Relations d'ordre Vocabulaire

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Relations d'ordre. Vocabulaire 12 janvier 2010 1. Definition. Exemples Definition 1 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est un sous-ensemble G de E?E. On note xRy si (x, y) ? G. Le sous-ensemble G est parfois appele graphe. Cette terminologie de graphe est source de confusion : on evitera de l'employer et on la reservera aux fonctions ou applications. Exemple : le graphe d'une application de E dans E est une relation binaire sur E. Nous concernant, nous nous interessons a des relations binaires particulieres : les relations d'ordre. Definition 2 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est une relation d'ordre sur E si elle verifie : 1. ?x ? E, xRx (reflexivite) 2. ?(x, y) ? E2, (xRy et yRx) ? x = y (antisymetrie) 3. ?(x, y, z) ? E3, (xRy et yRz) ? xRz (transitivite) On dit que le couple (E,R) est un ensemble ordonne. S'il n'y pas de confusion possible, on dit que E est ordonne (sous-entendu par la relation d'ordre R). Remarque : Il est d'usage de noter une relation d'ordre ≤ au lieu de R.

  • meme fac¸on

  • fac¸on

  • ordre produit

  • r2 defini

  • definition analogue

  • relation d'ordre

  • anneaux z


Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Relations d’ordre. Vocabulaire
12 janvier 2010
1.De´nition.Exemples D´enition1SoitEun ensemble non vide. Unerelation binaireRsurEest un sous-ensembleGdeE×E. On notexRysi(x, y)G. Le sous-ensembleGeep´lfoarapistpesgraphe. Cette terminologie degraphenote´ralresearevrateldeplemeroyauxfonctionsedecruostsevi´eonn:iousnfco ou applications. Exemple :le graphe d’une application deEdansEest une relation binaire surE. Nousconcernant,nousnousinte´ressonsa`desrelationsbinairesparticuli`eres:lesrelationsdordre.
D´enition2SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRsurEest unerelation d’ordresurEsi elleve´rie: 1.xE, xRx)(r´eexivit´e 2 2.(x, y)E ,(xRyetyRx)x=y´mysirte()etian 3 3.(x, y, z)E ,(xRyetyRz)xRz)e´tiitivrans(t
On dit que le couple (E,R) est undreno´nesnmelboe. S’il n’y pas de confusion possible, on dit queEest ordonn´e(sous-entenduparlarelationdordreR). Remarque :Il est d’usage de noter une relation d’ordreau lieu deRrge´ottuuaO.nprendragardemal fait ques:vantssuimbleneeslrsepeuoeullitabehdrordontialeralengise´dN,Z,QetR.
De´nition3SoitEun ensemble non vide. Une relation d’ordreesttotalesi
2 (x, y)E , xyouyx.
On dit que le couple(E,)´e.donnntorlemeeelbmatotnutsesne
Une relation d’ordre qui n’est pas totale estpartielle. Nousreviendronsdefa¸conplusd´etaille´esurlarelationdordrehabituellepourlensembleR.Avant cela, donnons quelques exemples de relations d’ordre partiel et total. Exemple : 1. L’ensembleNotnemelatotelbmensnetuesleelsueunodrordaleralitmuniden´e.rdon 2. LesanneauxZetQdsleuminueuseslltdonenesleraoitaodnerdrtordonn´es.Ainsiesbmeltstolamene 1 4 utonerineeuisiloP.re´velrue:latantatibcompire´rppopmro´tieaddiecl´eavilit-iumtltealitno 3 5 plication. 3. LecorpsRonrde.n´emaltoensniAieusuelleondordrmelbtetoseutensnitaleraledinumeπpuisque 2e <3πl(eiteeparaerednti`erieev´E(e) = 2, celle deπeierv´E(π) = 3). 4. SoitEun ensemble non vide. La relation d’inclusiondansEdn´eunitelerrsurerdondioatP(E). Enge´ne´ral,ilsagitdunordrepartiel.(Q.A quelle condition surEest-elle totale?)
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5.Larelationdedivisibilit´esurNpera:ts´deinesnoitrodenutaler.Eeleellepdrtiar
n|m⇔ ∃kN:m=k n,
etn|mse lit«n divise m». (Q.taoidndeLrale´eitnsdaisivilibZest-elle une relation d’ordre?) 6.Lordrealphabe´tiquesurlensembledesmotsdudictionnairedelalanguefran¸caiseestunordretotal. 2 7. L’ordreproduit surRapreind´
0 00 0 (x, y)R(x ,y)(xx)et(yy)
2 est une relation d’ordre partielle surR. 2 8.Lordrelexicographique(analogue`alordrealphabe´tique)surRrpanied´
0 00 00 (x, y)lex(x ,y)(x < x)ou(x=xetyy)
est une relation d’ordre totale. n 9.Plusge´n´eralement,onde´nitsurRdeux relations d’ordre – l’ordre produit et l’ordre lexicographique – 2 defa¸conanalogue`acellesd´eniessurR.elatotednoecas,lleeltiartperseime`paerL. ´ Exercice.ibnorianeralitalntdeuesqr´sp´eecesexpmelhccanuedblirpourEtaondlatieordrneidee´enerseut (une relation d’ordre totale quand ceci apparaˆıt).
2.Pluspetit´el´ement.Plusgrande´l´ement Soit (E,´ennduonor)sleeemnbnon vide. On dit queEsopeuns`edetitluspptmenee´´ls’il existe mEtel que : xE, mx. Delamˆemefa¸con,onditqueEnpso`sdeueme´le´dntnepulgsars’il existeMEtel que : xE, xM. On dit alors quem, (resp.Me´emtned)enutssulpiteper(t.pspsglundrael)´E. Propri´et´e1elonvndioedrno´neSiunensemb(E,)sulpiteple´teme´ntposs`edeunm(resp. un plus grand e´l´ementM) alors celui-ci est unique.
Onpeutdoncparlerdupluspetit´el´ement(resp.duplusgrand´ele´ment)deEsiEeosnplrapede`snO.e e´galementdeminimumdanslepremiercas,demaximumdanslesecondcas. Notation.SiEtno,lnnetomeni(uspltipeelt´me´eope`ssnuedE). SiEposs`edeunpleont,dnargsulneme´le´ note max(E). Par extension, un sous-ensemble non videFde (E,no´n(eembleordtsilens´le´nemepsultite)npauF,) aunpluspetit´ele´mentetonlenotemin(Fe´em´dletoe´tnn,max(rgnalpsurueleuopalogonannitiD´e.)F). Exemple : 11. Lesous-ensembleF={:nN}deuemnxamimu`,saavoirs`osp1nli,sopede`ssapede.Parcontre n minimum. 2. Unensemble fini (et non vide)Eel´ementusgrand´neotlamet.toeueds`osepn´onrdlpnutetitepsulpn
3. Majorant.Minorant (E,e.n´mesnenusnodroelb´e)dgnsiuottruojcneeeero De´nition4SoitFun sous-ensemble non vide deE.mEest unminorantdeFsi xF, mx.
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SiFEpoe`ssnuedonimtnarmdansE,on dit queFestnirome´(parm). Exemple :SiFntme´eelposslpnuede`´titepsum, alorsmest un minorant deF.
Mise en garde. 1. SiFEarontnde`emiunsspomulecic-i,tnede´em´nlearulen´eeng´tpasnesF. Il ne s’agit donc pas dupluspetite´le´mentdeF. Ainsi0est un minorant du sous-ensemble deRsuivant   1 :nN. n 1Par contre,06∈ {:nN}. n 2.Unsous-ensemblepeutnepasˆetreminor´e.Cestlecasde]− ∞,0]dansR. Onde´nitdemani`ereanalogueunmajorantdunensembleF. De´nition5SoitFun sous-ensemble non vide deE.MEest unmajorantdeFsi xF, xM.
SiFposeunms`edtnarojaM, on dit queFajtmesar(p´eorM). La mise en garde concernant les minorants reste bien entendue valable pour les majorants. Exercice.!Trouver des exemples aux mises en garde relatives aux majorants De´nition6Un sous-ensembleFdeEestnrobe´rsoenliimfsa`itoojamtese´e.r´ Autrementdit,ilexistedese´l´ementsmetMdeEtels que : xE, mxM.
1Exemple :le sous-ensemble de{:nN}de´ernbolembestunsous-enseR. n Ilestminore´par0tearr´epmajo1. Exercice.Soient(E,)orlenndoenunmbsetee´Fun sous-ensemble deEraduire`Tferoumellsaadide quantie´eslespropri´et´essuivantes: Fimts´rone;e Foraj;´etmes Fe´;obnrets F;or´esminstpaneFn;e´rojamsaptseFe.n´orsbpasten
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