Quelques outils mathématiques utiles au cours de physique

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1 Quelques outils mathématiques utiles au cours de physique Arithmétique élémentaire Associativité et commutativité des opérations fondamentales Addition et soustraction Pour additionner ou soustraire plusieurs nombres, il est toujours permis : - de réarranger l'ordre des termes (commutativité) ; - d'effectuer des totaux partiels (associativité). Exemple : 12 – 15 + 10 + 8 – 5 = 12 + 8 + 10 – 15 – 5 (commutativité) = 20 + 10 – 20 (associativité) = 20 – 20 + 10 (commutativité) = 10 (associativité) Multiplication et division Pour multiplier ou diviser plusieurs nombres, il est toujours permis : - de réarranger l'ordre des
  • lettre représentant l'inconnue
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Quelques outils mathématiques
utiles au cours de physique
Arithmétique élémentaire
Associativité et commutativité des opérations
fondamentales
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire plusieurs nombres, il est toujours permis :
- de réarranger l’ordre des termes (commutativité) ;
- d’effectuer des totaux partiels (associativité).
Exemple :
12 – 15 + 10 + 8 – 5 = 12 + 8 + 10 – 15 – 5 (commutativité)
= 20 + 10 – 20 (associativité)
= 20 – 20 + 10
= 10
Multiplication et division
Pour multiplier ou diviser plusieurs nombres, il est toujours permis :
- de réarranger l’ordre des facteurs (commutativité) ;
- d’effectuer des produits partiels (associativité).
Exemple :
18××15 40 18××15 40
==235××=30 .
8××9 5 958× ×
Priorité de × et : sur + et –
Dans un calcul où n’apparaît aucune parenthèse, il faut en priorité effectuer les multiplication et
les divisions ; on procède ensuite aux additions et soustractions.
Exemple :
15 + 3 × 5 × 2 – 8 : 4 = 43.
Toutes les calculatrices ne respectent pas ces règles de l’arithmétique. Testez votre machine avec
cet exemple.
1 Utilisation des parenthèses
Les parenthèses s’utilisent pour modifier l’ordre de priorité, par exemple forcer l’opération
préalable d’une addition ou d’une soustraction avant une multiplication ou une division.
Exemples :
1 + 1 × 2 = ? (3) d’abord × puis +
1 + (1 × 2) = ? (3) parenthèses inutiles
(1 + 1) × 2 = ? (4) d’abord + car parenthèses puis ×
3 × 5 – 2 × 6 = ? (3) d’abord les × puis –
3 × (5 – 2) ×(54) d’abord – car parenthèses puis les ×
Toutes les calculatrices ne disposent pas de parenthèses. Il faut dans ce cas pallier ses carences
en effectuant les opérations dans un ordre éventuellement différent afin de respecter les règles
mathématiques pour obtenir le résultat correct.
Calculs avec des fractions
Addition et soustraction
Pour additionner et/ou soustraire plusieurs fractions, il faut préalablement les réduire au même
dénominateur.
Multiplication
Pour multiplier plusieurs fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
Inversion
Pour inverser une fraction, on permute son numérateur et son dénominateur. Si le dénominateur
est nul, la fraction n’a pas de sens.
Division
Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par la seconde inversée.
Si nécessaire, on peut toujours transformer un nombre en une fraction en le divisant par 1.
On veillera dans tous les cas à aligner scrupuleusement les signes = avec la barre de fraction
« principale », sans quoi le résultat s’en trouve modifié.
Exemples :
44 4
41 4 4431277 1 == × = mais == × = .
3 7737321 17 7
1 33
Pour éviter ce genre de confusion, lorsqu’on écrit une fraction on veillera à écrire d’abord la barre
de fraction au même niveau que le signe = et ensuite seulement le numérateur et le
dénominateur.
2 Proportionnalité
Grandeurs directement proportionnelles
Deux grandeurs sont directement proportionnelles entre elles si, lorsque la valeur de l’une est
multipliée (ou divisée) par un nombre, la valeur de l’autre est multipliée (ou divisée) par le même
nombre. Deux grandeurs directement proportionnelles sont donc multiples l’une de l’autre.
Si y est directement proportionnel à x (on note y ∝ x), on a :
y = k x
et, par conséquent, leur quotient est un nombre invariable :
y
= k .
x
Le nombre k est la constante de proportionnalité entre x et y.
Une relation de proportionnalité directe entre deux grandeurs se manifeste par le fait que le
graphique de l’une en fonction de l’autre se présente sous la forme d’une droite qui passe par
l’origine. La relation qui les lie est un cas particulier d’une relation linéaire.
Exemple : la masse m d’un bloc de fer est directement proportionnelle à son volume V ; la
constante de proportionnalité est la masse volumique ρ du fer :
m = ρ V.
Grandeurs inversement proportionnelles
Deux grandeurs sont inversement proportionnelles entre elles si, lorsque la valeur de l’une est
multipliée (ou divisée) par un nombre, la valeur de l’autre est divisée (ou multipliée) par le même
nombre. Deux grandeurs inversement proportionnelles sont donc l’une un multiple de l’inverse de
l’autre.
Si y est inversement proportionnel à x, on a :
1
yk=
x
et, par conséquent, leur produit est un nombre invariable :
x y = k .
Une relation de proportionnalité inverse entre deux grandeurs n’est pas immédiatement déce-
lable sur un graphique de l’une en fonction de l’autre.
Exemple : la durée ∆t nécessaire pour parcourir un trajet de longueur l est d’autant plus petite
que la vitesse v du mouvement est grande ; ∆t est inversement proportionnel à v :
l
∆t = .
v
3 Règles de trois
Grandeurs directement proportionnelles
Lorsqu’on a affaire à des grandeurs directement proportionnelles, il faut les multiplier ou les
diviser en même temps.
Exemple. Sachant qu’une solution doit être réalisée en dissolvant 25 g de sel dans 3 l d’eau,
combien de sel devra-t-on utiliser pour préparer 5 l de solution ?
3 litres : 25 g
25 g
1 litre : (3 fois moins de solution, donc 3 fois moins de sel)
3
25 g × 5
5 litres : (5 fois plus de solution, donc 5 fois plus de sel).
3
Grandeurs inversement proportionnelles
Lorsqu’on a affaire à des grandeurs inversement proportionnelles, il faut diviser l’une si on
multiplie l’autre et vice versa.
Exemple. Une construction est exécutée en 25 heures par 3 ouvriers. Combien de temps
durerait-elle si 5 ouvriers y travaillaient ?
3 ouvriers : 25 h
1 ouvrier : 25 h × 3 (3 fois moins d’ouvriers donc 3 fois plus de temps)
25 h × 3
5 ouvriers : (5 fois plus d’ouvriers donc 5 fois moins de temps).
5
Produits remarquables
22 2()ab±=a± 2ab+b
33 2 2 3()ab±=a±33ab+ ab±b

22ab−=()a−b(a+b)
33 2 2ab±=()a±b(a ∓ab+b)
4 Aires et volumes
Surfaces
2Carré : A = c (c = côté)
Rectangle : A = b h (b = base ; h = hauteur)
Parallélogramme : A = b hbh
bh
Triangle : A = (b = base ; h = hauteur)
2
2πd2Cercle : Ar==π (r = rayon, d = diamètre)
4
22Sphère : Ar==4ππd (r = rayon, d
Volumes
3Cube : V = a (a = arête)
Parallélépipède rectangle : V = L l h (L = longueur, l = largeur, h = hauteur)
V = l h p (l = largeur, h = hauteur, p = profondeur)
4 133Sphère : Vr==ππd (r = rayon, d = diamètre)
3 6
Écriture des nombres
Il n’existe que dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ils servent à écrire les nombres. Les chiffres
sont aux nombres ce que les lettres sont aux mots.
Exemples :
0,0041 : nombre de 5 chiffres
7 : nombre de 1 chiffre.
Le signe décimal se marque par un point ou une virgule.
Par souci de lisibilité, dans les nombres comportant beaucoup de chiffres, on groupera ceux-ci par
trois à partir du signe décimal, en les séparant d’un espace exclusivement.
Exemples :
incorrect admis préféré
1.234.567 1234567 1 234 567
0,654321 0,654 321 1.234,55 1234.55 1 234,55
5 Notation scientifique
Terminologie
nDans l’expression a × 10 :
a est le facteur
10 est la base
n est l’exposant
n 10 est la puissance de 10
Règles fondamentales
mn m+n
10×=10 10
m10 mn−= 10
n10
nm mn ⋅10 = 10 di
1−m10 =
m10
1 n= 10
−n10
Règles de calcul
n n na⋅10 + b⋅10 = (a + b)⋅10 (même puissance, factorisation)
m n m + na⋅10 × b⋅10 = (a ⋅ b)⋅10 (produit de puissances)
⋅m k k m k(a⋅10 ) = a ⋅10 (puissance de puissance)
–n na⋅10 = a / 10 (puissance négative = inverse)
Ces règles sont valables lorsque les exposants prennent n’importe quelle valeur réelle. En
pratique, les exposants seront presque toujours des nombres entiers (positifs ou négatifs).
Remarque : les racines
12/xx= racine carrée = puissance 1/2
3 13/xx= racine cubique = puissance 1/3
6 Transformation des notations scientifiques - décimales
Cette transformation n’est immédiate que si les exposants sont des nombres entiers. En pratique,
retenons que l’exposant (en valeur absolue) indique toujours le nombre de zéros à écrire.
1 –110 = 10 10 = 0,1
2 –210 = 100 10 = 0,01
3 –310 = 1 000 10 = 0,001
4 –410 = 10 000 10 = 0,000 1
5 –510 = 100 000 10 = 0,000 01
Exposant nul
0On a toujours : 10 = 1
Exposant positif
L’exposant indique le nombre de zéros à écrire à droite du chiffre 1. Le signe décimal éventuel est
écrit à droite du zéro le plus à droite.
Exemples :
5 510 = 100 000 3,14159 × 10 = 314 159
6 610 = 1 000 000 0,015 × 10 = 15 000
Exposant négatif
L’exposant (en valeur absolue) indique le nombre de zéros à écrire à gauche du chiffre 1. Le signe
décimal est écrit juste après le zéro le plus à gauche.
Exemples :
–4 –410 = 0,000 1 12,566 × 10 = 0,001 256 6
–6 –610 = 0,000 001 0,015 × 10 = 0,000 000 015
Préfixes usuels
Les puissances de 10 sont utilisées pour former des multiples et sous-multiples décimaux d’uni-
tés. À certaines d’entre elles correspond un préfixe SI (système international d’unités) utilisé
pour former le nom de ces multiples et sous-multiples.

Facteur Préfixe Symbole Signification Facteur Préfixe Symbole Signification
1 –110 déca da dizaine 10 déci d dixième
2 –210 hecto h centaine 10 centi c centième
3 –310 kilo k millier 10 milli m millième
6 –610 méga M million 10 micro µ millionième
9 –910 giga G milliard 10 nano n milliardième
12 –1210 téra T billion 10 pico p (inusité)
15 –1510 peta P 10 femto f
18 –1810 exa E trillion 10 atto a
9 12Attention : dans un texte américain, « billion » signifie 10 , « trillion » signifie 10 , etc. !
7 Machines à calculer
Les calculatrices dites « scientifiques » permettent souvent d’effectuer des calculs avec des
nombres comportant des puissances de 10. La lecture du mode d’emploi de la machine est
indispensable, un modèle n’étant pas l’autre. À titre général, on peut attirer l’attention sur
quelques points.
31°) Les machines n’affichent en général pas la base (10). Ainsi, le nombre 2 × 10 (= 2 000) est
affiché comme suit :
32
3 ce qu’il ne faut évidemment pas interpréter comme 2 au cube (2 = 8) !
32°) Pour introduire un nombre au clavier (2 × 10 ), on tape d’abord le facteur (2) suivi de la
touche d’introduction de l’exposant de 10 (EEX, EXP, EE, etc. selon le modèle de machine)
suivi de l’exposant (3).
43°) Si le facteur vaut 1 (il n’est alors pas nécessairement écrit), comme dans 10 , taper 1 — et
pas 10 —, suivi de la touche EEX, EXP, EE ou autre et de l’exposant. Certains modèles de
calculatrices admettent que le 1 soit omis. Cette erreur de manipulation est à l’origine d’un
facteur 10 en excès dans les résultats de nombreux élèves (et d’un facteur 10 en défaut dans
4 4leur cote...). En effet, s’il faut introduire 10 (sous-entendu 1 × 10 ), les élèves commettent
4l’erreur de taper 10 EE 4, ce que la machine interprète comme 10 × 10 .
4°) Si le facteur est négatif, on modifie son signe avec une touche spéciale (+/–, CHS, etc.) et
surtout pas avec la touche – qui s’utilise pour calculer une différence.
5°) Si l’exposant est négatif, on modifie son signe avec la même touche spéciale, après l’avoir
introduit (certaines machines autorisent de le faire avant).
x6°) Il est inutile d’employer une fonction telle que y avec y égal à 10.
À défaut de posséder une calculatrice scientifique qui permet l’usage de puissances de 10, on
évitera de pallier ce manque en complétant par des zéros. D’abord, il ne sera pas toujours possible
d’introduire de grands nombres. Ensuite, le résultat risque de dépasser la capacité d’affichage de
la calculatrice.
Il sera bien plus intelligent, économique et efficace de séparer d’une part le calcul des produits et
quotients (effectués à la machine) des facteurs et d’autre part le calcul des exposants de 10
(effectués mentalement).
Exemple : calculer en mètres la longueur d’une année de lumière (distance parcourue par la
lumière dans le vide, à la vitesse de 299 792 458 m/s, en un an, c’est-à-dire 31 557 600 s).
On trouve cette distance en multipliant ces deux nombres (vitesse × durée). Mais une machine de
base (quatre opérations) générera une erreur de calcul et ne permettra peut-être même pas
d’introduire tous les chiffres de la vitesse. On procédera donc par exemple comme suit :
9299 792 458 = 0,299 792 458 × 10
631 557 600 = 31,5576 × 10
d’où
9 6299 792 458 × 31 557 600 = (0,299 792 458 × 10 ) × (31,5576 × 10) (parenthèses superflues)
9 6 × 31,5576) × (10 × 10 ) (parenthèses superflues)
15 = 9,46073... × 10 m
8 Autre exemple : calculer en newtons la force d’attraction exercée par le Soleil sur la Terre. Il faut
30 24connaître la masse du Soleil M = 1,99 × 10 kg, la masse de la Terre M = 5,97 × 10 kg, la S T
9distance qui les sépare d = 149,6 × 10 m et la constante de la gravitation universelle
–11 2 2G = 6,672 × 10 Nm /kg . On obtient la force en utilisant la loi de la gravitation universelle de
Newton :
MM ⋅
STFG=
2d

30 241,99××10 5,97×10−11=×6,672 10×
92(149,6 ×10 )
À nouveau, on peut séparer les opérations a effectuer sur les nombres décimaux et sur les
puissances. On les groupe de la manière suivante (sans oublier que la carré au dénominateur
9 porte sur 149,6 et 10 :
6,672××1,99 5,97 −+11 30+24−2×9F=×10
2(149,6)
Le calcul de la fraction s’opère sans difficulté avec n’importe quelle calculatrice, même non
scientifique, et le calcul de l’exposant s’effectue mentalement. On trouve finalement que cette
25 21 force vaut 0,003 542 × 10 N, soit 35,42 × 10 N.
Résolution d’équations
En mathématique, les inconnues s’appellent habituellement x, y ou z. En physique, chaque
grandeur est représentée par une lettre bien précise : m (masse), v (vitesse), x (coordonnée), F
(force), etc. Selon le cas, la lettre représentant l’inconnue sera donc m, v, x, F, etc. Remplacer
toutes les inconnues par x donnerait lieu à une confusion inextricable.
Équation linéaire à une inconnue
L’inconnue apparaît une seule fois
Isoler l’inconnue (transformation de formule).
À ce propos, il est utile d’insister sur le fait qu’il faudrait proscrire les multiples « trucs » et
« recettes » permettant de résoudre (transformer) ces équations :
- triangles,
U - un terme qui change de membre change de signe,
- un facteur qui change de membre s’inverse... R I
L’expérience à montré que de nombreux élèves les appliquent à tort et à travers.

En outre, il faudrait autant de trucs qu’il y a de façons de transformer une équa-
tion. On n’en sort pas ! Pour vous en convaincre, testez-en l’efficacité en cherchant à extraire d de
b b
l’équation a . Si vous ne trouvez pas dc= =− , alors le conseil suivant vous concerne.
cd− a
Suggestion : utiliser une méthode unique qui fonctionne toujours. La méthode est simple : effec-
tuer la même opération (permise) sur les deux membres de l’équation, pour isoler l’inconnue.
9 b
Exemple : résolution de l’équation a = en d.
cd−
bPoint de départ. On veut isoler d (avoir d seul et a =
cd−au numérateur).
bOn multiplie les deux membres par le dénomina- ac()−=d b ac()−=d (cd−)
cd−teur (c – d) pour pouvoir simplifier et faire
apparaître l’inconnue au numérateur.
11 bOn divise les deux membres par a pour pouvoir ac()−=d b cd−=
a a asimplifier et isoler progressivement l’inconnue.
b b
On soustrait c aux deux membres pour pouvoir cd−−c= − c −=d − c
a asimplifier et isoler l’inconnue
bbF IOn change les deux membres de signe. dc=− −−()d =− − c G JH K aa

L’inconnue apparaît plus d’une fois
D’abord factoriser l’inconnue (la mettre en évidence), ensuite l’isoler (cas précédent).
Système de deux équations linéaires à deux inconnues
Résolution par substitution :
1°) Utiliser l’une des équations pour exprimer une inconnue (au choix) en fonction de l’autre.
2°) Dans la seconde équation, remplacer cette inconnue par son expression obtenue au point
précédent.
Équation du second degré
Soit à résoudre l’équation
2
ax++bx c= 0 .
où x est l’inconnue. On calcule d’abord le discriminant ∆ :
2∆=ba− 4c .
Si ∆ est négatif, l’équation n’a pas de solution.
Si ∆ est positif ou nul, l’équation possède deux solutions (confondues si ∆ est nul) :
x U −±b ∆1 = . V
x a22W
10

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