Remarques sur le cours 19 — le mardi 22 novembre 2011

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Calcul differentiel de plusieurs variables – Mat 2522 Remarques sur le cours 19 — le mardi 22 novembre 2011 Exemple 19.1. Calculer ∫ C y2 dx + x2 dy, ou C est la demi-ellipse superieure, x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ pi, parcourue dans sens contraire des aiguilles d'une montre. On a I = ∫ pi 0 b2 sin t · a(− sin t) dt + a2 cos2 t · b cos t dt = ∫ pi 0 ab2(− sin2 t) dt + ∫ pi 0 a2b cos3 t dt = ab2 [ cos t− 13
  • point terminal
  • courbe orientee
  • borne superieure variable
  • integrale curviligne de deuxieme espece
  • courbe γ
  • variete orientee de di- mension zero
  • fondmentale de l'analyse
  • application directe de la definition de l'integrale curviligne de deuxieme espece et du theoreme fondamental de l'analyse
  • deuxieme expression
  • theoreme
Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Calculdiff´erentieldeplusieursvariablesMat2522
Remarques sur le cours 19 — le mardi 22 novembre 2011
Exemple19.1.Calculer Z 2 2 y dx+x dy, C ou`Ce-llpiestsaledimure,seup´erie x=acost, y=bsint,0tπ, parcourue dans sens contraire des aiguilles d'une montre. On a Z π 2 22 I=bsinta(sint)dt+acostbcost dt 0 Z Z π π 2 22 3 =ab(sint)dt+a bcost dt 0 0    π π 1 1 2 3b3 =abcostcost+asint+ sint 3 3 0 0 4 2 =ab . 3 N Quelleestlaformeduthe´ore`medeStokesge´n´eralquel'onpeutobtenirdanscettesitua-tion ? Z Z =ω ΩΩ ´ Evidemment,Ωest la courbe oriente´e,Γ, dont le bordΩ´eedeidein-t´eori´etvaratsle + mension zero”{a ,b}(`ouaest le point initial deΓ,best le point terminal). De plus, ici =P dx+Q dy, doncωitdotrˆeneeuncfonoitF(x, y)de deux variables, et=dFsa diffe´rentielle totale. Quand une telle fonction existe-t-elle? Supposons qu'il existeFavec dF=P dx+Q dy, 1
2 c'est-a`-dire, ′ ′ F dx+F dy=P dx+Q dy. x y Dans ce cas-la`, ′ ′ F=P, F=Q. x y 2 Supposons queFest suffisamment lisse (de classeCcecsl-sas,a`nolethleor´eme`ede).Dan Clairaut–Schwarz, ′′ ′′ F=F , xy yx etparcons´equent, ′ ′ P=Q . y x C'est donc une condition´enssceeria.En effet, elle est aussisuffisante.D'abord, nous avons besoin d'un re´sultat du calcul inte´gral qui est souvent util. 1 Th´eore`me19.2.SoitΦ(x, t)une fonction de deux variables qui est de classeCorn´ee.etb Alors on a Z Z b b d ∂Φ Φ(x, t)dx= (x, t)dx. dta a∂t L'id e´ede la de´monstration.Remplac¸ons l'expression a` gauche avec une somme de Rieman n quil'approche,etutilisonslalin´earit´edelade´riv´eepartielleparrapport`at: Z b X d d Φ(x, t)dxΦ(xi, t) Δxi dtadt i   X d = Φ(xi, t) Δxi dt i Z b Φ (x, t)dx. a∂t Remarque19.3.Reppasnolssuaique,d'apr`eslet´hoe`rmefenomdnel'deletae,ysalanleuq quesoitfonctionborn´eeetcontinuefoitcirpnsrevnofa'irl´enttimipavergtaoin,nortuoeptu aveclabornesup´erieurevariable: Z x F(x) =f(x)dx, a o `ula borne infe´rieureatsxree:tqeudievoanl´enepfraicm¸le'.eLxe Z x d f(x)dx=f(x). dxa 2 Th´eore`me19.4.SoitP, Qde classeC. Pour qu'il existe une fonctionFavec dF=P dx+Q dy,
3 il faut et il suffit que ∂P ∂Q =. ∂y ∂x D´emonstration.decn´htu´snoeuqesteeecunesect´siaL´nhwartScmmez,comedeoe`rriuaCeal nous l'avons vu. Pour montrer la suffisance, supposons (sansvraie perte de ge´ne´ralite´) que l'origineappartientaudomaindeded´enitioncommundePetQ, et posons Z Z x y F(x, y) =P(x, y)dx+Q(0, y)dy. 0 0 Maintenant on a Z Z x y d d F(x, y) =P(x, y)dx+Q(0, y)dy=P(x, y) x dx0dx0 (d'apre`sleth'eor`emefondmentaledel'analyse,etparcequeladeuxi`emeexpressionest constante enxp.s)eaeMn-ireatantnnotuiliseleth`eor`em1e.9e2lth'pyto`hesesurlesd´eriv´ tielles dePet deQeireprotndiur´effFselony: Z Z x y ∂ d F(x, y) =P(x, y)dx+Q(0, y)dy y ∂y dy 0 0 Z x =P(x, y)dx+Q(0, y) 0∂y Z x =Q(x, y)dx+Q(0, y) ∂x 0 x = [Q(x, y)] +Q(0, y) 0 =Q(x, y)Q(0, y) +Q(0, y) =Q(x, y). Remarque19.5.ssce´ennioitndcopetnasfusteeriaqruaoLnu'ue1itsoedunf´ifeneritleelf-emro totale, ∂P ∂Q =, ∂y ∂x peutˆetrere-e´crite ∂Q ∂P = 0, ∂x ∂y cequisugg`erequel'expression ∂Q ∂P (19.1)∂x ∂y joueunrˆoleparticulierdanscetteth´eorie.Notons-lapourlefutur.N
4 Exercice19.6.itleeledrpmeeidrlaformediff´erenEc-tseuqeer´eg (4x+ 2y)dx+ (2x6y)dy estunediff´erentielletotale?Sioui,trouverlafonctionFcorrespondante. On a ∂P ∂Q = 2 =, ∂y ∂x donclare´ponsepourlapremi`erequestionestafrmative.PourtrouverlafonctionF, on utiliselapreuveduth´eor`eme19.4: Z Z x y F(x, y) =P(x, y)dx+Q(0, y)dy 0 0 Z Z x y = (4x+ 2y)dx+ (6y)dy 0 0 2 2 = 2x+ 2xy3y . Onpeutv´erierfacilementque 2 2 d(2x+ 2xy3y) = (4x+ 2y)dx+ (2x6y)dy. Voicilaversionde´sire´eduth´eor`emedeStokes. The´ore`me 19.7.raegculeL't´inced'unedemeesp`eededxu`ivrligienenelatenerf´iftoleelti d´ependpasduchemind'int´egration,seulementdupointinitialetdupointterminaldupar-cours : Z dF=F(b)F(a). Γ D´emonstration.elndnt'igr´eecaldetcdalene´oitieapplicationdireCe'tsnuilngruivdee deuxi`emeesp`eceetduthe´ore`mefondamentaldel'analyse.Choisissonsunparame`trage 2 γ: [0,1]Rde la courbeΓdont la direction de parcours est dans le sens correct :γ(0) =a, γ(1) =b. Maintenant on a Z Z 1   ′ ′′ ′ dF=F(γ(t), γ(t))γ(t) +F(γ(t) (t)dt x1 2 1y1, γ2(t))γ2 0 Γ Z 1 =d(Fγ)dt 0 1 = [Fγ] 0 =F(γ(1))F(γ(0)) =F(b)F(a).
5 Exemple19.8.SoitΓointsextrˆemessotnr,seeptcvilemet,enuocenebrutnodpselaetb, parcourue dans le sens positif (dea`ab). On a Z Z dx+dy=d(x+y) Γ Γ = (b1+b2)(a1+a2).
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