce cas on dit que l'onde est polarisée elliptiquement . Les champs ne sont pas colinéaires à des directions fixes mais tournent à vitesse angulaire ω dans un plan d'onde.
PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 36  De plus, suivant les valeurs de φ , on peut discuter du sens de rotation. Les différents cas de figure sont représentés ci-dessous à titre d'indication. Quand les champs tournent négativement autour de la direction de propagation, l'onde est dite gauche . Elle est évidemment dite droite dans le cas inverse.  
  
 
 
Dans le cas particulier où φ = + k π et E 0y = E 0z , les champs balayent des cercles et l'onde est dite circulaire . 1.3.2.  Polarisation rectiligne  Un cas très important enfin est celui de φ  = 0 ou π  où les champs restent colinéaires à une direction fixe : on parle alors de polarisation rectiligne . Dans ce cas on peut choisir les axes du trièdre de référence colinéaires aux champs et on aura par exemple :  
OPPM polarisée rectilignement      = E 0 cos ( ω t - kx)  E  = c 0  cos ( ω t - kx)  Nous verrons ultérieurement qu'il est possible, à partir d'ondes non polarisées, d'obtenir des ondes polarisées. On pourra même changer d'état de polarisation et transformer des ondes rectilignes en ondes circulaires ou réciproquement.  On peut déjà faire une remarque intéressante : une onde rectiligne peut toujours être considérée comme la somme de deux ondes circulaires se propageant dans la même direction mais tournant en sens inverse à la vitesse ω , pulsation de l'onde rectiligne : les 3 vecteurs champs électriques correspondants seront en effet conformes au schéma suivant :
 
PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 37  E  
                  
 
 
E  1 E  2     L'aspect du champ électromagnétique se propageant suivant x sera, à une date donnée, le suivant :
1.3.3.  Utilisation de la notation complexe On peut retrouver très rapidement tous les résultats associés à l'OPP dans le vide illimité en imposant à cette onde d'être sinusoïdale et en employant la notation complexe. En effet, supposant une structure de l'onde de la forme :  = 0                     = 0    On voit qu'une dérivation partielle par rapport à y par exemple devient une simple multiplication par j . Les opérateurs div  et   deviennent alors un vrai produit scalaire j . et un vrai produit vectoriel j  . Les équations de Maxwell s'écrivent alors :  j .   0 = j  = j ω   j = 0 . j ω -j   =   c 2     
 
PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 38  On retrouve alors directement la transversalité des champs (  et  orthogonaux au vecteur d'onde), la relation =  , et la relation k = ± ....    
 
   
1.4.  Énergie des ondes électromagnétiques
1.4.1.  Rappel : densité d’énergie et vecteur de Poynting
u = +
Rappelons qu’à tout champ électromagnétique ( , ), nous avons associé :  - une énergie localisée dans tout l’espace où est créé le champ et dont la densité volumique est :   - un vecteur « courant de puissance   dont le flux à travers une surface représente la puissance électromagnétique traversant cette surface. L’expression de est :  
     =  1.4.2.  Application à l’onde plane
Avec la relation =   , il vient : = . Ici encore nous retrouvons une équirépartititon de l’énergie entre les deux « formes  d’énergie associées à l’onde.  u = ε 0 E 2 =   D’où l’expression du vecteur de Poynting :  
= E 2   = cu    
 Le vecteur de Poynting est colinéaire à la direction de propagation. Ce résultat est tout à fait logique car transporte l’énergie associée à l’onde et la puissance associée est maximale à travers une surface orthogonale à la direction de propagation...  Enfin dans le cas d'ondes sinusoïdales, on s'intéressera surtout à des valeurs moyennes (dans le temps) des grandeurs et on aura pour l'onde plane sinusoïdale :
<u> = ε 0 <E 2 > = ε 0 E 02 < cos 2 ( ω t - kx) > = ε 0 E 02   
1 et                                                   <R> = c <u>  =  2   ε 0 cE 02   
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On ne peut pas employer la notation complexe pour le vecteur de Poynting. On doit le calculer en revenant d'abord aux valeurs réelles des champs.  
1.4.3.  Vitesse de propagation de l’énergie   Ce vecteur est fondamental pour décrire l'énergie transportée par une onde et très utile pour définir une vitesse de propagation de l'énergie. Dans le cas d'une onde se propageant dans une direction donnée et choisissant une surface plane S (dont l'étendue sera à préciser) orthogonale à cette direction, on peut dire que l'énergie traversant S pendant dt est calculable à partir du flux de à travers S.    S'il n'y a pas d'énergie cédée par l'onde au milieu de propagation , c'est aussi l'énergie qui était contenue dans le volume δτ s'appuyant sur S et de longueur v g dt  . D’où le bilan :  ( ∫∫ s  . )  = dt ( ∫∫ s  R  dS )  = ∫∫∫ δτ  u d τ = ∫∫ s g dt dS dt uv  ∫∫ s  R  dS = v g ∫∫ s u dS   Ce bilan énergétique simple permet de calculer v .  g ..  Dans le cas de l’onde plane dans le vide, et ne dépendent pas des coordonnées transversales à la direction et la relation déterminant v g s'écrit simplement : u S v g = R S = uc S  L'énergie de l'onde plane se propage donc également à la vitesse c . Ce résultat n'est pas surprenant puisque le vide n'est pas dispersif. Dans le cas général d'un milieu dispersif, par contre, l'énergie électromagnétique ne se propagera pas à la vitesse c.  
2.  REFLEXION D’UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE SUR UN CONDUCTEUR
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2.1.  Introduction
Nous allons dans ce paragraphe examiner le comportement d'une OPPM se propageant initialement dans le vide et arrivant sur un conducteur. Dans toute la suite de cette étude, nous supposerons l'espace partagé en deux demi-espaces, l'un vide, l'autre formé par le conducteur, supposé globalement neutre. La frontière entre ces deux demi-espaces sera elle-même plane .   Toujours dans un souci de simplification, nous supposerons l'OPPM polarisée rectilignement.  Deux problèmes doivent alors être résolus :    - Les directions de propagation des éventuelles ondes réfléchie et transmise.   - Les amplitudes de ces ondes.  Nous commençons par examiner le cas le plus simple : celui d'une onde en incidence normale et d'un conducteur parfait.
2.2.  Notion de conducteur parfait
Nous appelons conducteur parfait un conducteur idéal dont la conductivité  γ  serait infinie . L’application de la loi d’Ohm à un tel conducteur (dans les conditions de validité de cette loi) implique alors nécessairement que le champ électrique y soit nul : on aurait sinon en effet des courants ( donc une énergie ) infinis. L’équation de Maxwell-Faraday montre alors qu’un éventuel champ magnétique ne peut être que stationnaire : il ne peut correspondre au champ d’une onde.  Retenons ces résultats :
Une onde électromagnétique ne peut se propager dans un métal parfait : les champs et variable y sont identiquement nuls.
 2.3.  Réflexion sur un conducteur parfait sous incidence normale  2.3.1.  Structure de l’onde réfléchie  Nous supposons donc ici que les plans d'onde sont parallèles au plan de séparation vide-conducteur : tous les points de ce plan sont donc atteints en phase par l'onde incidente.  
PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 41  D’après la structure de l'OPPM dans le vide illimité, le champ  est transverse, donc tangent au plan. Le champ est alors continu à la traversée de ce plan, ce qui implique que, du côté du vide, au niveau du plan, il soit également nul. L'onde incidente seule ne satisfait pas à cette condition : il existe nécessairement une onde réfléchie  Nous pouvons déjà remarquer que la nullité de sur le plan implique que cette limite constitue un noeud de champ électrique, et correspond à une impédance électromagnétique nulle : la superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie donnera une onde stationnaire...   Pour préciser la structure de cette onde réfléchie, réécrivons tout d'abord l'onde incidente :  i  = E 0i e j( ω i t + ki z)     Ec 0i  e j( ω i t + ki z)  ;  i = -ω c i      ; i  =   Nous affectons l'indice i (incident) à toutes les grandeurs liées à cette onde. D'après la remarque faite plus E i  haut, nous pouvons supposer que l'onde réfléchie est elle-même plane k i et doit donc s'écrire :  B  i  r  = 0r    r  =  r     =  
 
E = 0 B = 0   
 
   Pour préciser cette structure, il suffit d'expliciter la condition  = i +  r = , en z = 0, à tout instant : E 0i e j ω i t  + 0r e j( ω r t - kryy - krxx) = 0       t, y , x  On doit donc respecter les conditions :  0r = - E 0i                ω r  = ω i = ω           k ry = k rx = 0   Par conséquent, l'onde réfléchie a même pulsation que l'onde incidente , et elle se propage également suivant z , ce qui implique également que r = .  Elle est également polarisée rectilignement, suivant la même direction que l'onde incidente.  On assiste enfin à un retournement du champ électrique à la réflexion : on peut également dire que l'onde réfléchie a même amplitude que l'onde incidente, avec un déphasage de π à la réflexion.  
PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 42  Cette dernière propriété peut se traduire simplement par un coefficient de réflexion ( rapport en z = 0 ) : r = -1 En résumé, l'onde réfléchie s'écrit :  
 
 
    
r   = - E 0i e j( ω t - kz)   E -r   =  c 0i  e j( ω t kz)    Il est intéressant de remarquer que le champ magnétique, lui, ne change pas de sens : ceci est dû au double changement de sens de  et .  2.3.2.  Onde stationnaire résultante  Dans le vide, on assiste donc à la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie. L'onde résultante s'écrit :  
 = i +  r = - 2 E 0 sin ω t.sinkz   2 cos ω t.coskz  = i +  r =   On reconnaît là la forme d'une onde stationnaire : sur le plan métallique on a un noeud de champ électrique et un ventre de champ magnétique. Les noeuds de coïncident d'ailleurs avec les ventres de et réciproquement. et sont constamment en quadrature. D'un point de vue énergétique, en revenant aux notations réelles, on peut calculer u et  : ε 0 Ε 22 u    2   + 2 Β µ 0    = 2 ε 0 Ε 2 ( sin 2 ω t.sin 2 kz + cos 2 ω t.cos 2 kz ) =  E 02 i .sin2kz = µ 0 c s n2 ω t  <u> = ε 0 Ε 2  et < > =  L'onde stationnaire ne propage donc pas d'énergie. 2.3.3.  Complément : pression de radiation Revenant alors au plan z = 0, le champ magnétique total dans le vide s'écrit : E 0j ω t =  2 c e Or ce champ magnétique est un champ tangent pour le plan de séparation z = 0. Ceci implique, d'après les relations de passage sur , l'existence de courants superficiels sur le plan métallique, de densité : j ω t  = e  
PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 43  Ces courants fournissent une interprétation physique du mécanisme de réflexion de l'onde : l'onde incidente, par son champ i met en mouvement les charges libres du plan conducteur, créant ainsi un courant superficiel colinéaire à i . Ce courant crée en retour l'onde réfléchie.   
  
 
Par ailleurs, ces courants sont en quadrature temporelle avec le champ à la surface du métal ( en sin ω t et en cos ω t) ce qui fait que la puissance moyenne dissipée par ces courants est nulle. Ce résultat est conforme à l’idée qu’on se fait d’un conducteur parfait !  Le plan conducteur, parcouru par un courant surfacuque et placé dans un champ magnétique, subit de plus une force de Laplace. Cette force surfacique est l’équivalent d’une pression appelée pression de radiation . Cette pression se manifeste par exemple au niveau des satellites de communication en orbite terrestre lorsqu’ils sont « éclairés  par la lumière du Soleil ou par l’albedo (partie de la lumière solaire réfléchie par la Terre).
2.3.4.  Grille polarisante  Imaginons à présent qu'on remplace le plan métallique par une grille métallique dont l'espacement des fils est petit devant la longueur d'onde .  Les charges libres du conducteur ne peuvent se déplacer que colinéairement aux fils de la grille et cette dernière ne se comportera comme un plan que pour des ondes dont le champ incident sera lui-même colinéaire aux fils.  En revanche une onde dont le champ serait orthogonal aux fils sera entièrement transmise par la grille. Plus généralement, une onde elliptique quelconque arrivant sur la grille pourra toujours être décomposée, au niveau de , en une composante parallèle aux fils, entièrement réfléchie, et une composante orthogonale aux fils, entièrement transmise. L'onde elliptique incidente est transformée après traversée de la grille en une onde rectiligne orthogonale à la direction des fils : la grille est dite polarisante.  Dans le domaine de l'optique, on peut faire traverser à des ondes lumineuses des substances transparentes se comportant de la même façon. Ces substances, appelées polaroïds , comportent des longues chaînes moléculaires créées par étirement et rendues conductrices, qui se comportent comme les fils de la grille métallique.  Notons enfin que ces polariseurs  servent également d' analyseurs  puisqu'ils peuvent sélectionner, donc mesurer, la composante d'une onde dans une direction donnée.   2.4.  Réflexion sur un conducteur parfait sous incidence oblique  On suppose maintenant que le vecteur d'onde incident n'est plus parallèle à l'axe z, si bien que : i = k iy  - k iz  avec Toujours en supposant une onde polarisée rectilignement, la direction de polarisation de n'est plus indifférente. Supposons la toujours parallèle au plan séparateur, de sorte que le champ électrique reste tangentiel.
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