Relations d'ordre Vocabulaire

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Relations d'ordre. Vocabulaire 17 decembre 2010 1. Definition. Exemples Definition 1 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est un sous-ensemble G de E?E. On note xRy si (x, y) ? G. Le sous-ensemble G est parfois appele graphe. Cette terminologie de graphe est source de confusion : on evitera de l'employer et on la reservera aux fonctions ou applications. Exemple : le graphe d'une application de E dans E est une relation binaire sur E. Nous concernant, nous nous interessons a des relations binaires particulieres : les relations d'ordre. Definition 2 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est une relation d'ordre sur E si elle verifie : 1. ?x ? E, xRx (reflexivite) 2. ?(x, y) ? E2, (xRy et yRx) ? x = y (antisymetrie) 3. ?(x, y, z) ? E3, (xRy et yRz) ? xRz (transitivite) On dit que le couple (E,R) est un ensemble ordonne. S'il n'y pas de confusion possible, on dit que E est ordonne (sous-entendu par la relation d'ordre R). Remarque : Il est d'usage de noter une relation d'ordre ≤ au lieu de R.

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  • fac¸on

  • ordre produit

  • r2 defini

  • definition analogue

  • relation d'ordre

  • anneaux z


Publié le : mercredi 1 décembre 2010
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Relations d’ordre. Vocabulaire
17d´ecembre2010
1.D´enition.Exemples D´enition1SoitEun ensemble non vide. Unerelation binaireRsurEest un sous-ensembleGdeE×E. On notexRysi(x, y)G. Le sous-ensembleGartpisfo´lepeasepgraphe. Cette terminologie degrapheterealnose´revretevideraemloyplraauxfonctionsecruostse´eonn:iousnfcode ou applications. Exemple :le graphe d’une application deEdansEest une relation binaire surE. Nousconcernant,nousnousinte´ressonsa`desrelationsbinairesparticulie`res:lesrelationsdordre.
D´enition2SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRsurEest unerelation d’ordresurEsi elleve´rie: 1.xE, xRxe´)(r´eexivit 2 2.(x, y)E ,(xRyetyRx)x=yysitte´m)eiran( 3 3.(x, y, z)E ,(xRyetyRz)xRznsit(tra)e´tivi
On dit que le couple (E,R) est unoedrno´nesnmelbe. S’il n’y pas de confusion possible, on dit queEest ordonn´e(sous-entenduparlarelationdordreR). Remarque :Il est d’usage de noter une relation d’ordreau lieu deRlarge´ottuua.Onprendragardem fait quents:uivalesssembseneuolrllpetieuabehdrordontilaeralengise´dN,Z,QetR.
De´nition3SoitEun ensemble non vide. Une relation d’ordreesttotalesi
2 (x, y)E , xyouyx.
On dit que le couple(E,)nn´eordomenttale.bmesoteltsenenu
Une relation d’ordre qui n’est pas totale estpartielle. Nousreviendronsdefa¸conplusd´etaille´esurlarelationdordrehabituellepourlensembleR.Avant cela, donnons quelques exemples de relations d’ordre partiel et total. Exemple : 1. L’ensembleNnemelatotelbmesnnetuesleelsueudre.onn´torditnodroedaleralmuni 2. LesanneauxZetQisindsumusrellueonesestdraletalednoidroentordonn´es.Ainneesbmeltstolame 1 4 oneriereuisilut.´velruoPnte:ortampatlacopoirenrpiepme´´tladavecit´eibiltl-ialumnoteidit 3 5 plication. 3. LecorpsRrdton´onalotenemiA.eisndreusueltiondorsnmelbteelseutenaleraledinumeπpuisque 2e <3πeiraitl(pai`ereentv´eredeeE(e) = 2, celle deπierv´eE(π) = 3). 4. SoitEun ensemble non vide. La relation d’inclusiondansErsurer´deodnidtionaetruelnP(E). Enge´ne´ral,ilsagitdunordrepartiel.(Q.A quelle condition surEest-elle totale?)
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PCSI B
Mathe´matiques
Lyce´eBrizeux-anne´e2010-2011
5.Larelationdedivisibilit´esurNinpera:eets´deitaldnoutseereneltill.Edrorarep
n|m⇔ ∃kN:m=k n,
etn|mse lit«n divise m». (Q.letaoidnsnLraitilda´eivedibisZest-elle une relation d’ordre?) 6.Lordrealphabe´tiquesurlensembledesmotsdudictionnairedelalanguefran¸caiseestunordretotal. 2 7. L’ordreproduit surRinap´der
0 00 0 (x, y)R(x ,y)(xx)et(yy)
2 est une relation d’ordre partielle surR. 2 8.Lordrelexicographique(analogue`alordrealphab´etique)surRrpanied´
0 00 00 (x, y)lex(x ,y)(x < x)ou(x=xetyy)
est une relation d’ordre totale. n 9.Plusg´en´eralement,onde´nitsurRdeux relations d’ordre – l’ordre produit et l’ordre lexicographique – 2 defac¸onanalogue`acellesd´eniessurR.elatotednoceas,lleeltiartpese`ererimL.pa ´ Exercice.noitanibaleualerde´esqntspleecr´edesexpmruhccanutablirpoEtionreladredore´nrideuteneise (une relation d’ordre totale quand ceci apparaˆıt).
2.Pluspetit´el´ement.Plusgrande´le´ment Soit (E,´enndoor)leemnbusnenon vide. On dit queEpnedeuoss`spetplunet´lmetie´s’il existe mEtel que : xE, mx. Delameˆmefa¸con,onditqueEuenpso`sde´lep´dunlagrstnemes’il existeMEtel que : xE, xM. On dit alors quem, (resp.Mlee´emtnedtse)lpnuepsu(titsprelu.prasg)´ndE. Propri´et´e1bmelonvndioedrnon´eSiunense(E,)lpnuepsu´tite´lentmeposs`edem(resp. un plus grand e´l´ementM) alors celui-ci est unique.
Onpeutdoncparlerdupluspetit´el´ement(resp.duplusgrand´el´ement)deEsiEnpeapnOelr`sso.ede ´egalementdeminimumdanslepremiercas,demaximumdanslesecondcas. Notation.SiE(emtno,lnnetomeniplunpeust´ti´eelssopede`E). SiEposs`edeuleont,enargsulpnme´le´dn note max(E). Par extension, un sous-ensemble non videFde (E,drno´n(ensembleoentsilee´time´lulpntepsau)F,) aunpluspetit´ele´mentetonlenotemin(Flee´na´dn,toemtnx(´emasurgellpoprugoeuanaltioneni).D´F). Exemple : 11. Lesous-ensembleF={:nN}`sdeuemnxamimu`,asavoirosp1i,erpenl`ssopededeas.Parcont n minimum. 2. Unensemble fini (et non vide)Ed´el´emeplusgranmenetolatnt.eds`osepn´onrdtonutetitepsulpnue
3. Majorant.Minorant (E,e.n´onsnenusrudroelbme)dsi´etteeojuoeengrocn D´enition4SoitFun sous-ensemble non vide deE.mEest unminorantdeFsi xF, mx.
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SiFEntssopede`imnuaronmdansE,on dit queFestmniroe´(parm). Exemple :SiFme´eelt´pontnuede`ssitepsulpm, alorsmest un minorant deF.
Mise en garde. 1. SiFEonimtnar`essundepomec,-iuldeemtnlee´ul´ne´arg´enasenestpcinF. Il ne s’agit donc pas dupluspetite´l´ementdeF. Ainsi0est un minorant du sous-ensemble deRsuivant   1 :nN. n 1Par contre,06∈ {:nN}. n 2.Unsous-ensemblepeutnepasˆetreminor´e.Cestlecasde]− ∞,0]dansR. Onde´nitdemani`ereanalogueunmajorantdunensembleF. De´nition5SoitFun sous-ensemble non vide deE.MEest unmajorantdeFsi xF, xM.
SiFpedeuoss`narojamntM, on dit queFtmes(p´eorajraM). La mise en garde concernant les minorants reste bien entendue valable pour les majorants. Exercice.!Trouver des exemples aux mises en garde relatives aux majorants De´nition6Un sous-ensembleFdeEestobe´nrnliimss`itosfeaamtee´roe.r´jo Autrementdit,ilexistedese´l´ementsmetMdeEtels que : xE, mxM.
1Exemple :le sous-ensemble de{:nN}de´ernbolembseestunsous-enR. n Ilestminore´par0eparjor´etma1. Exercice.Soient(E,)lembdoorunseene´nnteFun sous-ensemble deETraduirdeferoume`ellsaadi quantie´eslesproprie´t´essuivantes: Ftseonime;r´ Fajtm´eore;s F;nre´tsobe F´e;inorpasmestn F;e´rojamsaptsen Fn´orsbpastene.
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