Quelques modeles probabilistes en arithmetique

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Quelques modeles probabilistes en arithmetique Gerald Tenenbaum Paris VI-VII, 2/5/2006

  • loi vers la loi de poisson-dirichlet

  • theorie analytique moderne

  • vecteur aleatoire sur ?n

  • equidistribuees de loi uniforme

  • entiers cribles

  • constructions de lpd

  • dvj vj

  • probabilite uniforme


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Quelques
mod`eles
probabilistesenarithm´etique
G´erald
Tenenbaum
Paris
VI-VII,
2/5/2006
– 1 –
1.Entiersfriables,entierscribl´es
Pour n > 1,
P + ( n ) := max { p : p premier , p | n } , P ( n ) := min { p : p premier , p | n } .
Convention P + (1) = 1, P (1) = . Les entiers y -friables sont les entiers n tels que P + ( n ) y . Les entiers n tels que P ( n ) > y sontlesentierscribl´es. Les entiers friables interviennent : en cryptographie en algorithmique danslam´ethodeducercle enth´eorieprobabilistedesnombres(mod`eledeKubilius) enthe´orieanalytiquedesnombres(preuvedeDaboussiduth´eore`me des nombres premiers).
– 2 –
Danslath´eorieanalytiquemoderne,lesensemblesdentiers
S ( x, y ) := { a x : P + ( a ) y } , T ( x, y ) := { b x : P ( b ) > y } ,
jouentdesrˆolesdeplusenplusimportants. On a en effet la d´ecomposition canonique
n = ab avec P + ( a ) y, P ( b ) > y.
Heuristique : a se comporte essentiellement comme un entier ordinaire , alors que b posse`delescaract´eristiquesdun nombre premier : S ( x, y ) mode`lede { n x } , T ( x, y ) mod`elede { p x } . L´etudedescardinaux
Ψ( x, y ) := | S ( x, y ) | , Φ( x, y ) = | T ( x, y ) |
est´evidemmentessentielledanscecontexte.
2. Entiers friables
– 3 –
Dickman (1930), de Bruijn (1951, 1966), Hildebrand (1986), Hildebrand– Tenenbaum (1986), Saias (1989).
Fonction de Dickman :
( u ) := 1 (0 u 1), u ( u ) + ( u 1) = 0 ( u > 1).
Dickman (1930) : Ψ( x, y ) x ( u ) ( x = y u , y → ∞ ) . Si { U j } j =1 est une suite de v.a.i.e´quidistribu´eesdeloiuniformesur[0 , 1] , e γ ( u ) est la densit´e de probabilit´es de
Y := U 1 + U 1 U 2 + U 1 U 2 U 3 + · · ·
– 4 – Billingsley (1972) : si l’on d´esigne par P 1 ( m ) > P 2 ( m ) > · · · > P ω ( m ) la suited´ecroissantedesfacteurspremiersde m , alors loglo P g 1 ( nm ) , . . . , log P lo ω ( g m n ) ( m ) , consid´er´ecommeunvecteural´eatoiresur n := { m : 1 m n } muni de la probabilit´e uniforme ν n , converge en loi vers la loi de Poisson-Dirichlet (LPD) d `tre 1. e parame L’une des constructions de LPD(1) est obtenue en consid´erant X 1 = U 1 , X 2 := (1 U 1 ) U 2 , X 3 := (1 U 1 )(1 U 2 ) U 3 , . . . de sorte que j 1 X j = 1 ps. ´ Le rearrangement d´ecroissant ( X σ (1) , X σ (2) , . . . ) suit la loi LP D (1). Si ( V 1 , V 2 , . . . ) est un processus de loi LPD(1), alors P ( V 1 > α 1 , . . . , V k > α k ) = >v k α j < · ( ·· 1 < vj 1 k ) 1 v kj v j jq 1 d vv jj . v j =
– 5 –
Hildebrand (1986) : Ψ( x, y ) = x ( u ) 1 + O logl(o u g+ y 1)  pour x = y u , et
( H ε ) exp { (log 2 x ) 5 / 3+ ε } y x. GT (2000) Pour tous ε > 0, H > 0 , il existe K H > 0 et un nombre fini de formes lin´eaires affines α → Λ j ( α ) (1 j R ) telles que, si
1 j R m , Λ in j ( α ) > 0 Λ j ( α ) > K H lloogg 2 nn,α k > (log 2 lo n g) 5 n / 3+ ε
alors ν n m : P j ( m ) > n α j (1 j k ) = 0 h H (l ϕ o h g( nα )) h + O ( α k log1 n ) H +1
o`ules ϕ h sont continues sauf sur j { Λ j ( α ) = 0 } . De plus, pour k 2, ν n m : P j ( m ) > n α j (1 j k ) = P V j > α j (1 j k ) + O (logl1o / g αn k ) k 2
uniform´ement pour α = ( α 1 , . . . , α k ) ]0 , 1] k , n 2 .
ν)nv(1kv2go)v(1+l(v)rk)ykPm()u1r=(klogy+O1yn(2gol(=:u,)ygol/)nduenEt.´ltsu´enrtaedcMuClryeteaHfner(1989)restreatnisacu.2=kranOu)2(γ/=eO(u+u21/<ynn)KH(log).Sir=(k)ykPm(ν,n)((ukjHrj1+u))ygol(1O+j)ygol
Application.
H+1.
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r k ( v ) := 1 ϕ 0 (0 , 0 , . . . , 0 , 1 /v ) = P ( V k v ) . On a pour chaque k 2 fix´ e
– 7 –
3.Entierscribl´es ´Φ( x, y ) = nombre des entiers restants apr`es application du crible dEratosth`ene. (GT 1990) : On a pour x y 2, x = y u , Φ( x, y ) = x   1 1 p + O x e u/ 2 . p y Remarque. Terme principal probabiliste faux si u estborn´e! Si ω est la fonction de Buchstab , solution de { ( u ) } = ω ( u 1) telle que ( u ) = 1 pour 1 u 2 , on peut montrer (classique) que Φ( x, y ) ( u ) y y + O (log xy ) 2 ( x y 2) = log (ce qui implique lim u →∞ ω ( u ) = e γ ) et (GT, 1995) Φ( x, y ) = e γp y 1 p 1 ( ( u ) y ) 1 + O elog u/ y 3 
( x 2 y 5) .
4. Mod`ele de Kubilius
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n N , 1 y n . Espaceprobabilis´e (Ω n , T y , ν n ) : n := { 1 , 2 , . . . , n } , ν n = mesure empirique uniforme, T y :=tribudes´ev´enementsden de´nispardesconditionsdedivisibilit´e relatives aux p j avec p y , j 0.
E T
y ⇔ ∃ A S ( n, y ) : E = a A E a .
ou E a := { m n : m = ab, P ( b ) > y } . ` Donc
ν n ( E a ) = n 1Φ na,y
( P + ( a ) y ) .
– 9 –
Mode`leprobabiliste de (Ω n , ν n , T y ) : donn´ee , sur un ensemble abstrait Ω, de π ( y ) partitions Ω = j 0 ω p,j ( p y ) et de la tribu T y engendr´eeparlesintersectionsniesdensembles ω p,j . On mime alors E a , pour P + ( a ) y , par E a := p j a ω p,j et l’on compare ν n `a lamesuredeprobabilit´e P y d´eniesurpar P y ( ω p,j ) = (1 1 /p ) p j avec la condition que ω p,j et ω q,k sont ind´ependants si p = q . On peut donc associer`atoutepartie T y -mesurable E de Ω n une partie T y -mesurable E de Ω par E := E a . E a E La jauge de Kubilius K ( n, y ) mesure l’´ecart entre les espaces probabilis´es (Ω n , ν n , T y ) et (Ω , P y , T y ). Elle est d´efinie par K ( n, y ) := sup | ν n ( E ) P y ( E ) | . E T y
– 10 –
 Lemme fondamental  dumod`eledeKubilius[Kubilius(1956),BarbanVinogradov (1964), Elliott (1979)] :
K ( n, y ) u u/ 8 + n 1 / 15 ( n = y u ) .
Am´lioration possible avec les approximations pour Φ( x, y ) et Ψ( x, y ) e issues de la m´ethode du col. Soit H ( u ) := 21 | ω ( v ) e γ | ( u v ) d v + 12 ( u ) . R Arratia et Stark (1997) : ( u 1) lim y →∞ K ( y u , y ) = H ( u ). On peut montrer facilement que H ( u ) = ( u )2 u + o ( u ) ( u → ∞ ) , donc H ( u ) tend tr`es vite vers 0 , en particulier H ( u ) u u ( u 1) .
(GT 1999) : ( ε > 0) K ( n, y ) ε u u + n 1+ ε ( n = y u ) K ( n, y ) = H ( u ) 1 + O lloogg 2 yy  exp { (log n ) 2 / 5+ ε } y n .
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