QUELQUES CONSÉQUENCES SURPRENANTES DE LA ...

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QUELQUES CONSEQUENCES SURPRENANTES DE LA COHOMOLOGIE DE SL2(Z) Don Zagier Je vais parler de beaucoup de choses differentes. J'avais l'intention de faire un petit plan, une sorte de “Leitfaden”, et j'ai commence, mais il est devenu bidi- mensionnel, puis tridimensionnel et puis quadridimensionnel, et j'ai abandonne. Il faudra que vous vous rendiez compte vous-memes de quoi je parle au cours de mon expose.
  • meme maniere
  • operation de γ donnee
  • xy −
  • t2 − coth
  • polynome
  • premiere fois
  • fac¸on
  • relations
  • relation
  • groupes
  • groupe
  • application
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Source : people.mpim-bonn.mpg.de
Nombre de pages : 19
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´ QUELQUES CONSEQUENCES SURPRENANTES DE LA COHOMOLOGIE DE SL 2 ( Z )
Don Zagier
Jevaisparlerdebeaucoupdechosesdie´rentes.Javaislintentiondefaireun petitplan,unesortedeLeitfaden,etjaicommenc´e,maisilestdevenubidi-mensionnel,puistridimensionneletpuisquadridimensionnel,etjaiabandonne´.Il faudraquevousvousrendiezcomptevous-mˆemesdequoijeparleaucoursdemon expose´.Ilestassezpeuprobablequevousyreussissiezcomple`tement,carilva apparaıˆtredesthe`mesassezvari´esetlesliensentreeuxneserontsansdoutepas toujourstr`esclairs.Maisilyaunechosequivaapparaıˆtretoutletempsetque vousallezreconnaˆıtrea`chaquereprise:desformulesdanslesquellesilyaun X quelque part, un X + 1, et un 1 + 1 X ,lie´sparunerelationdutype F X F 1 + X + F 1 + 1 X (*) ou`signiequilpeutyavoirdescoecientsouuntermeadditifsuppl´ementaire. Celaconstitueplusoumoinslecontenudemonexpos´e. Onmaditquejenauraispasdˆumettredansmontitrelesmotscohomologie de SL 2 ( Z )car¸cafaitpeurauxgens.Cestpourtantdec¸aquilsagitenfait, commejessayeraidelexpliquerplustard.Entoutcasjevousdemande,mˆemesi vousnecomprenezounappr´eciezpasgrande-chosedecequejeraconte:sijamais aucoursdevose´tudesmathe´matiquesvousde´couvrezdanslanature(biensuˆr danslanaturemath´ematique,cestlaseulequisoitvraie)quoiquecesoitou`ily a un X , un X + 1 et un 1 + 1 X ,vousmenvoyezunpetitcourriere´lectronique,et jessayeraidelefairerentrerdanslesch´emag´en´eral. Avantdeparlerdunethe´oriege´ne´rale,jevaiscommencerpartroisexemples di´erents. assez
Premier exemple : Valeurs de ζ (2 n ) En1734,Eulerad´emontr´eunthe´or`emetre`sce´l`ebre,etenmˆemetempsare´solu unprobl`emequimˆemea`le´poquedataitdeplusde50ans,leprobl`emedeBaˆle,quandilre´ussit`a´evaluerlesnombresquelonnotemaintenant ζ (2) = X n 1 2  ζ (4) = X n 1 4 etc... n =1 n =1 ( ζ ( s )=fonctionzeˆtadeRiemannouplutoˆtdEuler).Ilmontraque ζ (2) = π 6 2  ζ (4) = π 9 4 0 etc... 1
Jevoudraiscommencepard´em¸a,maisjesuisbeaucoupmoinsfort r ontrer c qu’Euler, et je vais donc remplacer le nombre π par le nombre P de´ni comme P := p 6 ζ (2) cequirendlepremierthe´ore`meplusoumoinstrivial,puisquejaid´ej`alidentite´ (2) P 2 ζ =6 ou` P pourraitparexempleˆetree´gal`a π .Maismaintenantjevaisd´emontrerque ζ (4) = P 90 4 cest-a`-direquejevaismontrerunerelationentrelesdeuxnombres ζ (2) et ζ (4), sansavoird´etermin´eenfaitnilunnilautre. ¸Casefaitdelamani`eresuivante.Jeconside`relafonctionrationnellededeux variables,homog`enededegre´ 4,de´niepar f ( m n ) = m 2 n 3 + m 2 1 n 2 + m 2 3 n(1) Ilnefautpasmedemanderpourquoicettefonction-l`a.Jaichoisilescoecients detellemanie`requecequejediraiapr`essoitjuste.Onconstateque f ( m n ) f ( m n + m ) f ( m + n n ) = m 2 2 n 2 (2) cequiestunexerciced´ecole,etvousvoyezquequelquechosedenontrivialsest de´ja`pass´e:lemembredegaucheappartientaprioria` Z [ m 1  n 1 ( m + n ) 1 ], et ilsestproduitunpetitmiraclepourquelespˆolesen m = n s’en aillent et qu’on aitunpolynoˆmeen1 m et 1 n seulement.Cestbiensuˆrla`laraisonpourlechoix des coefficients dans (1). Jeconside`remaintenantlasommationde(2)surtouslesentiers m et n positifs (ausensanglaisdumot,cest-`a-direstrictementpositifs),etjevoisqua`droiteon a 2 ζ (2) 2 puisquonadeuxsommationsinde´pendantessur m et sur n . A gauche parcontreonpeut´ecrire X f ( m n ) X f ( m m + n ) X f ( m + n n ) mn> 0 mn> 0 mn> 0 = X f ( m n ) X f ( m n ) X f ( m n ) mn> 0 n>m> 0 m>n> 0 (enrempla¸cant m + n par n dansladeuxi`emeetpar m danslatroisi`emesomme respectivement), et puisqu’on a pour n’importe quels deux entiers m et n , soit n > m , soit m > n , soit m = n , on trouve pour le membre de gauche X f ( n n ) = X n 5 4 = 5 ζ (4) n> 0 n =1 2
ce que donne bien la relation 5 ζ (4) = 2 ζ (2) 2 quonvoulaitde´montrer. Delamˆememanie`re,sijechoisisunnombrepair k = 4, 6, 8,    etquejede´nis un autre f ,homoge`nededegre´ k , par 1 f ( m n ) = mn 2 k 1 + m 2 n k 2 +    + m k 1 2 n 2 + m k 2 1 n(3) alors,avecuncalculpresqueaussie´l´ementairequedansl´equation(2)onconstate quelamemedie´rencesesimplieetquona ˆ f ( m n ) f ( m m + n ) f ( m + n n ) = 2 X m j n 1 k j 0 <j<k j pair (Dans le cas precedent j neprenaitquelaseulevaleur2.)Lemeˆmeraisonnement ´ ´ qu’avant donne cette fois ( k + 1) ζ ( k ) = X f ( n n ) = 2 X ζ ( j ) ζ ( k j ) ( k 4 pair) n> 0 0 <j<k j pair et ceci montre par r´ e ζ ( k ) Q P k pour tout k pair. ecurrence qu Voil`adoncunepreuveduth´eor`emedEuler,etenmˆemetempsunepremie`re applicationdelide´eindiqu´eedefac¸onsche´matiqueparl´equation(*).Bon,vous allezprotesterquejavaisparl´ede X , X + 1 et 1 + 1 X et qu’il n’y en a pas ici. Mais la fonction f e´tanthomog`ene,onpeutsansperdregrande-choselaremplacer parlafonctionduneseulevariablede´niepar F ( X ) = f ( X 1) = X 2+ X 1 2 + X 2 3 (4) Lafonctionded´epart f ( m n )se´critalorspar f ( m n ) = n 4 F ( mn )etlidentite´ (2)e´quivauta ` F ( X ) ( X 1+1) 4 F XX + 1 F (1 + X ) = X 2 2 (5) ou bien (puisque f estsym´etriqueetparconse´quent F ( X ) = X 4 F (1 X ) ) F X = F 1 + X + X 4 F 1 + 1 X + 2 X 2 cequiamaintenantbienlaformege´n´eralede´critedans(*).
Deuxie`meexemple:Fonctioncotangente Ledeuxi`emeexempleestencoreplusel´ementairequelepremier.Onsaitquon ´ a la loi d’addition de la cotangente, qui dit que cot X cot Y = cot X cot( X + Y ) + cot Y cot( X + Y ) + 1 3
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