Seminaire BOURBAKI Juin 60eme annee no

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Seminaire BOURBAKI Juin 2008 60eme annee, 2007-2008, no 994 LA DUALITE ETRANGE [d'apres P. Belkale, A. Marian et D. Oprea] par Christian PAULY INTRODUCTION Le but de ces notes est de donner un bref aperc¸u d'un resultat important sur les fibres vectoriels sur une courbe algebrique : la dualite etrange ou la dualite rang-niveau. En 1994, disposant de la formule de Verlinde qui donne la dimension des espaces de fonctions theta generalisees d'ordre k sur les espaces de modules de fibres de rang r (voir sections 1.2 et 1.3), on a conjecture que les deux espaces associes aux couples (r, k) et (k, r) sont naturellement duaux, la dualite entre ces espaces vectoriels etant induite par le produit tensoriel des fibres vectoriels. Cette conjecture a ete demontree seulement en 2006, d'abord par P. Belkale pour une courbe generale et ensuite par A. Marian et D. Oprea pour toute courbe. Une des idees principales, commune aux deux demonstrations, est de construire une base explicite de fonctions theta generalisees d'ordre r indexee par des fibres vectoriels particuliers de rang r. P. Belkale obtient ces fibres particuliers comme sous-fibres d'un fibre de rang r + k sur la droite projective, et A. Marian et D. Oprea considerent les sous-fibres de degre maximal d'un fibre fixe de rang r + k sur une courbe quelconque.

  • fibres particuliers

  • morphisme pi

  • particulier sur le plan projectif et sur les surfaces abeliennes

  • courbe projective

  • image d'inverse

  • espaces de modules de fibres vectoriels

  • diviseur theta

  • theoreme

  • dualite etrange


Publié le : dimanche 1 juin 2008
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S´eminaireBOURBAKI 60`emeann´ee,2007-2008,n o 994
´ ´ LA DUALITE ETRANGE [d’apres P. Belkale, A. Marian et D. Oprea] ` par Christian PAULY
INTRODUCTION
Juin 2008
onnerunbp¸cudunre´sultatimportantsurlesbr´es Le but de ces notes est de d ref a er vectorielssurunecourbealge´brique:ladualit´e´etrangeouladualite´rang-niveau. En 1994, disposant de la formule de Verlinde qui donne la dimension des espaces defonctionstheˆtageneralise´esdordre k surlesespacesdemodulesdebr´esderang ´ ´ r (voirsections1.2et1.3),onaconjectur´equelesdeuxespacesassocie´sauxcouples ( r k ) et ( k r )sontnaturellementduaux,ladualite´entrecesespacesvectorielse´tant induiteparleproduittensorieldesbr´esvectoriels.Cetteconjectureae´te´de´montr´ee seulementen2006,dabordparP.Belkalepourunecourbeg´ene´raleetensuiteparA. Marian et D. Oprea pour toute courbe. Unedeside´esprincipales,communeauxdeuxd´emonstrations,estdeconstruireune baseexplicitedefonctionstheˆtag´en´eralis´eesdordre r index´eepardesbre´svectoriels particuliers de rang r .P.Belkaleobtientcesbre´sparticulierscommesous-br´esdun bre´derang r + k surladroiteprojective,etA.MarianetD.Opreaconsid`erentles sous-bre´sdedegre´maximaldunbr´ex´ederang r + k sur une courbe quelconque. Ladeuxie`meideecle´estalorsdemontrerquelenombredecesbre´sparticuliersest ´ ´egala`ladimensiondesespacesdefonctionstheˆtage´ne´ralis´eesdonn´eeparlaformulede Verlindenotonsquelesdeuxprobl`emes´enum´eratifsetleurnombredesolutionssont die´rents.Cest`aceniveau-la`o`uinterviennentlacombinatoiredelaformuledeVerlinde et le lien entre l’anneau de fusion et la cohomologie quantique de la grassmannienne Gr( r r + k ),d´ej`aobserv´eparE.Wittendans[W].TandisqueP.Belkalemontreque lenombredesesbr´esparticuliersve´rientlesmˆemesrelationsdere´currencequeles nombres de Verlinde, A. Marian et D. Oprea utilisent la formule de Vafa et Intiligator donnantlesinvariantsdeGromov-Wittenassoci´esa`lagrassmannienneGr( r r + k ). Dansladernie`resectionjed´ecrisquelquesg´ene´ralisationsdeladualitee´trange,no-´ tammentauxbr´esvectorielsavecstructureparaboliqueetaux G -bre´sprincipaux. Dans ce dernier cas de nombreuses questions restent ouvertes.
994–02
Danscesnotesjenementionnequelesconstructionsdedualit´e´etrangesurles courbes. Des constructions analogues existent sur les surfaces projectives, en particulier surleplanprojectifetsurlessurfacesab´eliennesvoir[MO3]. Ilexistedessurveysr´ecentssurladualite´e´trange:lesnotesdecoursdeM.Popa [Po] section 5 et l’article de A. Marian et D. Oprea [MO3]. J’aimerais remercier P. Belkale et R. Oudompheng pour leurs commentaires sur ces notes.
´ 1. ESPACES DE MODULES DE FIBRES VECTORIELS SUR UNE COURBE
Danscettesectiononrappellebri`evementlesprincipauxr´esultatsconcernantles espacesdemodulesdebre´svectorielssurlescourbesetlesespacesdefonctionstheˆta g´ene´ralise´es.Pourplusded´etailsonrenvoieparexempleaulivredeJ.LePotier[LP] et aux notes de M. Popa [Po] et de C. Sorger [S1]. 1.1.Proprie´te´sdesespacesdemodules Soit X une courbe projective lisse complexe de genre g 1.Etantdonne´unbr´e vectoriel E sur la courbe X , on peut lui associer deux entiers : son rang r = rg( E ) etsondegre´ d = deg( E ) := deg(Λ r E ). Ce sont des invariants topologiques. Si l’on se donne la courbe X ainsi que r et d ,ilexisteunevari´et´eprojective,note´e U X ( r d ), quiparame`trelesclassesde S -e´quivalencedebr´esvectorielssemi-stablesderang r etdedegre´ d sur la courbe X . Rappelons que U X ( r d )estunevarie´t´eirre´ductible,de dimension r 2 ( g 1)+1etquelespointsferm´esde U X ( r d ) correspondent aux sommes directesdebr´esvectorielsstables. Si r = 1, l’espace de modules U X (1  d )coı¨ncideaveclavari´ete´dePicardPic d ( X ) pa-rame´trantlesbr´esendroitesdedegr´e d . Nous notons Jac( X ) := Pic 0 ( X ) la jacobienne de la courbe X . Ilexisteunmorphismedevarie´te´sinduitparlede´terminant det : U X ( r d ) −→ Pic d ( X )  E 7→ det( E ) . Nous notons SU X ( r L ) la fibre det 1 ( L )au-dessusdubre´endroites L Pic d ( X ) et SU X ( r ) := SU X ( r O ). Afin de simplifier la notation, nous introduisons aussi U X ( r ) := U X ( r r ( g 1)). Aplusieursreprisesdansletexteonutiliseralere´sultat´el´ementairesuivant:le morphisme induit par le produit tensoriel (1) t : SU X ( r ) × Pic g 1 ( X ) U X ( r ) ( E L ) 7→ E L estunrevˆetemente´talegaloisiendegroupedeGaloise´galaugroupeJac( X )[ r ] = ( Z /r Z ) 2 g des points de r -torsion de la jacobienne.
994–03
1.2.Fonctionsthˆetage´n´eralis´ees Avantded´enirlesfonctionstheˆtag´ene´ralis´ees,onrappellequelquesnotionssurles fonctionsthˆetaab´eliennes.Lensemble
Θ := { M Pic g 1 ( X ) | h 0 ( X M ) > 0 } ⊂ Pic g 1 ( X ) de´termineundiviseurdeCartiereectifle diviseurtheˆta — dans Pic g 1 ( X ), qui de´nit,apr`estranslation T L : Jac( X ) Pic g 1 ( X )parunbr´eendroites L dedegr´e g 1, un diviseur Θ L := T L Θ dans la jacobienne donnant une polarisation principale, cest-`a-dire h 0 (Jac( X ) O L ))=1.Lessectionsglobalesdubre´ O ( k Θ L ) sont app l´es e e lesfonctionstheˆtadordre k . Laconstructionpre´ce´denteseg´ene´ralisesanstropdobstaclesauxespacesdemodules U X ( r d ) : on montre que l’ensemble
(2) Θ := { [ E ] ∈ U X ( r ) | h 0 ( X E ) > 0 } ⊂ U X ( r ) ou`[ E ]de´signelaclassede S -´equivalencedb´emi-stable E ,d´etermineun un re s diviseur de Cartier effectif — le diviseurtheˆtag´ene´ralise´ — dans U X ( r ). Comme en rang 1, on a aussi la relation [BNR] h 0 ( U ( r ) O (Θ)) = 1 . X En prenant l’image inverse par le morphisme induit par produit tensoriel T L : U X ( r 0) → U X ( r )avecunbr´eendroites L dedegre´ g 1etenrestreignanta`la sous-vari´ete´ SU X ( r ) ⊂ U X ( r 0) on obtient un diviseur de Cartier Θ L dans SU X ( r ) dont le support est
Θ L = { [ E ] ∈ SU X ( r ) | h 0 ( X E L ) > 0 } . Onsait[DN]quelebre´endroitesassocie´ L = O L )estample,nede´pendpasdu choix de L et engendre le groupe de Picard Pic( SU X ( r )) = Z ∙ L . Par analogie avec le cas r = 1, on appelle les sections globales de L k sur SU X ( r ) les fonctionsthˆetage´n´eralise´es d’ordre k . 1.3. La formule de Verlinde LaformuledeVerlindedonneladimensiondelespacedesfonctionstheˆtage´ne´ralise´es d’ordre k sur SU X ( r ). Remarquons que la formule de Verlinde donne en fait la dimension desespacesdeblocsconformes,quonpeutidentierauxespacesdefonctionstheˆta ge´n´eralise´es.OnrenvoieauxnotesdeA.Beauville[Bea1]etdeC.Sorger[S1]pour unediscussiond´etaill´eeetlesde´monstrations.Dansnotrecasonutiliseralaformulede Verlindesouslaformesuivante(duea`D.Zagier):onpose N = r + k .
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